NEWS Presentations Reviews Correspondence Comments Announcements


Presentation of a new scientific paper on

The 12th World Congress in Mechanism and Machine Science

Besanson, France, June18-21, 2007


Publication in the Conference Proceedings

New Theory of Rotor Dynamics: Dynamics of Jeffcott Rotor with Moment Unbalance


Photos from the 12th World Congress

Participant of World Congress


Presentation of a new scientific paper on

7th IFToMM - International Conference on Rotor Dynamics

Vienna, Austria, 25-28 September 2006


Publication in the Conference Proceedings

Dynamics of Vertical Rotor with Arbitrary Arrangement of Static and Moment Unbalances


Photos from scientific conference

The legendary scientist Ales Tondl and participants of conference



Parliament house,

Vienna, Austria,

26 September 2006



Alexandr Yu. Zhivotov

Date: 4 December 2006.


Presentation of a new scientific paper on



Publication in the "Machinebuilding & electrotechnics" magazine

New Theory of Rotor Dynamics: Dynamics of an Outboard Rotor with a Quasi - Static Unbalance


Photos from scientific conference


On a photo:

1. Mgs. Eng. Damian Damianov (at the left)
Secretary General of the Union of Mechanical Engineering

2. Alexandr Zhivotov

3. Dr. Georgi Kamarashev (on the right) Colonel Assoc. Prof., Land Forces Faculty Dean

Scientific discussion

On a photo:

Dr. Marin Stoytchev, PhD, Prof.

and Alexandr Zhivotov

The "Tsarevets" Hill.

The "Patriarchy" Cathedral,

Veliko - Tarnovo,




Alexandr Yu. Zhivotov

Date: 15 January 2006.


Problems in Classical Mechanics

Alexandr Y. Zhivotov & Yuriy G. Zhivotov,

Date: 31 March 2005.



Alexandr Yu. Zhivotov & Yuriy G. Zhivotov,

Date: 29 June 2004.



By Mr. Zhivotov Alexandr Y., Leading Engineer of Yuzhnoye State Design Office named after M. K. Yangel: www.yuzhnoye.com

(Over a period from 2000 to 2004): Click...

Alexandr Yu. Zhivotov & Yuriy G. Zhivotov,

Date: 22 June 2004.




































ISCORMA-2, Reviewer Comments (Paper 405)


From: "COX, Jeanette" <[email protected]>

To: "Alexandr Zhivotov"<[email protected]>

Date: Mon, 12 May 2003 10:19:14 -0700

Theme: ISCORMA-2 Reviewer Comments (405)

Dear Mr. Zhivotov,

The deadline for providing this information to authors was established as 15 May. Right now I am working hard to provide this. The person who was in charge of reviews of your three papers said that the papers are all closely the same with different titles, so only one paper was sent to reviewers.
The results of the three reviews are that the paper, "New Theory of Rotor Dynamics: Dynamics of a Rotor of "Umbrella" Type, With Elastic Support," will be accepted for the conference provided that the English is much improved and reviewers' comments are incorporated into the paper. The
reviewer comments follow:

It is a worthwhile research document. I'm not quite sure I have ever seen a paper that has developed the equations of motion for a vertical centrifuge like apparatus, where there is one fixed pin support and one elastic support.

I thought it was particularly interesting how the equations of motion we developed around the using the forces and moments developed as the rotor's CG displaced from the axis of rotation.

This person obviously spent the time to develop and even has some explanation "what ifs" in his paper. This paper was well thought out, definitely conference worthy.

I liked the translation too, some funny stuff like:
Angles = Corners
Free Body Diagrams = Circuits

This paper basically derives the equations of motion for a quite simple rigid-rotor single-disk
two-bearing configuration, with one bearing flexible and the other infinitely stiff.

This system therefore has two degrees-of-freedom. By assuming an isotropic radial bearing stiffness and single-frequency motion (e.g., synchronous), the motion could be described as a projection onto a single plane, thus reducing the number of degrees-of-freedom to one.

Deriving the equation(s) of motion for this system is thus the equivalent of a fairly straight forward engineering course homework assignment.

Therefore, in this reviewer's opinion, this paper does not make a sufficient contribution to warrant presentation or publication. One is therefore correspondingly astounded by the lead-in title of this paper, "New Theory of Rotor Dynamics".

While the above assessment of this paper is sufficient grounds for its rejection, it is also noted here that even if it were of substantial technical content, which it is not, the English writing is quite hard to read because of many misused words, e.g., "firm body" instead of "rigid body", "corner" instead of "angle", to note just a few of many, i.e., two that the reviewer could figure out and "translate"!

Although of no significance to the worthiness of this paper, it is unusual that the authors give no business or professional affiliation, e.g., company, university, institute, other, but only what appears to be a shared home address.


The paper develops a dynamic model of a vertical rotor from a force balance. The topic falls within the ISCORMA-2 frame of topics but is not sufficiently developed or unique to merit acceptance in its present form without changes as described below. The authors should also seek professional help to improve the English writing.

