2. Partialsummen und Zahlenfolgen
2.3. Arithmetische Zahlenfolgen p-ter Ordnung
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2.3.2. Spezielle Partialsummen p-ter Ordnung
2.3.2.1. Partialsumme von Quadratzahlen
Nach den Satz S1 (siehe 2.3. Arithmetische Zahlenfolgen p-ter Ordnung)
ist die Folge der Quadratzahlen eine arithmetische Zahlenfolge 2. Ordnung. Nach den Satz S2
(siehe 2.3.1. Partialsumme arithmetischer Zahlenfolgen p-ter Ordnung)
gilt die Gleichung (12).
| |
sn = |
( | n
1 | ) |
a1 + |
( | n
2 | ) |
b11 + |
( | n
3 | ) |
b12 |
|
(12) |
Dabei ist a1 = 12 = 1. Aus der Übersicht (13) kann man entnehmen,
dass b11 = 3 und b12 = 2 ist.
|
|
1 |
|
4 |
|
9 |
|
16 |
|
25 |
... |
| b11 |
|
3 |
|
5 |
|
7 |
|
9 |
... |
|
| b12 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
... |
|
(13) |
Daraus folgen die Gleichungen (14) und (15).
| |
sn = |
( | n
1 | ) |
+ |
( | n
2 | ) |
3 + |
( | n
3 | ) |
2 |
|
(14) |
| sn = |
6n + 9n(n - 1) + 2n(n - 1)(n - 2)6 |
2.3.2.2. Partialsumme von Kubikzahlen
Nach den Satz 2.1 (siehe 2.3. Arithmetische Zahlenfolgen p-ter Ordnung)
ist die Folge der Kubikzahlen eine arithmetische Zahlenfolge 3. Ordnung. Nach den Satz 2.2
(siehe 2.3.1. Partialsumme arithmetischer Zahlenfolgen p-ter Ordnung)
gilt die Gleichung (16).
| |
sn = |
( | n
1 | ) |
a1 + |
( | n
2 | ) |
b11 + |
( | n
3 | ) |
b12 + |
( | n
4 | ) |
b13 |
|
(16) |
Dabei ist a1 = 13 = 1. Aus der Übersicht (17) kann man entnehmen,
dass b11 = 3, b12 = 2 und
b13 = 2 ist.
|
|
1 |
|
8 |
|
27 |
|
64 |
|
125 |
... |
| b11 |
|
7 |
|
19 |
|
37 |
|
61 |
... |
|
| b12 |
|
|
12 |
|
18 |
|
24 |
|
30 |
... |
| b13 |
|
|
|
6 |
|
6 |
|
6 |
... |
|
(17) |
Daraus folgen die Gleichungen (18) und (19).
| |
sn = |
( | n
1 | ) |
+ |
( | n
2 | ) |
7 + |
( | n
3 | ) |
12 + |
( | n
4 | ) |
6 |
|
(18) |
| |
sn = |
24n + 84n(n - 1) + 48n(n - 1)(n - 2) + 6n(n - 1)(n - 2)(n - 3)
24 |
| |
sn = |
4n + 14n2 - 14n + 8n3 - 24n2 + 16n
+ n4 - 6n3 + 11n2 - 6n4 |
Inhalt
Partialsumme
arithmetischer Zahlenfolgen p-ter Ordnung
Geometrische Folge