CONTENIDO
1. Mec�nica
2. Propiedades de los Fluidos
3. Gases
4. Fen�menos T�rmicos
5. Sonido y Luz
6. Varios
7. Ap�ndice
Bajar Parte 1
Bajar Parte 2
Bajar Parte 3
Escribir @ Antonio
Cap�tulo Segundo.
PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
55. El agua y el aire.
�Qu� pesa m�s, la atm�sfera del globo terr�queo o toda el agua que hay en �l? �Cu�ntas veces?
Un c�lculo bastante sencillo permite determinar grosso modo la raz�n de la masa de la atm�sfera con respecto a la de toda la reserva de agua de nuestro planeta. El peso de la atm�sfera equivale al de una capa de agua de unos 10 m (0,01 km) de espesor, que cubre uniformemente toda la superficie del Globo. Si el radio de la Tierra es R km, la masa de aire que la rodea (medida en miles de millones de toneladas) ha de ser igual a
Los oc�anos, midiendo 4 km de profundidad por t�rmino medio, ocupan los 3/4 de la superficie terrestre. De modo que la masa del agua de todos ellos es igual (en miles de millones de toneladas)
La raz�n inc�gnita equivale a
As� pues, toda el agua que hay en el Globo pesa unas 300 veces m�s que todo el aire (m�s exactamente, 270 veces m�s).
56. El l�quido m�s ligero.
Ind�quese el l�quido m�s ligero.
Entre los l�quidos el que menor densidad tiene es el hidr�geno licuado: 0,07 g/cm3; �ste es catorce veces m�s ligero que el agua, o sea, aproximadamente tantas veces como el agua es m�s ligera que el mercurio. Entre los l�quidos en el segundo lugar est� el helio licuado cuya densidad es de 0,15 g/cm3.
57. El problema de Arqu�medes.
Se conocen varias versiones del problema de la corona de oro. Vitruvio, arquitecto de la antigua Grecia (siglo I a.C.), la refiere de la manera siguiente:
�Cuando Hier�n II lleg� al poder, decidi� donar una corona de oro a un templo en agradecimiento por los hechos venturosos; orden� fabricarla a un or�fice y le entreg� el material necesario. El maestro cumpli� el encargo para el d�a fijado. El rey estuvo muy satisfecho: la obra pesaba justamente lo mismo que el material que hab�a sido entregado al orfebre. Pero poco tiempo despu�s el soberano se enter� de que este �ltimo hab�a robado cierta parte del oro sustituy�ndolo con plata. Hier�n mont� en c�lera y pidi� a Arqu�medes que inventara alg�n m�todo para descubrir el enga�o.
Pensando en este problema, el sabio fue a las termas y, una vez en la ba�era, echo de ver que se desbord� cierta cantidad de agua, correspondiente a la profundidad a la que se hundi� su cuerpo. A1 descubrir de esa manera la causa del fen�meno, no sigui� en las termas, sino que se lanz� a la calle, rebosante de alegr�a y en cueros, y corri� hasta su casa exclamando en alta voz: "�Eureka!, �eureka!" (hall�).
Cuando lleg� a su casa, Arqu�medes tomo dos pedazos del mismo peso que la corona, uno de oro y otro de plata, llen� con agua un recipiente hasta los bordes y coloc� en �l el lingote de plata. Acto seguido lo sac� y ech� en el recipiente la misma cantidad de agua que se desbord�, midi�ndola previamente, hasta llenarlo. De esta manera determin� el peso del trozo de plata que correspond�a a cierto volumen de agua. A continuaci�n realiz� la misma operaci�n con el trozo de oro y, volviendo a a�adir la cantidad de agua desbordada, concluy� que esta vez se derram� menos l�quido en una cantidad equivalente a la diferencia de los vol�menes de los trozos de oro y plata de pesos iguales.
Despu�s volvi� a llenar el recipiente, coloc� en �l la corona y se dio cuenta de que se derram� una mayor cantidad de agua que al colocar el lingote de oro; partiendo de este exceso de l�quido Arqu�medes calcul� el contenido de impurezas de plata, descubriendo de esa manera el enga�o.�
�Se podr�a determinar la cantidad de oro sustituida por plata en la corona, utilizando el m�todo de Arqu�medes?
Seg�n los datos disponibles, Arqu�medes ten�a derecho a afirmar que la corona no era de oro puro. No obstante, el siracusano no supo determinar con exactitud qu� cantidad de oro hab�a hurtado el or�fice. La habr�a determinado si el volumen de la aleaci�n de oro y plata fuera justamente igual a la suma de vol�menes de sus componentes. La leyenda atribuye a Arqu�medes precisamente este criterio, compartido, por lo visto, por la mayor�a de los autores de libros de texto escolares.
De hecho, s�lo muy pocas aleaciones tienen esa propiedad. Por lo que ata�e al volumen de la aleaci�n de oro y plata, �ste es menor que la suma de vol�menes de los componentes. En otras palabras, la densidad de semejante liga supera la que se obtiene por c�lculo ateni�ndose a las reglas de adici�n simple. Es f�cil ver que al calcular la cantidad de oro hurtado en base a su experimento, Arqu�medes deber�a obtener un resultado menor: a su modo de ver, la densidad m�s elevada de la aleaci�n probaba que en ella era mayor la cantidad de oro. Por este motivo no pudo determinar exactamente la cantidad de oro con la cual se hab�a quedado el estafador.
�C�mo se deber�a resolver el problema planteado?
�Actualmente, se�ala el Prof. Menshutkin en su Curso de Qu�mica General, proceder�amos del modo siguiente.
Determinar�amos no s�lo la densidad del oro y plata puros, sino tambi�n la de toda una serie de aleaciones de oro y plata cuya composici�n se conoce con exactitud. A continuaci�n trazar�amos un diagrama a base de los datos obtenidos; �ste nos proporcionar�a la curva de variaci�n de la densidad de las aleaciones de oro y plata dependiendo del contenido de componentes. En el caso dado se obtendr�a una recta, pues la densidad var�a linealmente en base a la composici�n de la liga. A1 determinar la densidad de la corona, se�alar�amos el resultado obtenido en la curva de densidad del sistema oro-plata y definir�amos a qu� composici�n de la aleaci�n corresponde este dato, averiguando as� la composici�n del metal de la corona.�
El caso ser�a distinto si parte del oro fuera sustituida con cobre y no con plata: el volumen de la aleaci�n de oro y cobre vale exactamente la suma de vol�menes de sus componentes. En este caso el m�todo de Arqu�medes proporciona un resultado muy exacto.
58. La compresibilidad del agua.
�Qu� sustancia, el agua o el plomo, se comprime m�s bajo presi�n?
En los libros de texto escolares se subraya con tanta tenacidad la incompresibilidad de los l�quidos que se inculca la idea de que realmente lo son, al menos en un grado menor que los s�lidos. Pero de hecho el t�rmino �incompresibilidad� aplicado a los l�quidos no es sino una expresi�n figurada para definir su insignificante reducci�n de volumen al ser presionados, adem�s, �stos se comparan s�lo con los gases. Si comparamos los l�quidos y los s�lidos en cuanto a la compresibilidad, resultar� que los primeros son muchas veces m�s compresibles que los segundos.
El metal m�s compresible, el plomo, expuesto a la acci�n de una carga omnilateral, disminuye su volumen en 0,000006 del inicial bajo la presi�n de 1 at. El agua, en cambio, es unas ocho veces m�s compresible: su volumen disminuye en 0,00005 al aplicar la misma presi�n. Pero en comparaci�n con el acero, este l�quido se estrecha unas 70 veces m�s 1.
El �cido n�trico se distingue entre los l�quidos por su elevada capacidad de compresi�n reduciendo su volumen inicial en 0,00034 a la presi�n de 1 at, es decir, al ser presionado reduce su volumen unas 500 veces m�s que el acero. Sin embargo, la compresibilidad de los l�quidos es decenas de veces menor que la de los gases.