Several equations are presented without justification, explanation or reference. Equations 4,5,7, and 13 which are the basis of the paper fall into this category. The dimensions of equations 4 and 5 are not consistent. I question the validity of equation 13 where vector forces are added without regard to direction, notice that the first term is Fkp and the last term is Fy . These forces are orthogonal and coincident yet are merely summed in equation 13. I would also like to. see an explanation for justifying equation 18 as a critical speed.

The organization of the paper is good until section 8 where geometric background is presented rather than the summary and conclusions one would expect.

I hope these comments will help you in preparing your final manuscript, which is due to me no later than 15 June. Prior to that time, I also need to have an extended abstract (no longer than one page), which will be printed in a book to be handed out at the conference. I also need to have a completed copyright form, which I will attach to this e-mail.

Please add page numbers to your paper, and send it to me in .pdf format.

Best regards,

Jeanette Cox

The letter to ISCORMA-2


From: "Alexandr Zhivotov"<[email protected]>

To: "COX, Jeanette" <[email protected]>

Date: Thy, 15 May 2003

Theme: Re: ISCORMA-2 Reviewer Comments (405)

Dear Jeanette A. Cox!

We have received your letter from 05.12.2003, which contains comments of Reviewers and the Decision on acceptance of a scientific paper N 405 to listenings on ISCORMA-2. It is the pleasant information. We thank you.

Certainly, remarks of Reviewers will be considered and taken into account in a final scientific paper. Us also interests destinies of two papers N 403 and N 404. These papers are very similar to a paper N 405 on the shape and the text. In it there is nothing surprising as we used a common an inertial method for solving problem of rotors dynamics of a different construction. However the contents of the papers N 403 and N 404 essentially differs from the contents of the paper N 405. The tasks solved in papers N 403 and N 404 essentially differs from the tasks solved in a paper N 405.

In a paper N 404 the rotor, which hangs on a shaft is investigated. Such rotor is used in centrifugal stands (look a photo). In a paper N 405 the rotor, which leans on a shaft is investigated. Such rotor is used in ultracentrifuges.

In our scientific papers we aspire not only to acquaint scientists with a new method for the decision of problems of dynamics of a rotor, and also to give decisions of technical problems for engineers who project machines.

Therefore the presentation of all our papers will be useful too much. Pay attention. Method of the Lagrange is the common method for the decision of problems of dynamics of systems with the constant moments of inertia.

Scientific papers in which application of a method for the decision of problems of dynamics of a rotor is described, also are very similar each other.

However the decision of various problems with the help of this method does not interfere with the publication of scientific papers. It is very a pity, that there was a similar misunderstanding. We admit, that misunderstanding can be removed.

We have very big desire that the scientific paper N 404 also has been included in hearings ISCORMA-2.

We assure you that all remarks of the Reviewers made to a paper N 405 will be taken into account in final paper N 404.





























The letter of William J. Anderson

From: [email protected]

To: Alexandr Zhivotov <[email protected]>

Copy: [email protected], [email protected], [email protected]

Theme: Re: rotor dynamics

Dear Alexandr Zhivotov:

I am happy to see your interest in the effects of rotation on vibrating bodies. I worked in this area about 15 years ago with a doctoral student, Howard Gans. We published two papers, as I remember in the AIAA Journal, including centrifugal and Coriolis effects on the vibration of turbine/compressor blades. We went further, and optimized the frequencies by redistributing stiffness and mass properties.

At the time, we found that for turbines rotating in the 35,000 rpm range (typical of General Electric compressors at the time, I believe), the addition of the centrifugal stiffening (called "differential stiffness" by the MSC/Nastran people) caused about a 4% change in rotational frequencies. (These blades are relatively stiff--for helicopter rotors the effects are orders of magnitude of change). When we added Coriolis effects, it caused a further 1% change in frequencies of the blades. This somewhat confirmed the industry usage (as done at Pratt and Whitney) where they included differential stiffness, but not Coriolis effects in their optimization studies.

The only reason we were able to get results was that the MSC/NASTRAN program had built into it part of the necessary ingredients, namely the differential stiffness matrices. (They even have this stiffness for solid elements. It is the first order nonlinear geometric correction.) Secondly, it was possible to do matrix calculations within the MSC/NASTRAN program by using a matrix language called DMAP (Direct Matrix Abstraction Program).

I'm not certain you are finding any new dynamics effects that haven't already been studied numerically. Certainly it would be good to present alternate, analytical formulations. Overall, however, the problem is enormously complicated--to the point of being beyond normal engineering usefulness in design situations.

I am writing to you from home, having retired 2 years ago, and I have all my references at an office where I do consulting (about 24 miles away). As a result, I can't give you my publications on the topic immediately. The first author was Howard Gans, the Journal was AIAA Journal, about 15 years ago. I believe we did two such papers.


William J. Anderson. Professor Emeritus, University of Michigan Aerospace Dept. Founder, Automated Analysis Corporation (now a division of Belcan Corporation).






















We salute participants and organizers of the Eleventh World Congress in

Mechanism and Machine Science!

We publish our scientific paper, which has been intended for representation on the Eleventh World Congress in Mechanism and Machine Science (Tianjin University, Tianjin, China, April 1-4, 2004).


