Teoría de Números:
Resume sobre congruencia.

Inducción Matemática

1) ¿Sumas tan rápido como Gauss?

2) No todo lo que parece es. ¿Después de 9 qué?

3) Suma de Números consecutivos

4) ¿Existe esta Función?

Problema1
¿Sumas tan rápido como Gauss?

a) Calcula la suma 1+2+3+4+…+ 98+99+100 en 10 segundos. Este ejercicio se lo puso a Gauss su profesor cuando tenía 9 años.

b) Calcula la suma 1+2+3+…+ n donde n es un número natural.

Solución                                                         Subir

Problema2
No todo lo que parece es. ¿Después de 9 qué?

a) Halla la suma de 1+11+111+1111+11111.

b) Halla la suma de 1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111+111111111

c) Halla la suma de 1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111+111111111 +1111111111

c) Halla la suma de 1 + 11 + 111 +…+ 11.111 donde el ultimo número tiene n dígitos.

Solución                                                                Subir

Problema3 
Suma de Números consecutivos

a) ¿Es posible generar cualquier número entre 1 y 36 con sumas de números consecutivos? Por ejemplo :
                                        9=4+5
                                        24=7 + 8 + 9             

b) ¿Qué números podemos asegurar que no se pueden escribir como suma de números consecutivos? 

c) ¿Es posible generar cualquier número con sumas de dos números consecutivos? 

d) ¿Cuales son los números que se pueden generar como suma de consecutivos?

e) ¿De cuantas formas se puede escribir un número como sumas de números consecutivos? 

f) ¿Halla todas las formas de escribir el número 420 como suma de números consecutivos?

Solución:                                                         Subir

Problema4
¿Existe esta Función?

Encontrar todas las funciones  f: Z --->Z   tal que   f(x + f(y)) = f(x) – y.   Donde Z representa el conjunto de los números enteros.

Solución                                                                Subir
(Nota: Este problema es de la olimpiada española 2004 pregunta 3)