59. Disparando al agua.
Una caja abierta, con paredes de madera contrachapada parafinadas por dentro, de unos 20 cm de largo y 10 cm de ancho, contiene agua hasta un nivel de 10 cm respecto a su fondo. Si se dispara contra la caja, se hace a�icos, mientras que el agua se dispersa en forma de polvo fin�simo.
�C�mo se explicar�a esta acci�n del impacto de bala?
Este fen�meno se atribuye a la compresibilidad insignificante de los l�quidos y, adem�s, a su elasticidad absoluta. La bala entra en el agua con tanta rapidez que su nivel no tiene tiempo para subir. Por tanto, el l�quido se contrae instant�neamente en la magnitud del volumen del proyectil. La alta presi�n que se crea en este caso destroza las paredes del recipiente y pulveriza el agua que �ste contiene.
Una estimaci�n simple proporciona cierta noci�n acerca de la magnitud de la presi�n. La caja contiene 20 x 10 x 10 = 2000 cm3 de agua. El volumen de la bala es de 1 cm. El l�quido deber� comprimirse en 1 /2000 parte, o sea, en 0,0005 de su volumen inicial. A la presi�n de 1 at el mismo reduce su volumen en 0,00005, es decir, diez veces menos. Por consiguiente, cuando disminuye el volumen del l�quido contenido en la caja, su presi�n deber� elevarse hasta 10 at; a esta magnitud asciende, aproximadamente, la presi�n de trabajo que se crea en el cilindro de una m�quina de vapor. Es f�cil calcular que cada una de las paredes y el fondo de la caja sufrir�n la acci�n de una fuerza de 10.000 a 20.000 N.
Este hecho explica los enormes efectos destructivos que producen los obuses explotados bajo agua. �Si un ob�s explota aunque sea a 50 m de un submarino, pero a suficiente profundidad para que la fuerza explosiva no "se disipe" por la superficie del agua, el buque se destruye inminentemente� (R.A. Millikan).
60. Una bombilla el�ctrica resistiendo el peso de un veh�culo.
�Puede una bombilla soportar una presi�n de media tonelada? El di�metro del �mbolo es de 16 cm.
Calculemos la presi�n que experimentan las paredes de la bombilla. La secci�n del �mbolo es, en cm 2 ,
Como el peso del veh�culo es de 5000 N, a cada cent�metro cuadrado de la superficie corresponder� la presi�n siguiente:
5000 : 201 � 25 N/cm 2
Las bombillas ordinarias suelen resistir una presi�n m�s alta, de hasta 27 N/cm 2 . Por eso, si se cumplen las condiciones indicadas al plantear el problema, la ampolla quedar� intacta.
Este problema tiene importancia pr�ctica en los trabajos que se llevan a cabo bajo agua. Una bombilla corriente, que resiste una presi�n de 2,7 at, puede ser utilizada a una profundidad de hasta 27 m (a profundidades mayores se emplean bombillas especiales).
61. Dos cilindros flotando en el mercurio.
Dos cilindros de masas y di�metros iguales, uno de aluminio y otro de plomo, se mantienen en el mercurio en posici�n vertical. �Cu�l de ellos est� hundido a mayor profundidad?
No piense que el quid del problema radica en la posici�n vertical de los cilindros: parecer�a que un cuerpo de forma cil�ndrica no podr�a sostenerse verticalmente en el seno de un l�quido, sino que tendr�a que ponerse de costado. Esta afirmaci�n no es cierta: si un cilindro tiene di�metro suficientemente grande en comparaci�n con su altura, puede flotar en posici�n estable.
De por s�, este problema no es dif�cil, pero a veces se suele razonar de forma equivocada al abordarlo. El cilindro de aluminio es cuatro veces m�s largo que el de plomo, de la misma masa y di�metro. Por eso podemos considerar que estando suspendido en posici�n vertical en el mercurio, deber� hundirse m�s que el de plomo. Por otra parte, este �ltimo, siendo m�s pesado, deber�a sumergirse m�s que el de aluminio que es m�s ligero.
Estas dos suposiciones son equivocadas: ambos s�lidos est�n sumergidos a una misma profundidad. La causa de ello est� a la vista: dado que tienen peso id�ntico, deben desplazar iguales cantidades de l�quido con arreglo al principio de Arqu�medes; mas, como tienen di�metros iguales, la longitud de sus partes sumergidas tambi�n debe ser igual, pues en otro caso no desalojar�an la misma cantidad de l�quido.
Ser�a interesante saber, cu�ntas veces mayor ser� la parte del cilindro de aluminio que sobresale del azogue en comparaci�n con la correspondiente del de plomo. Es f�cil calcular que este �ltimo deber� sobresalir en 0,17 de su longitud, en tanto que el otro, en 0,8. Como el cilindro de aluminio es 4,2 veces m�s largo, las 0,8 de su longitud ser�n
veces mayores que las 0,17 de la del otro.
As� pues, la parte del cilindro de aluminio asomada del mercurio ser� veinte veces m�s larga que la respectiva parte del de plomo.
El ejercicio que acabamos de analizar tiene importancia en la teor�a que pretende explicar la estructura del globo terr�queo, a saber, en la llamada teor�a de isostasia. �sta arranca del hecho de que las partes s�lidas de la corteza terrestre son m�s ligeras que las masas pl�sticas subyacentes, por lo cual flotan a flor de estas �ltimas. Dicha teor�a considera la corteza terrestre como un conjunto de prismas de secci�n y peso iguales, pero de diferente altura. Seg�n ella, sus partes elevadas deben de corresponder a prismas de menor densidad, y las menos elevadas, a prismas de densidad mayor. Es evidente que, seg�n nos hemos dado cuenta al resolver el problema, las elevaciones que se aprecian en la superficie terrestre, siempre corresponden a defectos de masas bajo tierra, y las depresiones, a sus excesos. Las mediciones geod�sicas corroboran esta tesis.
62. Inmersi�n en la arena movediza.
�Ser� aplicable a los �ridos el principio de Arqu�medes? �A qu� profundidad se hundir� en la arena seca una bola de madera colocada en su superficie? �Podr�a hundirse en la arena movediza una persona?
No se puede aplicar en forma directa el principio de Arqu�medes a los �ridos, puesto que las part�culas que los forman, experimentan rozamiento que es �nfimo en los l�quidos. No obstante, si la libertad de desplazamiento de las part�culas de �ridos no est� limitada por su rozamiento rec�proco, el referido principio se podr� aplicar. Por ejemplo, en semejante estado se encuentra la arena seca que se sacude reiteradamente; en este caso sus granos se desplazan sujetos a la fuerza de la gravedad.
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| Dispositivo para sacudir la arena |
Ya R. Hooke, famoso contempor�neo y compatriota de Isaac Newton, dec�a al respecto lo siguiente:
�Es imposible mantener bajo arena (que es sacudida ininterrumpidamente) un cuerpo ligero, por ejemplo, un trozo de corcho: �ste `emerger�' enseguida a flor del �rido, mientras que un cuerpo pesado, por el contrario, empezar� a hundirse y al fin y al cabo alcanzar� el fondo del recipiente.�
Posteriormente, H. Bragg, eminente f�sico ingl�s, realiz� estas experiencias vali�ndose de una centrifugadora especial.
Se puede predecir el comportamiento de una bola dispuesta sobre la superficie de arena inm�vil recordando los razonamientos que en su tiempo permitieron a S.Stevin a deducir el principio de Arqu�medes.
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| Esta figurilla ligera, con un peso sujetado a los pies, presa en la arena, se asoma al poner a funcionar la sacudidora |
Primero advirtamos que la llamada �densidad aparente� de la arena (o sea, la masa de un cent�metro c�bico de este �rido junto con los espacios de aire) es igual, en el caso de la arena de grano fino, a 1,7 g, es decir, supera tres veces la de la madera.
