1.5. Inverse Interpolation

Häufig sind in den Anwendungen nicht Näherungen für Funktionswerte einer gewissen Funktion f, sondern für deren Umkehrfunktion f -1 gesucht. Falls f eine eindeutig umkehrbare reelle Funktion ist und eine Nullstelle x = x0 besitzt, so kann man x0 mit Hilfe der Umkehrsfunktion (auch: inverse Funktion) bestimmen:   x0 = f -1(0).
Eine Tabelle von Funktionswerten ist gleichzeitig eine Tabelle von Werten der Umkehrfunktion, wenn man Stützstelle und Stützwert vertauscht.

Beispiel 1.7:

Gegeben sei folgende Tabelle für die LANGEVIN-Funktion
f(x) = 1
x		 - ln(x)
x 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3
f(x) 1.7852 1.4731 1.2165 1.0 0.81378 0.65102 0.50687
Gesucht ist der Wert von f -1(y) für y = 1.05, wenn eine kubische Interpolation angewendet wird.
Wählt man die Werte 1.4731, 1.2165, 1.0 und 0.81378 als Stützstellen aus, so erhält man z.B. mit Hilfe der LAGRANGE-Interpolation oder der NEWTON-Interpolation den Näherungswert f -1 = 0.9753.

Inverse quadratische Interpolation:

Die sogenannte inverse quadratische Interpolation ist ein Verfahren zur genäherten Lösung der Gleichung  f (x) = 0.
Die Umkehrfunktion  f -1 von  f wird in drei Stützpunkten (yk-2, xk-2), (yk-1, xk-1) und (yk, xk) interpoliert und der Funktionswert des so erhaltenen Polynoms an der Stelle y = 0 als neuer Näherungswert xk+1 verwendet wird.
Ansatz: p2(y) = a0 + a1y + a2y2

a0 + a1yk-2 + a2yk-22 = xk-2
a0 + a1yk-1 + a2yk-12 = xk-1
a0 + a1yk + a2yk2 = xk

a1(yk-2 - yk-1) + a2(yk-22 - yk-12) = xkk-2 - xk-1
a1(yk-2 - yk) + a2(yk-22 - yk2) = xk-22 - xk

a1 = (xk-2 - xk-1) (yk-22 - yk2) - (xk-2 - xk)(yk-22 - yk-12)
(yk-2 - yk-1)(yk-22 - yk2) - (yk-2 - yk)(yk-22 - yk-12)
a2 = (yk-2 - yk-1)(xk-2 - xk) - (yk-2 - yk)(xk-2 - xk-1)
(yk-2 - yk-1)(yk-22 - yk2) - (yk-2 - yk)(yk-22 - yk-12)
a0 = xk-2 - a1yk-2 - a2yk-22 = xk+1
Nun wird das oben beschriebene Verfahren auf die drei Stützpunkte (yk-1, xk-1), (yk, xk) und (yk+1, xk+1) angewendet. Dieses Verfahren kann bis zur der gewünschten Genauigkeit wiederholt werden.

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