Uma forma de se demonstrar que existem cinco, e somente cinco poliedros regulares de Platão é a partir da relação de Euler.

i ) Sabemos que cada uma das F faces tem n lados ( ):

vimos que o número de arestas é , assim,

ii) Temos que cada um dos V ângulos poliédricos tem p arestas ( )

vimos que o número de arestas é , assim,

iii) Pela relação de Euler temos

dividindo por 2A temos:

Sendo A o número de arestas, então A > 0 , donde > 0 , isto é,

>

Desta ultima relação concluímos que é impossível n e p serem simultaneamente maiores que 3; por exemplo, se n = p = 4 teríamos > , o que é falso.

Portanto nos poliedros de Platão temos obrigatoriamente n = 3 ( triângulos ) ou p = 3 ( triedros ).

Vejamos, agora, todos os valores possíveis para n e p , levando-se em conta a desigualdade > .

Para p = 3 ( triedros )

logo como temos, n = 3, n = 4 ou n = 5

Para n = 3 ( triângulos )

logo como temos, p = 3, p = 4 ou p = 5

Os pares de números n e p definem os poliedros. Observe então que temos apenas cinco possibilidades, provando então que existem apenas cinco poliedros regulares de Platão.

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Jayme Alves de Oliveira Neto