Separemos, aunque sea mentalmente, una bola de �rido dentro de un mont�n de arena, de volumen geom�trico igual al de la referida bola de madera. Esta �ltima se mantiene en equilibrio merced a la acci�n de dos fuerzas diferentes: 1) el rozamiento de los granos de arena unos contra otros y 2) el peso de la capa de este �rido dispuesta encima, que ejerce presi�n hacia los lados, empujando de esta manera nuestra bola de arena por abajo. La resultante de todas las fuerzas no debe ser menor que el peso de dicha bola. Si la sustituimos, tambi�n mentalmente, por otra m�s ligera, de madera, la presi�n que �sta sufrir� por abajo ser� mayor que su peso propio. Es evidente que bajo la acci�n de la fuerza de la gravedad nuestra bola imaginaria no podr� hundirse a tanta profundidad.
El nivel m�ximo al que se hundir� la bola en la arena no deber� ser mayor que la profundidad en que su peso equivalga al de la arena �contenida� en su parte hundida. Mas, esto no quiere decir en absoluto que llegar� precisamente hasta ese nivel: s�lo indicamos la profundidad l�mite de hundimiento en el �rido bajo la acci�n de su peso. Esto tampoco quiere decir que la bola presa en el mont�n de arena por debajo del nivel l�mite, aparecer� por s� misma en la superficie: se lo impedir� el rozamiento.
As� pues, el principio de Arqu�medes es aplicable a los materiales �ridos, pero con rigurosas reservas que no tendr�n validez cuando dichos cuerpos sufran sacudidas o vibraci�n; en el caso que estamos analizando los �ridos que sufren sacudidas, semejan l�quidos. En lo que se refiere a los que est�n en reposo, el principio de Arqu�medes tan s�lo afirma que un s�lido de peso espec�fico considerable, situado en la superficie de un �rido, puede hundirse por su propio peso a una profundidad no mayor a aquella en que su peso ser�a igual al de la cantidad correspondiente del �rido que se contendr�a en la parte hundida del objeto en cuesti�n.
Por cierto, esto permite sacar la conclusi�n de que, como el peso espec�fico medio del cuerpo humano es menor que el de la arena seca, una persona no puede ser tragada por la arena movediza. En semejante caso, mientras menos se mueva ella, menor ser� la profundidad a que se hundir�: la agitaci�n s�lo precipita el hundimiento.
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| M�quina tamizadora |
La posibilidad de aplicar el principio de Arqu�medes al caso de la arena se aprovecha en la t�cnica para separar las impurezas contenidas en la hulla. La hulla h�meda, que debe ser purificada, se echa sobre una capa de arena cuyo peso espec�fico supera el de este combustible, pero es menor que el de la ganga a separar. Para agitar los granos de arena, se bombea aire a trav�s de ella, de abajo arriba e ininterrumpidamente, que pasa por un tamiz sobre el cual est� la arena. Su presi�n, es decir, la velocidad del flujo de aire, determina el peso espec�fico del �rido. Al tomar contacto con la superficie de arena, los fragmentos de hulla y las impurezas se separan: el carb�n se acumula en la superficie, mientras que la ganga se hunde en la arena, pasa por el tamiz y se acumula en un recipiente. La figura muestra la estructura de semejante equipo.
63. El l�quido adopta forma esf�rica.
�C�mo se podr�a demostrar el hecho de que en estado de ingravidez los l�quidos tienen forma esf�rica?
La propiedad del l�quido en ingravidez de adoptar forma esf�rica se demuestra evidentemente en el famoso experimento de Plateau: una porci�n de aceite de oliva mezclada en una disoluci�n hidroalcoh�lica, de la misma densidad, se agrupa en forma de bola. Pero es imposible averiguar si esta forma esf�rica es geom�tricamente exacta o no. Por ello, el experimento de Plateau comprueba grosso modo la tesis que nos interesa. Este hecho se demuestra mediante el fen�meno del iris.
La teor�a del arco iris afirma que una desviaci�n, por muy insignificante que sea, de la forma de las gotas de lluvia respecto de la esf�rica geom�tricamente estricta debe de reflejarse en la forma del iris; si la diferencia es considerable, �ste puede no aparecer en absoluto. Como una gota es imponderable mientras cae libremente (v. ej. 50), este hecho nos proporciona la demostraci�n que necesitamos.
64. La gota de agua.
�En qu� caso las gotas de agua que caen del grifo de un samovar son m�s pesadas, cuando el agua est� fr�a o caliente?
El peso de la gota depende de la magnitud de la tensi�n superficial del l�quido: ella se desprende cuando su peso es suficiente para romper la pel�cula superficial en su �cuello�.
Si el radio de �ste es r, y el coeficiente de tensi�n superficial es a (N/m), la gota se desprender� con
por lo que su masa ser�
Cuanto mayor es la tensi�n superficial, tanto mayor es el peso de la gota. Pero consta que al elevarse la temperatura, se reduce la tensi�n superficial: en el caso del agua disminuye en el 0,23 % por cada grado cent�grado. A los 100 �C la tensi�n superficial del agua se reduce en el 23 % en comparaci�n con la magnitud correspondiente a 0 �C, mientras que a los 20 �C es menor en un 4,6 % que a 0 �C. Por consiguiente, al bajar la temperatura del agua contenida en el samovar de 100 �C hasta la temperatura ambiente (20 �C), el peso de las gotas de agua deber� elevarse en
o sea, en el 24 %, es decir, aumentar� notablemente.
65. La elevaci�n capilar.
a) �A qu� altura debe subir el agua contenida en un tubo de vidrio de di�metro interior de 1 micra?
b) �Qu� l�quido se elevar�a a la mayor altura en semejante tubo?
c) �Qu� agua, caliente o fr�a, se eleva a la mayor altura por un tubo capilar?
a) Con arreglo a la ley de Borelli, tambi�n denominada muy a menudo �ley de Jurin�, la altura a que se eleva el l�quido que moja las paredes del tubo, es inversamente proporcional a su di�metro. En uno de vidrio de di�metro interior de 1 mm el nivel de agua se elevar� a 15 mm. Por ello, en un tubo de di�metro interior de 1 micra su altura ser� 1000 veces mayor, o sea, �de 15 metros!
b) Subiendo por el tubo capilar, el potasio fundido (funde a 63 �C) deja atr�s a los dem�s l�quidos: en un tubo de vidrio de di�metro interior de 1 mm subir� a 10 cm; si el di�metro del canal es de 1 micra, se elevar� a 10 cm ( 1000 = 100 m.
c) En un tubo del di�metro indicado el l�quido subir� tanto m�s cuanto mayor sea su tensi�n superficial y menor sea su densidad. Esta dependencia se expresa por medio de la f�rmula siguiente:
donde h es la altura de elevaci�n, (, el coeficiente de tensi�n superficial, r, el radio interior del tubo (, la densidad del l�quido. Con el aumento de la temperatura la tensi�n superficial disminuye mucho m�s r�pido que la (, a consecuencia de lo cual la altura h debe reducirse: un l�quido caliente subir� por el tubo capilar a menor altura que otro fr�o.
66. En un tubo inclinado.
El agua sube por un tubo capilar inclinado a 10 cm sobre el nivel del agua contenida en un recipiente. �A qu� altura se elevar� este l�quido si el tubo se inclina a 30� respecto a su superficie?
La altura a la que se eleva un l�quido contenido en un tubo capilar no depende de la posici�n, sea inclinada o vertical, de este �ltimo. En todos los casos la elevaci�n, es decir, la distancia del menisco a la superficie del l�quido, medida sobre la vertical, ser� la misma. En el caso descrito el �hilo� de l�quido que sube por el tubo inclinado a 30� ser� dos veces m�s largo que con la posici�n vertical de �ste, pero la altura del menisco sobre el nivel del l�quido contenido en el recipiente ser� la misma.
