Partialsummen und Zahlenfolgen - Arithmetische Zahlenfolgen p-ter Ordnung

2. Partialsummen und Zahlenfolgen

2.3. Arithmetische Zahlenfolgen p-ter Ordnung und deren Partialsumme

DEFINITION 2.6.: Unter einer arithmetischen Zahlenfolge p-ter Ordnung versteht man eine nicht konstante Zahlenfolge, deren Differenzfolge p-ter Ordnung eine konstante Zahlenfolge ist.

Die Zahlenfolge (b_n¹) mit b_n¹ = a_n+1 - a_n heißt die erste Differenzfolge von (a_n). Entsprechend nennt man (b_n^k) mit b_n^k = b_{n + 1}^{k - 1} - b_n^k-1 die k-te Differenzfolge von (a_n).
Satz 2.1.
Jede Zahlenfolge (a_n) mit dem allgemeinen Glied a_n = c_pn^p + c_p-1n^p-1 + ... + c₀ mit pÎN, c₀, c₁, ..., c_p konstant und c_p ≠ 0, ist eine arithmetische Zahlenfolge p-ter Ordnung, denn ihre p-te Differenz b_n^p = p!c_p ist konstant.

Mit dem Hilfssatz H1 und mit Hilfe der vollständigen Induktion kann bewiesen werden, dass die p-te Differenz b_n^p tatsächlich konstant ist.
Hilfssatz H1.
Für jede Zahlenfolge (a_n) mit dem allgemeinen Glied a_n = c_pn^p + c_p-1n^p-1 + ... + c₀ mit pÎN, c₀, c₁, ..., c_p konstant und c_p ≠ 0, gilt b_n^r = c_p-r^rn^p-r + c_p-r-1^rn^p-r-1 + ... + c₀^r für jedes r ≤ p.
Beweis von Hilfsatz H1.
Induktionsanfang: Der Hilfssatz H1 gilt für r = 0, denn b_n⁰ = c_pn^p + c_p-1n^p-1 + ... + c₀ und a_n = c_pn^p + c_p-1n^p-1 + ... + c₀.
Induktionsvoraussetzung: Der Hilfssatz H1 gilt für r ≤ k und es gilt b_n^k+1 := b_n+1^k - b_n^k (wegen Definition).
Induktionsvoraussetzung: Der Hilfssatz H1 gilt für r = k + 1.
Induktionsbeweis:
b_n^r = c_p-r^rn^p-r + c_p-r-1^rn^p-r-1 + ... + c₀^r mit r ≤ k und b_n^k+1 = b_n+1^k - b_n^k
Daraus folgt b_n^k+1 = c_p-k^k(n + 1)^p-k + c_p-k-1^k(n + 1)^p-k-1 + ... + c₀^k - (c_p-k^kn^p-k + c_p-k-1^kn^p-k-1 + ... + c₀^k)
b_n^k+1�= c_p-k^k + c_p-k-1^k + ... + c₀^k - (c_p-k^kn^p-k + c_p-k-1^kn^p-k-1 + ... + c₀^k)
b_n^{k + 1} = c_p-k^kn^p-k + c_p-k^k + c_p-k-1^k + ... + c₀^k - c_p-k^kn^{p-k - c_p-k-1^kn^p-k-1
- ... - c₀^k

b_n^k+1 =
c_p-k^k + c_p-k-1^k
+ ... + c₀^k
- c_p-k-1^kn^p-kk-1 - ... - c₀^k

b_n^k+1�= c_p-(k+1)^k+1n^p-(k+1)
+ c_p-(k+1)^k+1n^p-(k+1)-1 + ... + c₀^k+1}
Wegen der Gültigkeit von Induktionsanfang und Induktionsschritt gilt der Hilfssatz H1.

QED

Setzt man nun r = p, so gilt nach dem Hilfssatz H1: b_n^p�= c₀^pn⁰ = c₀^p, wobei c₀^p konstant ist. Damit ist Satz 2.1 gezeigt.

Inhalt
Partialsummen spezieller arithmetischer Zahlenfolgen 1. Ordnung
Partialsumme arithmetischer Zahlenfolgen p-ter Ordnung

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