New Theory of Rotor Dynamics: Disk Rotor Dynamics with Static Unbalance Taking info Account Aerodynamic Drag Forces


The brief critical review of ability of the vibrating theory of a rotor dynamics to solve questions of aerodynamic and internal drag.

Dear all! In the theory of vibration there is a concept of viscous friction. Viscous friction is the average value of frontal aerodynamic drag for one cycle of oscillations of a beam.

The concept of viscous friction as average value of aerodynamic or hydraulic drag is entered in the theory of oscillations by artificial way as actual speed of motion of a center of masses of a beam changes from a zero up to the maximal value twice during one cycle of oscillations.

The theory of oscillations counts, that force of frontal aerodynamic drag is proportional to average speed of motion of a center of masses of a beam, as the differential equations of motion of a beam are not solved at the other assumption.

In the theory of oscillations the concept of internal friction also will be operated. Internal friction is associated to motion of layers of a beam be relative each other at transverse oscillations of a beam.

Internal friction interferes with a flexure of a beam and results in allocation of heat. This effect is easy for finding out, if we shall try to break to the prowolf.

The vibrating theory of a rotor dynamics has automatically transferred achievements of the theory of vibrations on process of a rotor rotation. Automatic carrying is the next mistake of scientists, which are engaged in a rotor dynamics. (the Basic mistake has been admitted, when process of a rotor rotation have replaced with process of oscillations of a rotor).

Automatic carrying has resulted in internal contradictions in the theory of a rotor dynamics. For example.

In ancient dynamics of a rigid rotor with rigid shaft there will be a concept of superficial aerodynamic friction. There will be also a concept of friction of bearings. Friction in bearings acts on a rotor as well as superficial aerodynamic friction. It is considered, that these two kinds of friction influence only a torque.

In the vibrating theory of a rotor dynamics the friction in bearings also influences only a torque. However in the vibrating theory viscous friction, which influences a rotor dynamics has appeared and interferes with oscillations of a shaft. Therefore viscous friction is taken into account in the equation of dynamics by a special member.

Where superficial aerodynamic drag disappeared? Viscous friction has replaced superficial aerodynamic drag? There can be a rotor has ceased to rotate? How friction in bearings if the rotor does not rotate should be taken into account, and vibrates?

You will not find the answer to these questions in the vibrating theory of a rotor dynamics. Scientists hide this nonsense. Riddle is as scientists have accepted superficial aerodynamic drag for frontal aerodynamic drag, which will exist at oscillations of a beam.

We shall consider internal friction and its influence on a rotor dynamics in more detail. Internal friction will exist, if layers of a beam are displaced from each other. It will exist at vibrations of a beam when longitudinal fibres are stretched and compressed by turns. It is fair for a beam, which makes oscillations.

The vibrating theory asserts, that the shaft of a rotor makes oscillations. The vibrating theory also asserts, that the rotor rotates, and the light or heavy side of a rotor is inverted outside depending on speed of rotation. It means, that the shaft of a rotor does not make oscillations. We paid your attention to this contradiction to common sense earlier.

Now we want to notify you, that internal friction will not exist, if the rotor rotates and its light or heavy side is inverted outside. Internal friction is absent, as longitudinal fibres of a shaft are not compressed and not stretched serially. Internal friction is the next myth of the vibrating theory of a rotor dynamics. It is a myth, which is easy for denying.

Really, the vibrating theory of a rotor dynamics asserts, that internal friction results in an unstable rotor rotation. Instability of a rotor rotation becomes more if internal friction becomes more. Internal friction becomes more, if rigidity of a shaft becomes more. Therefore rotation of absolutely rigid rotor with rigid shaft is unstable. It is absurdity.

I have made the short critical analysis to vibrating dynamics of a rotor as the foreword to the new inertial theory of dynamics of a rotor.

I have considered the equation of a rotor dynamics, which will be operated in the vibrating theory. This equation is the singled equation, which will be applied by scientists in various variations to all types of a rotor. It contradicts common sense. I hope, that I have resulted enough proofs that scientists have refused use of this equation in new researches.

I hope, that someone will object me if I was wrong.

The best regards,

Yu. Zhivotov



























Dynamics of Disk Rotor with Static Unbalance


A.Y. Zhivotov


Existing theory of the rotor dynamics is based on theory of vibrations. It is assumed that rotating unstable shaft performs bending vibrations. At that a simplest rotor mounted on to the flexible shaft has one degree of freedom.

This paper is introduction to new theory of rotor dynamics, which is based on new hypothesis. According to the hypothesis the simplest rotor mounted on to the flexible shaft has two degrees of freedom. It is supposed that the rotor shaft performs no bending vibrations, but deflects and in such position rotates about the axis passing through the bearings.

Base of new theory is variation of the rotor and shaft moments of inertia during shaft deflections due to laws of material nature. Changes of the moments of inertia are disturbing factor to overcome which it is need applied an additional torque.

Rotation of the vertical disc rotor possessing unbalance and mounted onto two bearings (classic scheme) is considered from the point of view of understanding the laws of physics and nature.