67. Las gotas en movimiento.
Tenemos dos tubos de vidrio delgados y abocinados por un extremo. En el primero, junto al punto A se encuentra una gota de mercurio, y en el segundo, junto al punto B, una de agua. Adem�s, las gotas no est�n en reposo, sino que se mueven por sus respectivos tubos. �Por qu� sucede esto?
�En qu� sentido se mueven las gotas, hacia el extremo ancho o hacia el estrecho?
La columna de mercurio que se encuentra en el tubo de vidrio tiene convexos ambos extremos, puesto que este l�quido no moja el cristal. La superficie que da al extremo derecho, tiene un radio de curvatura menor que la opuesta; por eso ejerce mayor presi�n sobre el mercurio (problema 65), empuj�ndolo hacia el extremo abocinado.
La columna de agua, que moja el cristal, est� acotada por meniscos c�ncavos por ambos lados, adem�s, el de la parte estrecha es menos c�ncavo que el otro. El menisco curvo arrastra el l�quido con mayor fuerza, por eso la columna de agua se desplaza hacia la parte angosta del tubo.
As�, pues, cada una de las columnas de l�quido se desplaza por su respectivo tubo en sentidos opuestos: la de mercurio, hacia el extremo ancho, y la de agua, hacia el estrecho.
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| La columna de mercurio (arriba) se desplaza hacia el extremo abocinado del tubo, mientras que la del agua (abajo) se corre hacia el estrecho. Esta �ltima propiedad del agua permite disminuir el perjuicio que causan las sequ�as. |
La capacidad del agua de pasar, por s� misma, por los canales capilares de tubos anchos a estrechos tiene mucha importancia para la conservaci�n de la humedad en el suelo. �Si la capa superior del suelo est� compacta, es decir, tiene canalitos estrechos, mientras que las inferiores est�n porosas, o sea, tienen much�simos canalitos m�s anchos, entonces, afirma el agr�nomo A. Dudinski, el agua pasa f�cilmente de la capa inferior a la superior. Pero si, por el contrario, la capa inferior est� compacta, en tanto que la superior est� porosa, esta �ltima, al secarse, ya no podr� absorber agua procedente de la capa inferior (puesto que el agua no pasa de canalitos estrechos a anchos, sino que s�lo lo hace a la inversa) y, por tanto, seguir� siendo seca.�
En esto consiste uno de los m�todos utilizados para atenuar la acci�n perjudicial de las sequ�as, consistente en el esponjamiento del suelo:
�para conservar humedad en el suelo, hay que esponjar, con la mayor frecuencia posible, su capa superior, hasta unos dos cent�metros de profundidad e incluso menos; en este caso los canalitos estrechos formados en ella se destruyen y sustituyen por otros, m�s anchos, que no pueden succionar agua de la capa subyacente. La capa superior porosa se vuelve seca, pero ya no puede absorber agua de los canalitos m�s estrechos de la capa inferior del suelo ni la puede conducir hasta la superficie, protegiendo de esa manera el resto del suelo contra la desecaci�n por la acci�n del viento y los rayos solares.� �ste es uno de los ejemplos aleccionadores de la importancia que tiene este fen�meno f�sico que a primera vista parece ser tan insignificante.
68. Una l�mina colocada en el fondo de un recipiente con l�quido.
Si en el fondo de un recipiente de vidrio lleno de agua se coloca una l�mina de madera bien adherida al mismo, �sta emerger� inminentemente. Pero si al fondo del mismo recipiente con mercurio se aplica una l�mina de vidrio, �sta se quedar� en su lugar. Consta que la flotabilidad del vidrio en el mercurio (la diferencia de densidades del mercurio y el vidrio) es mucho mayor que la de la madera en el agua.
�Por qu�, pues, la l�mina de madera sube a la superficie, mientras que la de vidrio en el mercurio no sube?
La l�mina de madera, depositada en el fondo del recipiente con agua, tendr� que emerger, pues el l�quido penetra por debajo de ella. S�lo nos queda explicar, por qu� el agua se cuela por debajo de la l�mina de madera, mientras que el mercurio no penetra por debajo de la de vidrio.
Hay que tener en cuenta que por m�s que se adhiera la l�mina al fondo, entre ellos siempre habr� un espacio muy peque�o. Junto a los bordes de estas dos superficies muy pr�ximas una a otra, el agua, que moja tanto la madera como el vidrio, forma una concavidad que da hacia el espacio libre de agua; dicha concavidad, lo mismo que el menisco c�ncavo, arrastra agua al espacio entre la l�mina y el fondo.
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| El agua se cuela por debajo de la l�mina aplicada al fondo del recipiente |
Es distinto el caso del mercurio y la l�mina de vidrio. Este l�quido no moja al vidrio, por eso entre la l�mina y el fondo, ambos de vidrio, la superficie convexa del mercurio da al espacio de aire; esta convexidad presiona hacia afuera y no deja que el metal l�quido se cuele por debajo de la l�mina.
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| El mercurio no penetra por debajo de la l�mina aplicada al fondo |
69. Ausencia de tensi�n superficial.
�A qu� temperatura se anula la tensi�n superficial de los l�quidos?
La tensi�n superficial del l�quido desaparece del todo a la temperatura cr�tica: �ste pierde su capacidad de formar gotas y se evapora a cualquier presi�n.
70. La tensi�n superficial
�Qu� presi�n ejerce, aproximadamente, la capa superficial de un l�quido sobre las capas subyacentes?
A pesar de la finura extraordinaria, de unos 5 � 10 -8 cm, la pel�cula superficial de l�quido ejerce enorme presi�n sobre la masa de l�quido que ella envuelve. Para algunos l�quidos esta presi�n es de decenas de miles de atm�sferas, es decir, equivale a decenas de toneladas por cent�metro cuadrado.
Semejante presi�n condiciona la baja compresibilidad de los l�quidos que, de por s�, siempre est�n comprimidos con gran fuerza, por lo cual se obtiene un efecto �nfimo cuando se aumenta artificialmente en cien atm�sferas una presi�n de decenas de miles de atm�sferas existente en ellos.
71. El grifo.
�Por qu� los grifos de agua corriente suelen ser giratorios, y no en forma de esclusa?
Parecer�a que los grifos de compuerta instalados en las ca�er�as de agua ser�an m�s manejables que las llaves de rosca que se emplean generalmente. Sin embargo, no se utilizan porque causar�an aver�as de la red de aguas corrientes. A1 cerrar bruscamente el grifo, es decir, al cortar repentinamente la corriente, se provocar�a una fuerte sacudida de toda la red de tuber�as, el llamado golpe hidr�ulico, o golpe de ariete, muy peligroso para este tipo de obras. El Prof. A. Deisha, autor de un libro de texto de hidr�ulica, compara el golpe de ariete con el choque de un tren empujado por la locomotora, contra un tope terminal:
�En este caso los topes del primer vag�n que chocan con el terminal, se comprimir�n por la fuerza de inercia de los vagones siguientes, hasta que todos se detengan. Acto seguido los resortes amortiguadores del delantero tender�n a extenderse empujando los dem�s vagones hacia atr�s. La onda creada por los topes comprimidos recorrer� todo el tren, del primer vag�n hasta el �ltimo. Si al final del tren est� enganchada una locomotora pesada, la onda de presi�n reflejada por ella recorrer� todo el tren en sentido inverso, hasta el tope terminal. De modo que las oscilaciones, amortigu�ndose gradualmente a causa de la resistencia, se transmitir�n de un extremo a otro del tren, y a la inversa. La primera onda de presi�n ser� peligrosa para los muelles de topes de todos los vagones, y no s�lo del delantero.
