a) No todos
3=1+2 |
20=2+3+4+5+6 |
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4 |
21=10+11=6+7+8=1+2+3+4+5+6 |
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5=2+3 |
22=4+5+6+7 |
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6=1+2+3 |
23=11+12 |
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7=3+4 |
24=7+8+9 |
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8 |
25=12+13=3+4+5+6+7 |
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9=4+5=2+3+4 |
26=5+6+7+8 |
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10=1+2+3+4 |
27=13+14=2+3+4+5+6+7=8+9+10 |
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11=5+6 |
28=1+2+3+4+5+6+7 |
|
12=3+4+5 |
29=14+15 |
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13=6+7 |
30=6+7+8+9=4+5+6+7+8=9+10+11 |
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14=2+3+4+5 |
31 =15+16 |
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15=7+8=4+5+6=1+2+3+4+5 |
32 |
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16 |
33 = 16+17 |
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17=8+9 |
34 =7+8+9+10 |
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18=5+6+7=3+4+5+6 |
35 =17+18 |
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19=9+10 |
36 =1+2+3+4+5+6+7+8 = 11 + 12 + 13 |
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b) No es posible escribir como suma de consecutivos a los números que sean potencias de 2. Para ver esto rigurosamente lo desarrollaremos formalmente:
Escribamos la suma de “k”, k >1, números naturales consecutivos comenzando por “n” :
A = n + (n+1) + … + (n+k-1) = kn + 1 + 2 + … +( k – 1) = kn + k(k – 1)/2
Consideraremos los dos casos posibles, que k sea par e impar:
k=2m (k par),
A = 2mn + 2m(2m – 1)/2 = 2mn + m(2m – 1) = m[2n + 2m – 1] = m[2(m+n) – 1]
k = 2m + 1 (kimpar):
A = (2m + 1)n + (2m + 1)(2m + 1 -1)/2 = (2m + 1)n + (2m + 1)m = (2m + 1)(n + m)
Podemos observar que en ambos casos los números que se obtienen son múltiplos de números impares propiedad que no cumplen los números que son potencias de 2.
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c) Observemos el desarrollo del apartado b) para escribir a A como suma de dos consecutivos: k=2·1, m=1, luego A = 1·[2(1 + n) – 1] = 2n + 1. Es decir A tiene que ser un número impar.
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d) Sepueden escribir como suma de números consecutivos cualquier número que no sea potencia de 2.
Podríamos demostrar esto y que a la vez quedara clara la cantidad de forma en las que se puede hacer sin embargo para una mejor comprensión escribiré casi lo mismo 2 veces:
Hemos visto en el apartado b) que los números que son potencia de 2 no se pueden escribir como suma de números consecutivos solo falta demostrar que cualquier número que no lo sea si se puede escribir de esta forma. Sea A >2, un número natural que no sea potencia de 2:
Entonces A = (2^s) · r, donde s es mayor o igual que cero, r >2 y r impar. Observemos que si A es impar entonces s = 0 también observemos que r>2 porque A no es potencia de 2 (luego no puede ser 1) y r es impar.
Ejemplos:A = 168 = 23 · 21,A = 55 = 20 · 55.
Analisemos aquí también los dos casos: k = 2m (k par):
A = m[2(m + n) – 1] = (2^s) · r , hacemos
m = (2^s) y [2(m + n) – 1] = r despejando en esta ultima relación a n
n = (r – 2·(2^s) + 1)/2 pero como n es mayor que cero esto solo es posiblesi r > 2·(2^s) – 1 o lo mismo
r > 2·(2^s) ya que r es impar.
k = 2·(2^s) y n = (r – 2 s + 1 + 1)/2.
Ejemplo:
A = 264 = 8 · 33 = 23 · 33, s = 3, r = 33
k = 2 3+ 1 = 16, n = (33 – 16 + 1 )/2 = 9
A = 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 + 22 + 23 + 24
k = 2m + 1 (k impar).