For the first time the complete scheme of the forces affecting the rotor under vacuum is presented, and new system of equations of the rotor dynamics is deduced.

The obtained equations are analyzed taking into account the gradual increase of speed.

The analysis results are compared with known effects obtained experimentally, such as quiet rotation at under-critical speeds, bearing vibration appearance, resonance and Sommerfeld effects, quiet rotation at over-critical speeds.

Three general modes are showed up and speed ranges corresponding to these modes are set.

New approach presents the resonance effects are caused by otherwise than shaft deflection under the rotor unbalances.

It presents that resonance effect is requirement to the rotor transient to over-critical rotation mode.

It is proved that when rotor reaches the over-critical mode, the retrograde precession occurs and so, the rotor transient to over-critical mode can be considered as spasmodic.

The Sommerfeld physics takes substation.

New dependencies to calculate value and direction of the forces affecting the rotor and bearing responses.

First, the rotor self-alignment effect is considered from physics point of view.

Accumulation of a potential energy during self-alignment process is substantiated and role of the potential energy in the rotor dynamics is presented.

The emphasis is placed to explanation of the rotor stabilization at accidental deflections and torsion turns of the rotor at accidental changes of the torque.

The calculation dependencies to determine values and directions of the rotor displacements, as well as rotor turn angels depending on rotation speed are provided.

For the first time, it is presented that when torque removes the rotor stops under braking torque caused by changes of the rotor moments of inertia.































Disk Rotor Dynamics with Static Unbalance

Taking into Account Aerodynamic Drag Forces


A.Y. Zhivotov


The Paper shows general capacity of the "inertial" theory of the rotor dynamics. Particularly, it considers rotation of a disk rotor with static unbalance under aerodynamic drag. Also, an influence of head aerodynamic drag onto the rotor dynamics is analyzed. General approach to the task sated keeps the methods of new theory applying at solving the rotor dynamics task under vacuum environment.

As a result of comprehensive analysis of the forces affecting the rotor, the analytical model is determined and system of equations and moments acting relative to the points that indicate positions of the center of mass, geometrical axis and rotation axis in specified section is constituted.

Result of equation system is basic equation of the rotor dynamics that, as expected, has the same form as the equation obtained earlier for the rotor rotating under vacuum environment.

However, the contents of equation are different significantly. So, the rotor turn angle depending on the rotation speed is determined by new more complicated equation.

Obtained equations show that aerodynamic drag forces do not change the rotor behavior, but promote smoother pass a critical speed. The dependences to determine the critical speed are not changed. However, all other equations determining the values and directions of the forces affecting rotor endure significant changes for transient process. The equations intended to determine acting forces at small under-critical and over-critical speeds are the same as equations obtained under vacuum environment. The equations to determine the value and direction of the bearing responses are subjected to most serious changes. These equations must take into account effect of surface aerodynamic drag.

Important feature is a speed-depending nonlinearity of aerodynamic drag taken into account in the basic equation of the rotor dynamics and design dependences. Influence of the aerodynamic drag that moment is proportionate to squared speed onto the rotor dynamics is considered as a case in point.

If we assume that the aerodynamic forces equal 0, so all equations and dependences will be reduced to a form of equations and dependences corresponding to rotation of the rotor under vacuum environment.






































Disk Rotor Dynamics with Static Unbalance in Real-Life Environment


Y.G. Zhivotov, A.Y. Zhivotov


Rotor dynamic is a sufficiently obscure and indescribable mathematically part of the engineering mechanics. This caused by not only multiformity of the rotor behavior but also rotor operational environment. One of such rotor rotation features is an influence of environment aerodynamic drag on the disk rotor dynamic. At that, aerodynamic drag influence depends on various factors including speed. To determine the aerodynamic drag forces, different, mainly approximate dependences are applied.

Based on the inertial theory of rotor realignment, the paper states an environment aerodynamic drag influence on the disk rotor dynamic. The disk rotor dynamic is considered taking into account shaft and support nonlinear stiffness depending on various factors such as velocity and movement. The paper analyzes the separate and combined influence of rotor support and shaft various stiffness on rotor behavior. Also, the paper considers the features of rotor self-vibration origination. The paper emphasizes physics of the processes taking place that meets the mathematical justification.






































Динамика ротора в опорах с подшипниками

обладающими нелинейной жесткостью, зависящей от скорости


A.Ю. Животов


Теории динамики роторов, основанной на теории колебаний свойственна обязательная линеаризация членов, входящих в дифференциальное уравнение. Это объясняется проблемами с решением этих уравнений.

Линеаризация членов уравнений приводит к тому, что решения неправильных уравнений динамики роторов еще более удаляются от реальности. Этим можно объяснить отсутствие в достаточном объеме сопоставления результатов эксперимента с теоретическими данными.

В данной статье излагается подход инерционной теории динамики ротора к решению задач связанных с любой нелинейной жесткостью подшипниковых узлов зависящей от скорости вращения ротора.