Como el agua es el�stica, aunque en grado �nfimo, cuando se cierra el grifo instalado en el extremo de una tuber�a larga, las part�culas traseras empiezan a empujar las delanteras (que ya se han detenido), creando de esa manera una presi�n elevada; �sta, lo mismo que una ola ordinaria, viajar� a gran velocidad (un poco menor que la de propagaci�n del sonido en el agua) por toda la tuber�a de cabo a rabo. A1 alcanzar el otro extremo (el tanque de presi�n, por ejemplo), la onda se reflejar� hacia el grifo; de tal modo se producir� una serie de oscilaciones, esto son, elevaciones de presi�n que ir�n amortigu�ndose paulatinamente debido a la resistencia a la onda. No obstante, la primera de ellas ser� muy peligrosa no s�lo en el extremo donde est� instalado el grifo, sino tambi�n en el extremo opuesto de la conducci�n, pr�ximo al tanque, puesto que podr� destruir f�cilmente cualquier pieza o junta de menor resistencia. La presi�n de ariete que se crea en este caso, sobre todo la reflejada, podr� superar de 60 a 100 veces la presi�n hidrost�tica normal existente en la tuber�a.�
El golpe ser� tanto m�s fuerte y m�s destructor cuanto m�s larga sea la tuber�a; estropea el sistema de abastecimiento de agua, a veces hace reventar tuber�as de hierro colado, ensancha las de plomo, arranca codos, etc. Para evitar este efecto perjudicial, hay que estrangular gradualmente la corriente de agua, es decir, cortarla con lentitud utilizando para ello v�lvulas de rosca. Cuanto m�s larga es la tuber�a, tanto m�s deber� durar el cierre.
La fuerza del golpe de ariete es directamente proporcional a la longitud del conducto y al tiempo durante el cual se cierra la llave: cuanto menos dura el cierre, tanto m�s fuerte ser� el golpe. Se ha deducido la siguiente f�rmula para calcular su intensidad: la presi�n del golpe equivale (en metros) a la altura de la columna de agua
longitud del conducto (en metros) y t, el tiempo durante el cual se cierra la llave (en segundos).
Por ejemplo, si una tuber�a de 1000 m de longitud, por la cual el agua circula con una velocidad de 1 m/s, se cierra en 1 s, la presi�n creada en ella aumentar� por el efecto del golpe de ariete hasta
o sea, hasta 15 at.
El fen�meno de golpe de ariete se puede observar realizando un experimento mediante el dispositivo mostrado en la figura.
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| Experimento que ilustra el golpe hidr�ulico. |
El agua contenida en un recipiente, sale de �ste por un tubo de sif�n, hecho de vidrio, corriendo verticalmente hacia abajo y luego horizontalmente. En el otro extremo del conducto est� instalado un grifo de compuerta H, y a cierta distancia del extremo, un tubo corto S con un orificio peque�o que da hacia arriba.
Mientras el grifo permanece cerrado, el agua brota del conducto corto sin superar el nivel de l�quido contenido en el recipiente. Mas, si la llave se abre y acto seguido se cierra bruscamente, en un primer instante el agua brotar� por encima de la altura del nivel de l�quido del recipiente, probando evidentemente que la presi�n creada en el tubo supera la hidrost�tica.
No se debe creer que en este caso se viola la ley de conservaci�n de la energ�a: aqu�, menor cantidad de agua se eleva a mayor altura merced al descenso de �sta desde cierto nivel, lo mismo que una carga ligera, suspendida en el extremo de una palanca, se eleva a mayor altura que otra, m�s pesada, colocada en el extremo opuesto.
El principio del golpe de ariete se aprovecha en una m�quina simple para elevar agua, llamada ariete hidr�ulico, que s�lo consume su energ�a viva.
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| Esquema de funcionamiento del ariete hidr�ulico |
Para ponerla en funcionamiento hay que cerrar la v�lvula U, debido a lo cual en el conducto F se produce un golpe hidr�ulico; la presi�n elevada del l�quido abre la v�lvula Z y el aire, comprimido moment�neamente en W, lo impele hacia arriba. El golpe cesa, la v�lvula Z se cierra, la U se abre y el agua que vuelve a circular por F, cierra la v�lvula U y de nuevo provoca un golpe de ariete, y todo se vuelve a repetir.
72. La velocidad de salida.
�Qu� l�quido, el agua o el mercurio, tendr� la mayor velocidad de salida si son iguales sus niveles en los embudos que los contienen?
El mercurio pesa mucho m�s que el agua; por tanto, es probable que el primero salga m�s r�pido que la segunda. Sin embargo, ya E. Torricelli sab�a que esto no es as�: la velocidad de salida no depende de ninguna manera de la densidad del l�quido y se determina utilizando la f�rmula de Torricelli:
donde v es la velocidad de salida del l�quido, g, la aceleraci�n de la gravedad y h, la altura del nivel de l�quido contenido en el recipiente. Seg�n vemos, en la f�rmula no interviene la densidad del l�quido.
Este principio parad�jico de salida del l�quido se comprende f�cilmente si se considera que la fuerza que impele el l�quido, es creada por la parte de �ste, situada a un nivel m�s alto que el orificio de salida. Si el l�quido es pesado, esta fuerza es mayor que en el caso del l�quido ligero; pero la masa que se pone en movimiento en el primer caso es mayor, por cierto, en la misma proporci�n. No es de extra�ar, pues, que la aceleraci�n y, por consiguiente, la velocidad, son id�nticas en ambos casos.
73. El problema de la ba�era.
a) Una ba�era de paredes verticales se llena con agua de grifo en 8 min, y se vac�a por medio del orificio de desag�e (el grifo est� cerrado) en 12 min. �Cu�nto tiempo deber� permanecer abierto el grifo para llenar completamente la pila vac�a mientras est� abierto el desag�e?
b) La pila se llena en 8 min; con el grifo cerrado se tarda el r mismo lapso en vaciarla mediante el orificio de salida. �Qu� cantidad de agua habr� en ella si durante las veinticuatro horas se vierte agua de grifo mientras el desag�e est� abierto?
c) Resu�lvase este mismo problema si el tiempo de llenado es 8 min, y el de vaciado, 6 min
d) Resu�lvase id�ntico problema, pero llen�ndose a los 30 min y vaci�ndose en 5 min.
e) La pila se vac�a en un lapso m�s corto que el de llenado mediante el grifo. �Habr� agua en la ba�era si empezamos a echar agua dej�ndola salir al mismo tiempo?
A continuaci�n ofrecemos sendos pares de respuestas a las cinco preguntas planteadas; en una columna se ofrecen las respuestas correctas y en la otra, incorrectas.
| a) La ba�era se llenar� hasta los bordes en 24 min. | a) La ba�era nunca se llenar� hasta los bordes. |
| b) La ba�era estar� vac�a. | b) El agua llegar� hasta 1/4 de la altura de la pila. |
| c) No habr� agua en la pila. | c) El agua subir� hasta las 9/64 de la altura de la pila. |
| d) No habr� agua en la pila. | d) El agua subir� hasta 1/144 de la altura de la ba�era. |
�En qu� columna, pues, est�n las respuestas correctas?
