La inducción matemática permite demostrar propiedades referentes a los números naturales, que será el conjunto “inductivo” con el que trabajaremos en este pequeño resumen.

Consideremos una propiedad P referente a los números naturales y sea P(n) dicha propiedad enunciada para el número natural n. El objetivo es demostrar que dicha propiedad es verdadera para todo n natural o al menos a partir de uno determinado.

Principio de inducción:

• Demostrar que la propiedad es verdadera para un primer número natural n0, es decir P(n0) es verdadera.
• Supuesto que es verdadera para n = k, demostrar que también lo es para n = k+1,es decir si P(k) es verdadera entonces P(k + 1) tambiénes verdadera.

Entonces la propiedad P es verdadera para todo número natural a partir de n0.

Ejemplos:
1) Demostrar que 1 + 2 + 3 + … + n = n(n + 1)/2.

             I) Para n = 1 tenemos que:
                             1 = 1(1 + 1)/2

             II) Supongamos la formula cierta para n = k entonces:
                            1 + 2 + … + k = k(k + 1)/2  y demostrémosla para n = k + 1.

                    (Observemos que para n = k + 1 la formula queda 1 + 2 + … + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2 ).

                     Si sumamos k + 1 en ambos miembros de la formula anterior tenemos que:
                           1 + 2 + … + k + (k + 1) = k(k + 1)/2 + (k + 1),
                    Pero
                           k(k + 1)/2 + (k + 1) = (k + 1)(k/2 + 1) = (k + 1)(k + 2)/2
                    Luego
                          1 + 2 + … + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2)/2
                   Que es lo que queríamos demostrar.

2) Demostrar que 2ⁿ > 2n + 1 para todo n natural con n ³ 3

             I) Para n = 3 tenemos que:
                          2³ = 8 > 2·3 + 1 = 7

             II) Supongamos la desigualdad valida para n = k entonces:
                           2^k > 2k + 1   y demostrémosla para n = k + 1.
                   (Observemos que para n = k + 1 la desigualdad queda  2^k+1 > 2(k + 1) + 1 = 2k + 3)

                   Si multiplicamos por 2 la desigualdad anterior nos queda que:
                           2^{k + 1} > 4k + 2
                                  Pero   4k + 2 = 2k + 2k + 2 > 2k + 1 + 2    ya que    2k > 1 porque k ³ 1.

                  De donde
                           2^{k + 1} > 4k + 2 > 2k + 3 que es lo que queríamos demostrar.