Основное уравнение динамики ротора приводится к виду, учитывающему нелинейную жесткость. В результате рассмотрения приведенного уравнения с учетом физики процесса получена зависимость для определения критической скорости. Полученная зависимость подтверждает увеличение критической скорости с увеличением показателя нелинейной жесткости опор.

При равенстве показателя нелинейной жесткости нулю зависимость приобретает традиционный вид.

В качестве примера в статье рассмотрено уравнение динамики ротора, подшипники которого обладают нелинейной жесткостью с показателем нелинейной жесткости равным 1 (коэффициент жесткости подшипника пропорционален скорости вращения).

Получено уравнение динамики и приводится решение этого уравнения.

Подтверждается явление самоцентрирования ротора. Показывается, что характер вращения не изменяется, меняются только параметры движения, включая и реакции опор. Для определения всех параметров вращения ротора и реакций опор приводятся расчетные зависимости. Показывается, что при показателе нелинейной жесткости равном или более двух можно считать, что ротор вращается в абсолютно жестких подшипниках и в этом случае динамики ротора зависит от жесткости опор.






























Динамика ротора в опорах с подшипниками

обладающими нелинейной жесткостью, зависящей от смещений


А.Ю. Животов


Проблемы решения известных дифференциальных уравнений теории динамики роторов, основанной на теории колебаний, особенно обостряются для случая, когда жесткость подшипников зависит от величины смещений оси вала от оси вращения. Эксперимент играет преимущественную роль при выборе параметров подшипников. В принципе так и должно быть. Важно, чтобы теория давала близкие к эксперименту результаты расчета.

В данной статье получено уравнение динамики ротора учитывающую нелинейную жесткость подшипников, зависящую от смещений вала ротора. При решении полученного уравнения используется понятие предела возможных смещений вала ротора от оси вращения. Это позволило получить зависимость определения критической скорости и теоретически подтвердить возможность явления самоцентрирования.

В качестве основного примера рассматривается динамика ротора, если жесткость подшипника пропорциональна смещению. Приводится уравнение и решение этого уравнения, зависимости для определения всех сил и моментов действующих на ротор. Приводятся зависимости для определения реакций опор.

Особое внимание уделено характеристике нелинейности подшипников с помощью показателя нелинейной жесткости. Показывается, что показатель нелинейной жесткости равный двум и более предопределяет абсолютную жесткость подшипника и отсутствие критической скорости.































Динамика дискового ротора с учетом присоединенной массы опор


А.Ю. Животов


Если бы имелась возможность исключить какие-либо зазоры между валом и подшипником скольжения, то данная задача звучала бы как динамика машины в целом. В этом случае можно было бы по уровню вибраций станины машины, оценивать колебания фундамента. Однако зазоры имеются и оценка колебаний фундамента значительно сложнее.

Однако рост скоростей привел к созданию упругих опор. Часть этих опор вращаются вместе с валом ротора, другая часть опор не вращается и через гибкую связь связана с машиной. Эта вторая часть опор находится в колебательном движении.

Нечто подобное можно обнаружить в конструкции балансировочного станка с упругой подвеской рамки, в которой на специальных опорах устанавливается ротор при балансировке. При вращении ротора эта рамка также совершает колебательное движение.

Именно эта колебающаяся масса считается в настоящей статье присоединенной массой.

В существующей теории динамики роторов не обнаружено уравнение учитывающее влияние присоединенной массы на поведение ротора.

Если бы такое уравнение существовало, то пришлось бы пересмотреть правильность простейших уравнений динамики ротора, основанных на теории колебаний, из-за необходимости оценки различий в поведении ротора и поведении присоединенной массы.

В данной статье обращено внимание на физику процесса, на те исходные данные, которые изменяются в связи с присутствием присоединенной массы.

С учетом физики процесса получена новая система уравнений, решение которой дает уравнение динамики ротора с присоединенной невращающейся массой.

Из уравнения динамики получены зависимости для определения всех сил и моментов.

Обращается внимание на изменение зависимостей и, в частности, зависимости для определения критической скорости для случая, когда упругие свойства опор уступают жесткостным характеристикам подшипников.
































Критические скорости ротора закрепленного в упругих

опорах и выбор плоскостей коррекции дисбалансов


А.Ю. Животов


Экспериментально подтвержден факт существенной зависимости критической скорости от места расположения плоскости главного вектора дисбаланса вдоль вала. Если плоскость расположения главного вектора дисбаланса совпадает с плоскостью опоры, то критическая скорость в 1,5 раза меньше критической скорости, которая соответствует расположению плоскости главного вектора дисбаланса по середине вала между опорами.

Для простейшего ротора с гибким валом зависимости для определения критической скорости уже получены. Однако в существующей теории динамики роторов, основанной на теории колебаний эти зависимости практически не используются в научных исследованиях. Сложность составления и решения дифференциальных уравнений исключает возможность использования этих зависимостей. Однако это приводит к потере качества исследований, возможности их использования в практических целях.

Новая инерционная теория динамики роторов значительно проще существующей и допускает использование более сложных зависимостей.

В данной статье рассматриваются изменения критической скорости в зависимости от плоскости действия главного вектора дисбалансов, перпендикулярной к оси вращения. При этом подчеркивается, что плоскость действия главного вектора дисбалансов не следует отождествлять с плоскостью расположения центра масс.