Las de la columna izquierda parecen ser veros�miles. Pero, en realidad, lo son las de la derecha. Por cierto, a primera vista estas respuestas parecen ser muy extra�as; no obstante, vamos a analizar por separado cada uno de estos problemas.
a) En la ba�era se vierte m�s agua que la que sale, sin embargo, en la columna derecha se afirma que nunca se llenar�. �Por qu�? Es que surge la idea de que es muy f�cil calcular dentro de cu�ntos minutos el agua empezar� a desbordarse. Cada minuto se llena 1/8 parte del volumen de la pila, mientras que sale 1/12; por consiguiente, el aforo por minuto es
parte de su capacidad. Est� claro que en 24 minutos se llenar�.
b) En el segundo problema el tiempo de llenado equivale al de vaciado. Por lo tanto, la cantidad de agua que ingresa cada minuto es igual a la que sale. Esto quiere decir que en la pila no deber� quedar ni una sola gota de agua, por m�s que dure el proceso. Sin embargo, en la columna de respuestas correctas se afirma que el nivel de agua llegar� hasta un cuarto de la altura de la ba�era.
c), d) y e). Es obvio que en los tres casos sale mayor cantidad de agua que entra, mas, en la segunda columna se asevera que no obstante ello en la pila se acumular� cierta cantidad de l�quido.
En suma, las respuestas que damos por correctas, parecen ser absurdas. Para cerciorarse de que realmente son correctas, el lector tendr� que seguir una cadena bastante larga de razonamientos. Empecemos por el primer problema.
a) �ste viene a ser una versi�n del famoso problema del dep�sito, que se remonta a Her�n de Alejandr�a. Surgido hace m�s de dos milenios, el problema sigue figurando en muchos libros de problemas de matem�ticas escolares, sin que por ello deje de ser err�nea, desde el punto de vista de la f�sica, su soluci�n tradicional. Esta �ltima se basa en la suposici�n equivocada de que el agua sale del recipiente en chorro uniforme mientras su nivel desciende.
Dicha suposici�n contradice la ley f�sica que afirma que la velocidad de salida del l�quido disminuye mientras desciende su nivel. Por consiguiente, es err�neo creer, como suelen hacer los escolares en las clases de matem�ticas, que si la pila se vac�a en 12 min, cada minuto sale una dozava parte de su contenido inicial. En realidad, el l�quido sale de la manera siguiente: inicialmente, mientras su nivel es bastante alto, cada minuto sale m�s de una dozava parte de la pila llena; esta cantidad va disminuyendo progresivamente por instantes, y cuando su nivel es muy bajo, cada minuto sale menos de una dozava parte del contenido inicial. Por esta raz�n, el volumen de agua que sale durante este lapso equivale, s�lo por t�rmino medio, a una dozava parte del de la pila llena, mientras que de hecho el gasto no ser� exactamente igual a una dozava parte, sino que un poco mayor o menor.
En general, el vaciado de la ba�era se asemeja mucho a la marcha del reloj de bolsillo descrita por Mark Twain en tono de broma: el reloj marchaba bien �por t�rmino medio�, al dar el n�mero correspondiente de vueltas durante las veinticuatro horas. Mas, en la primera mitad de este tiempo adelantaba demasiado retras�ndose extremadamente durante el resto de la jornada. Resolver el problema de la pila partiendo de la velocidad media de salida del agua ser�a lo mismo que consultar el reloj descrito por el famoso escritor estadounidense.
Seg�n vemos, la versi�n simplificada de este problema, que se resuelve tan f�cilmente en la escuela, hay que sustituirla por la variante real ajust�ndola a las leyes de la naturaleza. Obrando de esa manera obtendremos un resultado distinto. Al comenzar a llenar la ba�era mientras el nivel de agua no es alto, sale menos de una dozava parte de su capacidad total; en cambio, cuando el nivel es alto, sale m�s de una dozava parte. Por ello, el gasto puede ser una octava parte de su volumen, y podr� igualarse con la cantidad de agua que ingresa, antes de que se llene toda la pila. A partir de este instante el nivel dejar� de ascender, puesto que el agua afluente saldr� por el desag�e. El nivel se mantendr� constante por debajo de los bordes de la ba�era. Claro est� que en semejantes condiciones nunca se llenar� completamente. Seg�n veremos m�s adelante, el c�lculo matem�tico confirma lo que acabamos de deducir.
b) En este apartado la correcci�n de nuestra soluci�n es mucho m�s evidente. El tiempo de llenado y de vaciado es uno mismo, 8 min. Mientras el nivel es bajo, o sea, cuando se empieza a a�adir agua, cada minuto se llena una octava parte de la capacidad de la pila, y sale, seg�n explicamos m�s arriba, menos de una octava parte. En resumidas cuentas, el nivel deber� elevarse hasta que el caudal afluente se iguale con el gasto. Por consiguiente, en la pila siempre habr� agua. Se puede demostrar -muy pronto lo haremos que siendo iguales el tiempo de llenado y de vaciado, la altura del nivel real deber� equivaler a un cuarto del de la pila llena.
c), d) y e) Despu�s de lo que acabamos de exponer no se requieren muchas aclaraciones para desvanecer las dudas en torno a nuestras respuestas a las tres preguntas restantes. En ellas, el tiempo de vaciado es menor que el de llenado. Es imposible llenar completamente la pila ateni�ndose a estas condiciones, mas, se puede asegurar cierta capa de agua, aunque el flujo entrante sea exiguo.
Hay que recordar que las primeras porciones de agua que se a�aden, no podr�n salir con la misma rapidez, pues mientras el nivel es bajo, la velocidad de salida ser� muy peque�a; al descender el nivel de l�quido, esta magnitud se vuelve cada vez menor que cualquier velocidad constante de llenado. Por ende, en la ba�era deber� haber una capa de agua, aunque sea muy peque�a. En otras palabras, contrariamente al �sentido com�n�, en todo tonel -por m�s rajado que est�- siempre habr� un poco de agua a condici�n de que se agregue uniforme e ininterrumpidamente la cantidad de agua correspondiente.
Ahora pasemos al examen matem�tico de los mismos problemas. Nos daremos cuenta de que los ejercicios elementales que se ofrecen a los escolares desde hace dos milenios, requieren conocimientos y h�bitos que rebasan el marco de la aritm�tica elemental.
Para un recipiente de forma cil�ndrica (en general, para uno de paredes verticales) vamos a establecer cierta dependencia entre el tiempo T de llenado, �dem t de vaciado y la altura l del nivel constante de l�quido si el llenado se efect�a con el orificio de desag�e destapado. Para ello convengamos en utilizar las designaciones siguientes:
| H | la altura del nivel de l�quido en el recipiente lleno; |
| T | el tiempo de llenado hasta el nivel H; |
| t | �dem de vaciado del recipiente a partir del nivel inicial H; |
| S | la secci�n del recipiente; |
| c | �dem del desag�e; |
| w | la velocidad de descenso del nivel en el recipiente por segundo; |
| v | �dem de salida del l�quido por segundo; |
| l | la altura del nivel constante mientras el orificio de vaciado est� destapado |
Est� claro que si en un segundo el nivel desciende en w, en el mismo lapso por el desag�e deber� salir una cantidad Sw de l�quido, equivalente al volumen de la columna cv del chorro que sale:
de donde
No obstante, la velocidad v de salida del l�quido se determina por la f�rmula de Torricelli citada m�s arriba,
, donde l es la altura del nivel y g, la aceleraci�n de la gravedad.
Por otro lado, la velocidad w de ascenso del nivel de l�quido cuando el
orificio est� tapado, es H/T. El nivel ser� constante cuando la
velocidad de su descenso sea igual a la de ascenso, es decir, si tiene lugar la
igualdad siguiente:
Haciendo uso de esta f�rmula hallamos la altura l del nivel estabilizado [1]
�sta es la altura del nivel de l�quido contenido en el recipiente durante el ingreso de agua mientras el desag�e est� destapado.