A = (2m + 1)(n + m) = (2^s)· r, hacemos
n + m = (2^s) y r = 2m + 1 ya que r es el número impar, despejando tenemos
m = ( r – 1)/2 y n = 2^s – (r – 1)/2 esto solo es posiblesi r < 2·(2^s ) + 1 o lo que es lo mismo
r < 2 s + 1 ya que r es impar.
k = r y n = 2^s – (r – 1)/2
Ejemplo:
A = 288 = 32 · 9 = 25 · 9,s = 5, r = 9
k = 9, n = 32 – (9 – 1)/2 = 28
A = 28 + 29 + 30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36
Pero como al descomponer a A = (2^s)· r se cumple que bien r < 2^s o bien r > 2^s entonces siempre es posible escribir a estos A como la suma de números consecutivos.
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e) Para responder de cuantas formas se puede escribir un número como suma de números consecutivos, trabajaremos totalmente analogo al apartado d). Arriba escribimos A = (2^s)· r, descompongamos r = p·q, q > 2 , es decir A = (2^s)· p · q, procedemos de igual manera que arriba:
Si k = 2m (k par).
A = m[2(m + n) – 1] = (2^s)· p · q , hacemos
m = (2^s) ·p y [2(m + n) – 1] = q despejando en esta ultima relación a n tenemos que
n = (q – 2·(2^s) · p + 1)/2 como n es mayor que cero esto solo es posiblesi q > 2·(2^s)· p – 1 o lo que es lo mismo q > 2·(2^s)·p ya que q es impar.
k = 2·(2^s) · p y n = (q – 2·(2^s)· p + 1)/2.
Si k = 2m + 1 (k impar)
A = (2m + 1)(n + m) = (2^s)· p · q, hacemos
n + m = (2^s) · p y q = 2m+1 ya que este ultimo es el número impar, despejando tenemos
m=(q – 1)/2 y n =(2^s) · p –(q – 1)/2, esta vía solo es posible si q < 2·(2^s) · p + 1 o lo mismo
q < 2·(2^s) · p ya que q es impar.
k = q, n = 2 s · p – (q – 1)/2
Conclusión de estos cálculos: A = 2^s · p · q, con q>2:
q > 2·(2^s) · p k = 2·(2^s) · p, n = (q – 2·(2^s) · p + 1)/2
q < 2·(2^s) · p k = q, n = (2·(2^s) · p – q + 1)/2
pudiendo intercambiar los valores de p y q excepto cuando p = 1, por lo que todas las descomposiciones de r darán lugar a dos formas de escribir a A, excepto r = 1 · r ya que q >3 y cuando p = q.
Ejemplos:
A = 120 = (2^3) · 15 r= 15 = 1 · 15 = 3 · 5
p = 1, q = 15 ,
q = 15 < 16 = 2·(2^s) · p k = 15, n = 8·1 – (15 – 1)/2 = 1
A = 120 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15
p = 15, q = 1: no porque funciona solo cuando q >2.
p = 3, q = 5
q = 5 < 48 = 2·(2^s) · p k = 5, n = (24 · 3 – 5 + 1)/ 2 = (48 – 5 + 1)/2 = 22
A = 22 + 23 + 24 + 25 + 26
p = 5, q = 3
q = 5 < 80 = 2·(2^s) · p k = 3, n = 23 · 5 – (3 – 1)/ 2 = 40 – 1 = 39
A = 39 + 40 + 41
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e) Aquí están las formas en las que se puede escribir 420 como suma de números consecutivos:
420 = (2^2) · 3 · 5 · 7 = (2^2)· 1 · 105 = (2^2)· 3 · 35 = (2^2)· 5 · 21 = (2^2)· 7 · 15 = (2^2) · 15 · 7
= (2^2) · 21 · 5 = (2^2) · 35 · 3
Se puede hacer de 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 13 formas distintas (Con las formulas del apartado anterior):
420 = 49 + 50 + 51 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 = 6 + 7 + 8 + … + 28 + 29 = ....
(p=1, (2^3) = 8, q=105 ) (k= 8, n=49) (p=3, (2^3) = 8, q=35 ) (k= 24, n=6)