1.4 HERMITE-Interpolation

In manchen Fällen hat man nicht nur die Funktionswerte der Stützstellen gegeben, sondern auch die k-ten Ableitungn der Funktion an den Stützstellen.
Geg.: (x_i,f_i^(k)) mit i = 0, 1, ..., m und k = 0, 1, ..., n_i - 1. Es gilt m i=0n_i = n + 1.
Die Koeffizienten des Polynoms, das die Interpolationsbedingung p_n^(k)(x_i) = f^(k)(x_i) erfüllt, können mit Hilfe eines Gleichungssystems bestimmt werden.
Beispiel 1.6:

Gegeben sind zwei Funktionswerte und zwei Ableitungswerte einer Funktion:   f(2) = 3, f '(2) = 4, f ''(2) = 8, f(-1) = 0. Gesucht ist ein Polynom, das die Interpolationsbedingung erfüllt. Lösung: Ansatz: p3(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 a0 + 2a1 + 4a2 + 8a3 = 3 a1 + 4a2 + 12a3 = 4 2a2 + 12a3 = 8 a0 + (-1)a1 + a2 + (-1)a3 = 0 Das gesuchte Polynom, das die Interpolationsforderung erfüllt, ist p3(x) = 3 - 2x2 + x3.

Der einfachste Fall der HERMITEschen Interpolationsaufgabe ist gegeben, wenn von m paarweise verschiedenen Stützstellen x_i die Funktionswerte f_i und die Ableitungen f_i' mit i = 0, 1, ..., m bekannt sind. Dann ist p(x) ein Polynom (2m + 1)-ten Grades.
Das Interpolationspolynom kann mittels folgenden Ansatzes bestimmt werden:

p(x) =

m j=0

(fjgj(x)+fj'hj(x)) mit den Polynomen (2m +1)-ten Grades gj(x) und hj(x), j = 0, 1, ..., m, so dass gilt

g_j(x_i) = δ_ij,
g_j'(x_i) = 0,
h_j(x_i) = 0,
h_j'(x_i) = δ_ij.
Dabei ist δ_ij das KRONECKER-Symbol:

δij =			0, falls i ≠ j 1, falls i = j

Es sei hj(x) = Lj2(x)(x - xj) mit Lj(x) :=

m k=0,k≠j

x - xk xj - xk

.

Für i ≠ j gilt L_j(x_i) = = 0.

Für i = j gilt Lj(xi) = Lj(xj) =

m k=0,k≠j

xj - xk xj - xk

= 1.

Folgender Ansatz wird für g_j(x) gewählt: g_j(x) = L_j²(x)(c_jx + d_j). Dann gilt

gj(xi) =			Lj2(xi)(cjxi + dj) = 0, falls i ≠ j Lj2(xj)(cjxj + dj) = cjxj + dj, falls i = j

Þ cjxj + dj = 1

(1.16)

g_j'(x_i) = (L_j²(x_i))' (c_jx_i + d_j) + L_j²(x_i)(c_jx_i + d_j)'
g_j'(x_i) = 2 L_j(x_i)L_j'(x_i)(c_jx_i + d_j) + L_j²(x_i)c_j
g_j'(x_i) = L_j(x_i)(2 L_j'(x_i)(c_jx_i + d_j) + L_j(x_i)c_j)

gj'(xi) =		Lj(xi)(2 Lj'(xi) (cjxi + dj) + Lj(xi)cj) = 0, falls i ≠ j 2 Lj'(xj)(cjxj + dj) + Lj(xj)cj, falls i = j

Þ 2 L_j'(x_j)(c_jx_j + d_j) + L_j(x_j)c_j = 0
2 L_j'(x_j)(c_jx_j + d_j) + c_j = 0       (1.17)
Aus (1.16) folgt d_j = 1 - c_jx_j       (1.18)
Aus (1.17) und (1.18) folgt 2 L_j'(x_j)(c_jx_j + 1 - c_jx_j) + c_j = 0
2 L_j'(x_j) + c_j = 0
Þ c_j = - 2 L_j'(x_j)
Þ d_j = 1 + 2 L_j'(x_j)x_j

Beweis 1.8: Erfüllung der Interpolationsforderung:

Behauptung: a) p(xq) = f(xq), q = 0, 1, ..., m b) p'(xq) = f '(xq), q = 0, 1, ..., m Beweis: a) p(xq) = p(xq) = fqgq(xq) + fq'hq(xq) + p(xq) = fqLq2(xq)(cqxq + dq) + fq'Lq2(xq)(xq - xq) + p(xq) = fq(cqxq + (1 - cqxq)) + 0 p(xq) = fq p(xq) = f(xq) b) p'(xq) = p'(xq) = fqgq'(xq) + fq'hq'(xq) + p'(xq) = fq(Lq2(xq)(cqxq + dq))' + fq'(Lq2(xq)(xq - xq))' + p'(xq) = fq(Lq2(xq)cq + 2 Lq'(xq)Lq(xq) (cqxq + dq)) + fq'(2 Lq'(xq)Lq(xq)(xq - xq) + Lq2(xq)) + p'(xq) = fq(cq + 2 Lq'(xq)Lq(xq)(cqxq + 1 - cqxq)) + fq' + p'(xq) = fq(- 2 Lq'(xq) + 2 Lq'(xq)) + fq' + p'(xq) = fq'(xq) + p'(xq) = f '(xq) Wegen der Gültigkeit der Behauptungen a) und b) ist die Interpolationsforderung erfüllt.

QED

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