Рассматривается действие главного вектора дисбалансов на двухопорный ротор и определяется средняя жесткость опор, которая определяет величину критической скорости.

Показывается, что увеличение расстояния от опоры до плоскости действия главного вектора дисбалансов равнозначно увеличению жесткости опоры.

Приводятся зависимости для определения среднего значения жесткости, учитывающие жесткостные характеристики подшипников опор и самих опор.

Учитывая, что для цилиндрических роторов возможно достижение второй критической скорости приводится зависимость для определения второй критической скорости в зависимости от положения центра масс ротора между опорами. Полученные зависимости позволяют определять наиболее благоприятную плоскость коррекции дисбалансов ротора. Приводятся расчетные уравнения и пример выбора плоскости коррекции дисбалансов.


































Dynamics of a rotor with one support that is a pivot joint

and other support is elastic


A.Y. Zhivotov


A lot of papers present the theoretical studies of disk rotor rotation with different kind of bearings. More often than not, the disk rotor dynamics is considered as rotor rotation on one plane ("plane task") without angular shaft deviation from the rotation axis.

Even when dynamics of the rotor mounted to an arm is considered, reductions transforming a scheme of the rotor fastening to the "plane task" are assumed also.

In many cases to prove experimentally the theoretical studies, it is used a rotor with one support that is a pivot joint, and other support is elastic. At that, test results are compared with design results obtained from the "plane task" solving. Certainly, such assumptions and approximations are possible theoretically. However, it is important to know and estimate appropriately the inaccuracy of such reductions.

Form the other hand, actually the machineries with the rotors fastened to one pivot joint and one elastic support are used extensively.

Nevertheless, the specific theoretical studies with particular rotor fastening had not been performed. The theory of rotor dynamics based on the vibration theory is unworkable under these terms.

New "inertial" theory is applied in the Paper to detailed explanation of the rotor dynamics. The Paper considers all forces and moment affecting the rotor with unbalance. Also, the general pattern of acting forces and equations of the rotor dynamics under vacuum environment are inferred. Analysis of the rotor dynamics equations for three rotation modes shows that the critical speed depends significantly on mass and moments of inertia of the rotor, as well as on a distance between the pivot joint support and the rotor center of mass.

Obtained dependences prove that the more distance the more critical speed. The pivot joint support excludes the complete rotor self-alignment that takes place for the disk rotor rotating on two bearings.

The Paper presents dependences to determine values and directions of all forces and moments affecting the rotor. It provides the dependences to find values and directions of the bearing responses under null-gravity conditions. Additional dependences take into account performances of two elastic support applications instead of one elastic support.

Also, the Paper demonstrates that when the distance between the pivot joint and center of mass of the rotor increases without limit, all equations and dependences are reduced to the form corresponding to the equations and dependences that are particulars of the disk rotor with two supports.


































Динамика ротора зонтичного типа с шарнирной и упругой опорами


А.Ю. Животов


В современной технической литературе и учебниках отсутствует информацияо о том, кто впервые рассмотрел задачу вращения тела с одной точкой опоры. Может быть это были Галилео или Ньютон. Твердо можно утверждать, что эту задачу пытался решить Кирхгоф (1827-1887). Встречающаяся в учебниках физики и теоретической механики задача о прецессии гироскопа - это все таже задача, о которой упоминалось выше.

Достаточно отметить, что известный русский математик Софья Ковалевская признана победительницей конкурса, объявленного Французской академией наук, так как смогла найти третий случай интегрируемости уравнений Эйлера, описывающих процесс вращения тела вокруг неподжвижной точки.

"Колебательная" теория также пыталась решить эту задачу применительно к центрифугам.

В данной статье на основе "инерционной" теории динамики ротора приводится решение этой классической задачи в более сложных условиях, с помощью простейших алгебраических уравнений.

Рассматриваются силы и моменты действующие на вертикальный ротор, составляется схема действующих сил и моментов и на основании этой схемы составляется общее уравнение движения. Дается детальный анализ полученного уравнения на трех основных режимах вращения.

Режим свободного вращения тела с одной точкой опоры рассматривается при условии нулевой жесткости упругой опоры. Показывается, что только для роторов у которых осевой момент инерции больше экваториального, возможно устойчивое вращение.

Устанавливается предельное значение высоты расположения центра масс относительно точки опоры при котором возможно устойчивое вращение ротора. Устанавливается значение предельной скорости, после превышения которой начнется режим характерный для гироскопов. Приводится зависимость, которая по принятой терминологии связывает скорость вращения ротора со скоростью прецессии.

Полученные уравнения позволяют определять все действующие на ротор силы и моменты, а также все параметры и условия существования режимов вращения ротора.


































