SOLUCIÓN AL PROBLEMA 1 :
a) Llamemos S a esta suma y observemos que:
S = 1 + 2 + 3 + …+ 99 + 100
+ S = 100 + 99 + 98 + …+ 2 + 1
2S = 101 +101+101+ ... +101+101 = 100·101 luego S = 100·101/2
b) Haciendo lo análogo al apartado a) tenemos que
S = n(n + 1)/2
(Nota: Una demostyración más rigurosa se puede dar utilizando inducción matemática, esta resuelto en el resumen de inducción.)
SOLUCIÓN AL PROBLEMA 2 :
a) 1 + 11 + 111+ 1111 + 11111 = 12345.
b) 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111 + 111111111 = 123456789.
c) 1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111+111111111 +1111111111 = 1234567900
d) S = 1 + 11 + 111 + … + 11.111 = 1 + (1 + 10) + (1 + 10 + 100) + … + (1 + 10 + 100 + … + 10…00) =
= (101 – 1)/9 + (102 – 1)/9 + (103 – 1)/9 + … + (10n – 1)/9 = [101 +102 +…+10n – 1 –1–…–1]/9 = [10(10n – 1)/9 - n]/9 = (10n+1 – 10 – 9n)/81