SOLUCIÓN AL PROBLEMA 4 :

a) Haciendo y = 0 queda                    b) Haciendo x = 0 en a)         c) Haciendo y = f(0)

                  f(x + f(0)) = f(x) – 0 = f(x)                f(f(0)) = f(0)                            f( x + f[f(0)] ) = f(x) – f(0)

                                                                                                                             f( x + f(0) ) = f(x) – f(0) por b)

           Igualando las partes derechas de a) y c)  ya que las izquierdas lo son sigue que:

                                  f(x) = f(x) – f(0)       luego       f(0) = 0.

      I) Haciendo x = 0 queda

                f(0 + f(y)) = f(0) – y = 0 – y = –y             es decir f(f(x)) = - x cambiando y por x.

      II) Hagamos ahora f(1) = b entonces f(b) = f(f(1)) = -1 por I).

      III) Haciendo y = b. f(x + f(b)) = f(x) – b entonces f(x – 1) = f(x) – b, por I) ya que f(b) = -1 despejando:

                                                  f(x) = f(x – 1) + b.

       Por inducción tenemos que f(x) = x·b:

                   Para x = 1, f(1) = 1·b

                   Supongámoslo cierto para x es decir f(x) = x·b entonces

                        f(x + 1) = f(x) + b = x·b + b = (x + 1)·b.

       Para terminar observemos que                 f(x + f(y)) = f(x) – y   Þ    f(x + y·b) = x·b – y    Þ  

                                                                        (x + y·b)·b = x·b – y    Þ    y·b² = –y      Þ

                                               y(b² + 1) = 0, "yÎÂ lo que es una contradicción.

Por tanto no existe ninguna función que cumpla las hipótesis del problemas.