Simplificamos esta f�rmula eliminando las variables S, c y g. El descenso del nivel de l�quido en el recipiente de paredes verticales (mientras el grifo permanece cerrado) es un movimiento uniformemente variable que comienza con la velocidad w y termina con la velocidad nula. La aceleraci�n a de semejante movimiento se determina a partir de la ecuaci�n siguiente:
de donde:
Si ponemos el valor de w de la expresi�n w = cv/S y tenemos en cuenta que
Adem�s, para el caso del movimiento que estamos analizando
de donde
Realizando la sustituci�n en la f�rmula [1], obtendremos el resultado siguiente:
As� pues, para las condiciones enunciadas, el nivel de l�quido contenido en el recipiente deber� mantenerse a una altura equivalente a la del recipiente lleno y se determinar� mediante la f�rmula que sigue:
Ahora vamos a utilizar la f�rmula deducida para resolver nuestros problemas.
a) La duraci�n de llenado es T = 8 min y el tiempo de vaciado t = 12 min. La altura l del nivel l�mite referida a la del recipiente H, equivale a
El nivel de agua s�lo alcanzar� 9/16 partes de la altura de la ba�era. Por m�s que se a�ada agua, su nivel no se elevar� despu�s.
b) En este caso T = t = 8 min:
El nivel ascender� a un cuarto de la altura del recipiente.
c) Para T = 8 min y t = 6 min:
El agua alcanzar� 9/64 partes de la altura de la pila.
d) T= 30 min y t = 5 min:
El nivel de l�quido equivaldr� a 1/144 parte de la altura de la ba�era.
e) t < T:
La expresi�n obtenida podr� ser igual a cero siempre que se observen las dos condiciones que siguen:
1) t = 0 y T � 0. Esto quiere decir que la ba�era se vac�a instant�neamente, lo cual es imposible.
2) t (0 y T = � . Es decir, con el desag�e tapado el tiempo de llenado ser� indefinido. En otras palabras, la afluencia de agua por segundo es nula, no ingresa l�quido en la ba�era. En la pr�ctica este caso equivale a que la llave est� cerrada.
As� pues, siempre que el grifo est� abierto y la pila no se vac�e instant�neamente, l nunca podr� ser nula: la capa de agua siempre tendr� altura finita.
�Bajo qu� condiciones, pues, ser�a posible llenar toda la pila con el orificio abierto? Evidentemente, cuando l = H, es decir, cuando
Por tanto, si el tiempo de llenado es dos veces menor que el de vaciado, ser� posible llenarla por completo, aunque el orificio est� abierto.
Tambi�n ser�a interesante calcular cu�nto tiempo se necesitar� para alcanzar un nivel constante. Este problema no se resuelve por medio de las matem�ticas elementales; habr� que valerse del c�lculo integral. Ofrecemos el c�lculo correspondiente a los que se interesan por esta variante; aquellos lectores que tienen conocimientos de matem�ticas superiores podr�n omitir el an�lisis que se expone a continuaci�n, y s�lo emplear la f�rmula deducida al final del c�lculo.
La velocidad de elevaci�n del nivel de l�quido en un recipiente al que se a�ade agua mientras el orificio de desag�e est� destapado, se define como la diferencia entre la velocidad de ascenso del nivel con el orificio tapado (H/T) y la de descenso del mismo sin agregar l�quido, (Nota:
, donde x es la altura del nivel de agua en un instante dado). Por
consiguiente, la velocidad de ascenso del nivel en el momento dado ser�
de donde
El tiempo necesario para que el nivel de l�quido suba hasta la altura x = h se designa por Q .
Integrando la ecuaci�n
obtenemos la siguiente f�rmula para determinar el Q que se necesita para que el nivel de l�quido alcance la altura h:
(aqu�, ln denota el logaritmo de base e = 2,718...).
Esta expresi�n puede ser simplificada. Partiendo de las igualdades wS = vc y , se determina la velocidad w de descenso del nivel desde la altura h al vaciar la pila:
Por consiguiente,
de donde
Despu�s de realizar las sustituciones correspondientes se obtiene la siguiente expresi�n para determinar Q :
la cual no contempla los casos de secci�n S y c del recipiente y del orificio de salida ni la aceleraci�n de la gravedad g. Esto �ltimo se�ala que el tiempo de llenado de la ba�era debe ser el mismo que en cualquier otro planeta.
Si deseamos averiguar cu�nto tiempo se necesitar� para alcanzar los niveles l�mites en los recipientes, llegaremos a la conclusi�n de que esta magnitud ser� indefinida, o sea, nunca se llenar�n. Esta respuesta es bastante inesperada: se podr�a preverla, pues a medida que el nivel se aproxima a la altura l�mite, disminuye progresivamente su velocidad de elevaci�n; cuanto m�s cerca est� el nivel de l�quido a su l�mite, tanto menos tender� a �l. Queda claro que el agua nunca lo alcanzar�, por mucho que se le acerque.
No obstante, desde el punto de vista pr�ctico, es posible formular el problema de un modo distinto. Pues, en este caso no es obligatorio que el nivel de agua coincida exactamente con el l�mite; por ejemplo, pueden diferir en 0,01 de altura. El tiempo que se necesita para que el agua alcance este nivel �aproximado� se determina mediante la f�rmula deducida poniendo h = 0,991, donde l es la altura del nivel l�mite; de modo que resulta que
Apliquemos la f�rmula
a los casos que examinamos con anterioridad.
a) T = 8 min y t = 12 min:
El nivel constante se alcanzar� en unos 39 min.
b) T = t = 8 min:
El l�quido alcanzar� el nivel constante en unos 17 min
c) T = 8 min y t = 6 min:
El nivel de l�quido ser� constante dentro de unos 10 min.
d) T = 30 min y t = 5 min:
De hecho, el l�quido alcanzar� el nivel l�mite en menos de dos minutos.
e) Finalmente, la pila con el desag�e abierto se llenar� totalmente, lo que ocurre, seg�n determin�ramos anteriormente, a condici�n de que t = 2T, en un tiempo
Con esto damos por terminado el an�lisis de los problemas de la ba�era, que se nos ha hecho tan largo. Es que el asunto es mucho m�s complicado de lo que se imaginan aquellos autores de libros de problemas de matem�ticas que a la ligera incluyen en sus obras �problemas de los dep�sitos�, destinados a los alumnos de la escuela primaria.
74. V�rtices en el agua.
Al vaciar la ba�era, nos damos cuenta de que junto a su orificio de desag�e se forma un remolino.
�En qu� sentido gira �ste, en el de las agujas del reloj o en sentido contrario? �Por qu�?
El problema planteado atrajo en su tiempo la atenci�n de D. Grave, famoso matem�tico ruso, que se�al� lo siguiente.
�Si un recipiente se vac�a mediante un orificio abierto en su fondo, encima de �l se forma un torbellino de l�quido que gira, en el hemisferio boreal, en sentido contrario a las agujas del reloj, y en el austral, en sentido inverso. Cada lector puede comprobar la validez de esta observaci�n dejando salir agua de la ba�era. Para que la rotaci�n del v�rtice sea m�s evidente, se puede echar al agua trocitos de papel. Esta experiencia evidente comprueba la rotaci�n de la Tierra, aunque se realiza por medios caseros.�
A continuaci�n este autor manifiesta lo siguiente: �Lo dicho permite sacar conclusiones muy importantes relativas a las turbinas hidr�ulicas. Si una turbina hidr�ulica horizontal gira en sentido antihorario, la rotaci�n del Globo contribuir� a su funcionamiento; y a la inversa: si gira en sentido horario, el giro del Globo frenar� la rotaci�n del artefacto.� � Por ello, concluye el acad�mico, al fabricar nuevas turbinas hay que inclinar sus paletas de modo que giren en el sentido deseado.�
Estos razonamientos aparecen muy veros�miles. Todo el mundo sabe que la rotaci�n de la Tierra condiciona la forma vorticial de los ciclones, un desgaste mayor del carril derecho de las v�as f�rreas, etc. A lo mejor, se podr�a esperar que la rotaci�n del planeta influir�a de alguna manera en los embudos de agua que surgen en los recipientes durante el vaciado, o en las turbinas hidr�ulicas.