Динамика вертикально подвешенного ротора


А.Ю. Животов, Ю.В. Бразалук


Если динамика вращающегося тела с одной точкой опоры была предметом всеобщего рассмотрения, то динамика вертикально подвешенного ротора явилась результатом постепенного прогресса современного машиностроения. Вертикальные высокоскоростные утрацентрифуги, высокооборотные металлорежущие станки являются причиной детального изучения динамики вертикально подвешенного ротора. Однако существующая "колебательная" теория динамики роторов не предусматривает составления строгой схемы действующих сил, не учитывает особенностей физики процессов и поэтому не делает различий между вертикально подвешенным ротором или вертикально опертым ротором. Однако, на основании метода проб и ошибок отмечает, что вертикально опертый ротор обладает более устойчивым характером вращения.

В данной статье рассмотрены силы и моменты действующие на вертикально подвешенный ротор, имеющий дополнительную упругую опору. Получены уравнения движения и зависимости для определения действующих сил и моментов.

Проводится детальный анализ основных режимов вращения. Показывается взаимосвязь уравнений с основными уравнениями "инерционной" теории динамики роторов. Даются уравнения для определения критической скорости. Отмечается, что с увеличением длины подвеса ротора значение критической скорости возрастает.

Отмечается, что для дискового ротора существует условие при выполнении которого возможно существование критической скорости. Подчеркивается, что неуравновешенный ротор самоцентрируется. Однако самоцентрирование ротора происходит не полностью. Приводятся зависимость скорости ротора и скорости прецессии при достижении сверхвысоких скоростей




































Динамика дискового ротора с динамической



А.Ю. Животов


В "колебательной" теории динамики роторов в наиболее общем случае рассматривается поведение ротора под действием несбалансированной массы смещенной относительно центра масс ротора вдоль оси ротора.

В основном рассмотрению подлежит динамика ротора, если на ротор воздействует центробежная сила, не проходящая через центр масс.

В обоих случаях предусматривается, что плоскость действия главного вектора и главного момента дисбалансов совпадают.

В реальных условиях плоскости действия этих сил и моментов не совпадают. Поэтому получение уравнения и их решения могут служить только для качественной оценки поведения ротора и не используются для идентификации дисбалансов ротора. (В данном случае правильность уравнений не рассматривается). Механизм решения уравнений дает результаты, по которым нельзя восстановить первоначальные уравнения.

В данной статье рассматривается задача определения внешних проявлений ротора под воздействием динамической неуравновешенности с произвольным расположением плоскостей действия главного вектора и главного момента дисбалансов.

Основной задачей является подготовка условий и закономерностей для возможности идентификации дисбалансов (балансировка) роторов по внешним проявлениям.

Для описания сложного движения ротора используются ранее полученные уравнения динамики ротора со статической и моментной неуравновешенностью и известный принцип суперпозиции, широко используемый в динамике роторов.

Отмечается необычное вращение ротора: вращение ротора начинается после второй критической скорости и при увеличении скорости вращения наблюдается переход ротора через первую критическую скорость.

Приводится схема действующих сил с учетом перемещений ротора под независимым действием главного вектора и главного момента дисбалансов. Устанавливается соответствие углов перемещений ротора и направлений действующих сил.

Приводятся расчетные зависимости для определения перемещений ротора и угловых характеристик направлений этих перемещений относительно выбранного направления отсчета.







































Динамика цилиндрического ротора с динамической



А.Ю. Животов


В "колебательной" динамике роторов использование различных по существу уравнений (свойственное динамике дискового ротора со статической неуравновешенностью) сохраняется для описания динамики цилиндрических роторов с динамической неуравновешенностью. Одни уравнения получены из уравнений собственных колебаний "ротора" путем добавления внешней циркулирующей силы.

Для составления других дифференциальных уравнений применяют теорему о движении центра инерции системы материальных точек и теорему об изменении главного момента количеств движения системы материальных точек в относительном движении по отношению к центру инерции.

Таким образом, "колебательной" теории вновь свойственна двойственность.

В данной статье используются ранее полученные уравнения "инерционной" теории динамики для описания вращения ротора раздельно со статической и с моментной неуравновешенностью, а также принцип суперпозиции.

Обращается внимание на влияние конструктивных особенностей крепления ротора в опорах, которые позволяют первоначально достигать второй критической скорости, а затем первой.

Подчеркивается, что статическое или моментное самоцентрирование ротора в зависимости от конструкции подвески ротора может наступать в произвольной последовательности или одновременно. Однако полное самоцентрирование наступает после осуществления статического и моментного самоцентрирования.

Для изучения основных движений ротора при произвольном расположении плоскостей действия главного вектора и главного момента дисбалансов строится общая схема действующих сил с учетом соответствующих перемещений ротора. Показывается, что эта схема существенно зависит от режимов вращения ротора со статической и с моментной неуравновешенностью.

Приводятся расчетные зависимости для определения перемещений ротора и угловых положений этих перемещений относительно плоскости действия главного вектора дисбалансов.

Отдельно рассмотрен вопрос перемещений ротора после перехода через первую и вторую критические скорости и процесс полного самоцентрирования.


































