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A medida que um tanque vai recebendo �gua, o n�vel de �gua sobe. Para descrever a velocidade com que o n�vel da �gua sobe, usamos a taxa de varia��o da profundidade. Denotando-se a profundidade por h e sendo o tempo t medido a partir de um momento conveniente, a derivada fornece a taxa de varia��o da profundidade. Al�m disso, o volume V de �gua no tanque tamb�m est� mudando e � sua taxa de varia��o.

Analogamente, toda quantidade f�sica ou geom�trica que varia com o tempo � fun��o do tempo, digamos que Q = Q( t ) e sua derivada � a taxa de varia��o da quantidade. Os problemas que vamos considerar agora s�o baseados em que, se duas quantidades vari�veis estiverem relacionadas entre si, ent�o suas taxas de varia��o tamb�m o estar�o.

Exemplo - uma escada de 13 m esta apoiada em uma parede. A base da escada esta sendo empurrada no sentido contr�rio ao da parede, a uma taxa constante de 6 . Qual a velocidade com a qual o topo da escada se mova para baixo, encostado � parede, quando a base da escada est� a 5 m da parede?

Usando a figura podemos clarear as id�ias pois,

, Quanto valer� quando x = 5 ?

( O uso do sinal negativo aqui pode ser melhor entendido pensando em como a taxa com que y est� crescendo, e como a taxa com que y esta decrescendo. O problema pede o segundo caso.) A grosso modo, conhecemos uma derivada em rela��o ao tempo e queremos achar a outra. Logo, procuramos uma equa��o ligando x e y da qual possamos obter uma segunda equa��o relacionando suas taxas de varia��o. � claro pela figura que nosso ponto de partida deve ser o fato de que

derivando em rela��o a t , obtemos

	ou			ou
		;

e portanto

,

visto que . Finalmente, a equa��o revela que y = 12 quando x = 5, logo nos leva a concluir que

= 2

quando x = 5.

Exemplo - Um jovem com 1,60 m de altura esta correndo � velocidade de 3,6 e passa embaixo de uma l�mpada num poste a 6 m acima do solo. Encontre a velocidade com que o topo de sua sombra se move quando ela esta

a ) a 6 m depois da l�mpada e

b ) a 15 m depois da l�mpada

a ) , Quanto valer� quando x = 6 ?

derivando em rela��o a t , obtemos

ou

e portanto

,

visto que . Finalmente, a equa��o revela que quando x = 6, logo nos leva a concluir que

b ) , Quanto valer� quando ?

,

visto que . Finalmente, a equa��o revela que quando x = 15, logo nos leva a concluir que

=

quando x = 15

Pagina feita e mantida por Jayme Alves de Oliveira Neto
A �ltima atualiza��o dessa pagina foi feita em 16 mar�o, 2008.