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Os �ltimos dois s�culos do 2.o mil�nio a.C. testemunham muitas
mudan�as econ�micas e pol�ticas.
Algumas civiliza��es desapareceram, o poder do Egito e da Babil�nia declinou, e outros
povos, especialmente os Hebreus, os ass�rios, os Fen�cios e os Gregos passaram ao 1.o
plano. A idade do Ferro que se anunciava trazia consigo mudan�as abrangentes no que se
refere � guerra e todas as atividades que se exigiam instrumentos ou ferramentas.
Inventou-se o alfabeto e se introduziram as moedas.
O com�rcio foi crescentemente incentivado e se fizeram muitas descobertas geogr�ficas. O
mundo estava pronto para um novo tipo de civiliza��o.
O aparecimento dessa nova civiliza��o se deu nas cidades comerciais espalhadas ao longo
da costa da �sia Menor e, mais tarde, na parte continental da Gr�cia, na Sic�lia e no
litoral da It�lia. A vis�o est�tica do Oriente antigo sobre as coisas tornou-se
insustent�vel, e numa atmosfera de racionalismo crescente, o homem come�ou a indagar
como e porqu�.
Os processos emp�ricos do Oriente antigo, suficientes o bastante para responder quest�es
na forma de como, mas n�o bastavam para as indaga��es na forma de por que.
Algumas experi�ncias com o m�todo demonstrativo foram se consubstanciando e se impondo,
e a fei��o dedutiva da matem�tica, considerada por muitos como caracter�stica
fundamental, passou ao primeiro plano.
Assim, a matem�tica, no sentido moderno da palavra, nasceu nessa atmosfera de
racionalismo e em uma das novas cidades comerciais localizadas na costa oeste da �sia
Menor.
Segundo a tradi��o, a geometria demonstrativa come�ou com Tales de Mileto, um dos
"sete s�bios" da antig�idade, durante a 1.a metade do s�culo 6 a.C.
Tales, nascido em Mileto,�sia Menor, viveu de 624-547 a.C. Em 582 ele foi declarado um
dos sete homens s�bios, e com raz�o. De todos os outros, nenhum era fil�sofo, a
maioria, homens astutos levados pela legisla��o. Tales exaltava-se por si s�, sua
geniosidade tinha varias faces. Estadista, engenheiro, homem de neg�cios, fil�sofo,
matem�tico e astr�nomo. Ele cobriu quase todos os campos de pensamento e atividade
humana.
Como engenheiro, � dito que ele habilitou o exercito de Croesus � atravessar o rio
Halys, sendo o primeiro a construir um canal artificial e desviando o fluxo para ele,
redirecionando posteriormente para o seu antigo curso.
Foi tamb�m um mercador e percorreu durante longos anos o Egito, onde adquiriu,
conhecimentos cient�ficos que os sacerdotes do vale do Nilo t�o zelosamente ocultavam.
E em uma ocasi�o, querendo mostrar qu�o f�cil seria ficar rico, prevendo que numa certa
esta��o do ano haveria uma grande colheita de azeite, ele comprou todas as produ��es
de azeite na regi�o, pagando pouco pelas terras, e quando n�o, podendo pagar depois por
elas. O resultado foi uma grande fortuna que veio junto com a colheita.
Quando voltou a sua terra, abandonou por completo seus lucrativos neg�cios e fundou uma
escola - a mais antiga escola filos�fica que se conhece - chamada "Escola
J�nica".
Os sacerdotes eg�pcios, s� conheciam a Geometria das superf�cies, Geometria reduzida a
simples quadraduras, empiricamente obtidas, enquanto Tales iniciou a verdadeira Geometria
abstrata que consiste em estabelecer rela��es precisas entre diversas partes de uma
figura, de maneira a poder-se determinar rigorosamente uma delas por meio das outras.
Tales � o primeiro personagem conhecido a que associam descobertas matem�ticas.
Em geometria creditam-se a ele os seguintes resultados:
- Demonstrou que o di�metro divide um c�rculo em duas partes iguais;
A afirma��o de que Tales demonstrou que o c�rculo � bissectado pelo seu di�metro (
fato que Euclides afirma como defini��o ) n�o pode ser aceita t�o literalmente. Tales
deu mais import�ncia para observa��o do que provar o fato, o que pode ter sido sugerido
por ele atrav�s de certos desenhos, que viu em monumentos no Egito de c�rculos que eram
divididos em dois, quatro ou seis di�metros.
- Descobriu que �ngulos opostos pelo v�rtice tem medidas iguais,
segundo afirmou Eudemus;
- Os �ngulos da base de um tri�ngulo is�sceles t�m medidas iguais,
tendo somente come�ado esta id�ia;
- O �ngulo inscrito numa semicircunfer�ncia � reto ( esse resultado
era do conhecimento dos Babil�nios cerca de 1400 anos antes);
- Provavelmente deve ter tido conhecimento do resultado" Se dois tri�ngulos t�m 2
�ngulos e um lado em cada um deles respectivamente iguais, ent�o esses tri�ngulos s�o
iguais ", por ser necess�rio para o seu m�todo de calcular a dist�ncia de um navio
� Praia.
- O teorema chamado lei angular de Tales , em que a soma dos tr�s �ngulos de um
tri�ngulo � sempre igual a dois retos, introduzindo a no��o de equa��o .
- O teorema que estabelece condi��es de semelhan�a entre tri�ngulos, introduzindo a
no��o de propor��o .
- A ele tamb�m � atribu�do um teorema que a partir do s�culo XIX ficou conhecido como
o Teorema de Tales.
O valor desses resultados n�o deve ser aquilatados por eles mesmos, mas antes pela
cren�a de que Tales obteve-os mediante alguns racioc�nios l�gicos e n�o pela
intui��o ou experimentalmente.
Por exemplo a quest�o da igualdade de um par de �ngulos opostos pelo v�rtice. Nos
tempos pr�-Helenicos a igualdade desses dois �ngulos era considerada provavelmente t�o
obvia que, se por acaso algu�m tivesse d�vidas a respeito, bastaria este algu�m
recortar os �ngulos e superpor ao outro.
Tales ao contr�rio, preferiu estabelecer a igualdade dos �ngulos por racioc�nio
l�gico, talvez em grande parte como se faz hoje em geometria elementar.
Assim a soma de a com b � um �ngulo raso, e b com c tamb�m o �.
Assim a = b.
Ele escreveu um trabalho de astronomia e soube firmar, entre seus contempor�neos, o mais
elevado renome, n�o s� de ge�metra, como tamb�m de astr�nomo.
N�o h� evid�ncia que sustente a hist�ria que Tales previu o Eclipse Solar em 585 a.C.