Идентификация (балансировка) дисбалансов

дискового ротора


А.Ю. Животов


Идентификация дисбалансов является обратной задачей динамики ротора. Задачей динамики является определение поведения ротора, его смещений относительно оси вращения под действием дисбалансов. Задачей идентификации является определение величины и места расположения дисбалансов на роторе по его перемещениям или силовому воздействию на опоры. "Колебательная" теория не дает решения уравнений, которые обладали бы "обратным" свойством. Имеется в виду: получаемые зависимости для определения смещений ротора не позволяют восстановить то уравнение, из которого получены эти зависимости.

Именно поэтому, балансировка роторов практически полностью основана на анализе поведения ротора с пробным грузиком.

В данной статье предлагается вооружить теорию балансировки, обеспечившую реальное балансирование роторов, новой теорией динамики ротора, которая позволяет решать задачу идентификации дисбалансов по поведению ротора без использования пробных грузиков.

В данной статье рассматривается поведение ротора под действием главного вектора и главного момента дисбалансов, лежащих в произвольных плоскостях.

Выбираются основные зависимости, определяющие положение ротора под действием дисбалансов. Выбирается тип балансировочного станка, и задаются его основные параметры, которые должны быть известными к началу балансировки.

В качестве одного из важных условий считается отсутствие данных о массе и моментах инерции ротора. С учетом этих условий приводится алгоритм решения задачи идентификации дисбалансов.

Задача идентификации решена для любого из трех режимов вращения ротора, что позволяет идентифицировать дисбалансы ротора на "рабочих" скоростях. Несколько неожиданным результатом исследований явилась возможность определения массы ротора на балансировочном станке с высокой точностью. Современные станки позволяют балансировать роторы с точностью до 1мкм. С таким же порядком точности может быть определена масса ротора.

Подчеркивается достоинство описанного алгоритма идентификации дисбалансов, заключающееся в том, что процесс идентификации дисбалансов не требует остановки ротора.

Подчеркивается также, что контроль качества идентификации можно осуществлять сравнением заранее известной массы ротора с рассчитанной массой ротора в ходе идентификации дисбалансов.

































Идентификация (балансировка) дисбалансов

цилиндрического ротора


А.Ю. Животов


Вопросу теоретических исследований особенностей балансировки роторов посвящено значительное количество научных работ. В исследованиях используются элементы теории динамики ротора. Иногда для пояснения физики воздействия дисбалансов на поведение ротора используются уравнения "колебательной" теории.

Однако теория и практика балансировки выбрала направление исследований полностью отличающееся от направлений исследований в области динамики роторов.

Учитывая, что теория и практика балансировки роторов занимается решением задач, связанных с осуществлением производственного цикла изготовления изделий, то можно предполагать, что разрыв между теорией динамики ротора и теорией балансировки обусловлен использованием в теории динамики роторов уравнений теории колебаний.

В данной статье показывается, что "инерционная" теория динамики и теория балансировки являются совместимыми направлениями науки.

В статье рассматривается вращающийся ротор, который под действием дисбалансов занимает определенное положение относительно оси вращения. Исходя из смещений ротора, приводиться алгоритм пересчета и определения величины и место расположения дисбалансов на роторе. В алгоритме предусматривается определение главного вектора и главного момента дисбалансов с помощью зависимостей, полученных путем решения уравнений "инерционной" динамики роторов. Алгоритм получен с учетом известных параметров балансировочного станка, таких как упругость опор, расстояние между опорами. Считается, перед балансировкой масса и моменты инерции ротора неизвестны.

Показывается, что идентификация дисбалансов может быть осуществлена за один пуск балансировочного станка.

Контроль точности определения главного вектора и главного момента дисбалансов может быть осуществлен по заранее известной массе и моментах инерции ротора.







































Dynamics of Rotor with Moment Unbalance


A.Y. Zhivotov


It is considered that the rotor dynamics in general case consists of centre of mass motion and rotor turn about centre of mass. It becomes clear by principle differences of the rotor behaviour subjected to static and moment unbalances. Of course, compound motion should be considered after study of simpler one. It seems that the rotor rotation subjected to the moment unbalances is a simple motion. However, many studies indicate peculiar effect of an axis and equatorial inertial moments ratio onto the rotor dynamics; emphasizes problems of resonance effect detection and critical speed determination. The vibration theory includes no equations dedicated to the rotor lateral vibrations at fixed centre of mass and, therefore, the rotor dynamics with moment unbalance is still unstudied.

The Paper, based on new "inertial" theory considers the dynamics of rotor subjected to disturbing factors generating the moment unbalance.

The study point is a vertical rotor with the shaft mounting onto the elastic supports (bearings).

The problems successfully solved in the Paper agree with the issues solved in the Paper called "Disc Rotor Dynamics with Static Unbalance" (see the Abstract).

However, in case of rotor rotation with moment unbalance the general equation is divided into two independent equations. One equation meets the rotor rotation when axis moment of inertia exceeds the equatorial one. Second equation corresponds to rotation when axis moment of inertia is less than equatorial moment of inertia.

In first case the rotor passes a resonance mode with acceleration and self-aligns with decreasing of the rotor deflection from the rotation axis. In second case the critical speed is unavailable, the rotor self-aligns, but rotor deflection from the rotation axis increases.

The paper emphasizes an analysis of the equations.









Hosted by www.Geocities.ws