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| Esquema del movimiento vorticial: arriba, al salir el l�quido por el desag�e de la ba�era; abajo, del aire en un cicl�n. |
No obstante, no debemos dejarnos cautivar por esta primera impresi�n. El comportamiento del embudo de agua que se forma encima del orificio de vaciado se comprueba f�cilmente y, de hecho, no se ajusta a la descripci�n que acabamos de citar: en unos casos el remolino se enrosca en sentido antihorario, y en otros, en sentido opuesto. La direcci�n de giro, lejos de ser constante, no revela ninguna tendencia predominante, m�xime si las observaciones se llevan a cabo en diferentes recipientes, y no en uno mismo.
El c�lculo nos proporciona un resultado que concuerda muy bien con las observaciones: la magnitud de la llamada aceleraci�n de Coriolis es muy peque�a y se calcula seg�n la f�rmula siguiente:
donde ( es la aceleraci�n de Coriolis, v, la velocidad del cuerpo en movimiento, w , la velocidad angular de rotaci�n de la Tierra y j , la latitud del lugar. Por ejemplo, en la latitud de San Petersburgo, siendo la velocidad del chorro de agua de 1 m/s se obtienen los datos siguientes: v = 1 m/s, w = 2/86.400 s; sen j = sen 60� = 0.87
Como la aceleraci�n de la gravedad es de 9,8 m/s, la de Coriolis vale una cienmil�sima de �sta. En otras palabras, el esfuerzo que surge es igual a una cienmil�sima parte del peso del agua que forma el torbellino. Est� claro que cualquier irregularidad en la forma del recipiente, por ejemplo, su asimetr�a respecto del orificio de vaciado, deber� influir mucho m�s en el sentido de rotaci�n del chorro de agua que el giro del planeta. El hecho de que al observar el vaciado de un mismo recipiente a veces se suele colegir que el sentido de rotaci�n del v�rtice siempre es uno mismo, no comprueba, ni mucho menos, la tan esperada regla de rotaci�n, pues los factores predominantes que intervienen en este caso son la forma del fondo de la pila y sus irregularidades, y no la rotaci�n de la Tierra.
Por esta raz�n, a la pregunta planteada hay que responder del modo siguiente: es imposible predecir en qu� sentido girar� el v�rtice de agua junto al orificio situado en el fondo de la pila, ya que �ste depende de toda una serie de circunstancias dif�ciles de considerar. Adem�s, los torbellinos que se crean en el flujo de l�quido y que pudieran atribuirse a la rotaci�n del Globo, deben de tener, seg�n comprueba el c�lculo, un di�metro mucho mayor que los peque�os remolinos que surgen en torno al orificio de vaciado de un recipiente. Por ejemplo, en la latitud de San Petersburgo, para la velocidad de corriente de 1 m/s, el di�metro de semejante torbellino deber�a ser de 18 m; para la velocidad de 0,5 m/s, de 9 m, etc., es decir, variar�a en raz�n directa a la velocidad de corriente.
Como colof�n vamos a acotar algo m�s sobre la supuesta influencia de la rotaci�n del planeta en el funcionamiento de las turbinas hidr�ulicas. Te�ricamente, se podr�a demostrar que toda rueda que gira, es incitada por la rotaci�n de la Tierra a ocupar una posici�n tal que su eje sea paralelo al del planeta, y que el sentido de giro de ambos cuerpos sea igual. No obstante, el efecto de semejante influencia es �nfimo, al igual que en el caso del embudo de agua formado en el recipiente que se vac�a; en otras palabras, la acci�n del giro de la Tierra constituye menos de una cienmil�sima parte de la fuerza de la gravedad. Por consiguiente, toda irregularidad de forma del cuerpo de la turbina que gira, por m�s insignificante que sea, de por s� muy natural e inevitable, debe influir mucho m�s y camuflar la influencia que el giro del Globo ejerce sobre dicho artefacto. Por lo tanto, no se han de cifrar muchas esperanzas en que la rotaci�n de la Tierra contribuya ostensiblemente al funcionamiento de los mecanismos.
75. La riada y el estiaje.
�Por qu� en tiempo de riada la superficie del r�o es convexa, mientras que durante el estiaje es c�ncava?
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| La superficie del r�o durante la crecida |
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| La superficie del r�o durante el estiaje |
El hecho de que en �pocas de crecida y estiaje la superficie de los r�os no es estrictamente horizontal, se debe a que la parte central, o axial, de la masa de agua corriente tiene velocidad mayor que las partes cercanas a la orilla; la corriente es m�s r�pida en medio del r�o que junto a las m�rgenes. Por consiguiente, durante la crecida, cuando desde la parte alta del r�o viene mucha agua, su grueso fluye a lo largo de la l�nea central del cauce; a consecuencia de esto el r�o �se abulta� en su parte media. Al contrario, durante el estiaje, mientras el caudal es peque�o (pues la mayor parte del agua ya est� en la cuenca baja) su nivel disminuye m�s r�pido a lo largo de la l�nea media que junto a las orillas, por lo que la superficie del r�o se vuelve c�ncava.
Este fen�meno es muy notable en los r�os caudalosos y muy anchos. �En el Mississip�, dice el escritor y ge�grafo franc�s J. Reclus en su obra La Terre, description des ph�nom�nes de la vie du globe , la convexidad transversal que se forma durante la crecida es de un metro por t�rmino medio...; las maderas que se transportan por flotamiento en esta �poca "se deslizan" de la parte central prominente del r�o y quedan en la orilla, mientras que en el estiaje siempre flotan aguas abajo por su parte central y se acumulan en la depresi�n formada en medio del r�o.�
76. El oleaje.
�Por qu� se curvan las crestas de las olas que lamen la costa?
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| Las crestas de las olas que lamen la costa, tienen forma curvada |
El encorvamiento de las crestas de olas que lamen la costa suave se debe a que la velocidad con que viajan por la superficie de aguas someras depende de la profundidad, a saber, est� en raz�n directa con la ra�z cuadrada del valor de la profundidad. Cuando las olas se propagan por encima de los bajos de mar, la elevaci�n de sus crestas respecto al fondo es mayor que la de los valles de onda; por consiguiente, las crestas avanzan m�s veloces que los valles que les preceden y, adelant�ndose a ellos, se curvan hacia adelante.
Este mismo hecho explica la causa de otro fen�meno que se observa en el mar agitado: las olas que baten la costa siempre son paralelas a �sta. La causa radica en que cuando se acercan hacia la orilla bajo un �ngulo formando barreras paralelas, las que pasan por encima del baj�o cercano a la orilla antes que las otras, aminoran su paso. Es f�cil ver que a consecuencia de este fen�meno la l�nea de olas debe cambiar la direcci�n de su movimiento hasta que sea paralela a la costa.
77. El problema de Colladon.
El c�lebre f�sico Jean-Daniel Colladon plante� a los estudiantes de la Academia de Ingenier�a de Par�s el problema siguiente:
�Un barco se desplaz� por el R�dano aguas arriba elev�ndose a 170 m (desde Marsella hasta Lyon). Para calcular el trabajo realizado durante el viaje, �habr� que tener en cuenta tambi�n el producto del peso del barco por la altura de 170 m, adem�s de la resistencia de la corriente?�
La superficie del r�o se asemeja a un plano inclinado, por eso se podr�a suponer que al navegar aguas arriba el barco debe realizar la misma cantidad de trabajo que un cuerpo deslizando hacia arriba por un plano inclinado. Pero no debemos olvidar que el empuje del agua equilibra el peso del barco que navega. Para elevarlo a un nivel m�s alto no se necesita realizar ning�n trabajo y no vale la pena tomar en consideraci�n a este �ltimo.
Lo notable es que entre los estudiantes de la academia que tuvieron que resolver este problema, uno solo dio la respuesta correcta; posteriormente aquel estudiante se hizo un ingeniero de ferrocarriles muy famoso en Francia.
