1.2. LAGRANGE-Interpolation

Bei gegebenen (n + 1) paarweise verschiedenen Stützstellen (x_i,f(x_i)), i = 0, 1, ..., n, lässt sich mittels (1.2) immer eindeutig ein Polynom finden, das die Interpolationsforderung erfüllt. Aber selbst mit Hilfsmitteln wie dem GAUSS-Algorithmus ist es schwierig, die Koeffizienten eines Polynom höheren Grades zu bestimmen.

Für die LAGRANGEsche Darstellung des Interpolationspolynoms wird folgender Ansatz gemacht:

pn(x) = f0L0(x) + f1L1(x) + ... + fnLn(x)

(1.5)

Mit gegebenen f(x_i) = f_i, x_i - paarweise verschieden - gilt:

Li(x) =

n k=0 k≠i

x - xk xi - xk

Dabei heißen die L_i(x) LAGRANGEsche Multiplikatoren.

Zuerst muss bewiesen werden, dass der Ansatz der LAGRANGE-Darstellung die Interpolationsforderung erfüllt.
Beweis 1.1:

Voraussetzung: x = x_j
Behauptung: p_n(x_j) = f(x_j), j = 0, 1, ..., n
Beweis:
p_n(x_j) = f₀L₀(x_j) + f₁L₁(x_j) + ... + f_n-1L_n-1(x_j) + f_nL_n(x_j)

pn(xj) =

n i=0

(

fi

n k=0,k≠i

xj - xk xi - xk

)

pn(xj) = fj +

n i=0,i≠j

(

fi

n k=0,k≠i

xj - xk xi - xk

)

pn(xj) = fj +

n i=0,i≠j

(

fi

xj - xj xi - xj

n k=0;k≠i,j

xj - xk xi - xk

)

pn(xj) = fj +

n i=0,i≠j

0

p_n(x_j) = f_j

Satz 1.1:

Sei Li(x) =

n k=0 k≠i

x - xk xi - xk

, dann gilt

n j=0

Lj(x) = 1.

Beweis 1.2:

	Es gibt nur ein Polynom n-ten Grades pn(x), für das pn(xj) = fj gilt. Deshalb gibt es für die Stützwerte fj = 1, j = 0, 1, ..., n, auch nur das eindeutige Polynom pn(x) = 1. Wegen fj = 1, j = 0, 1, ..., n, ist pn(x) = n j=0 Lj(x) = 1.
	QED

Bemerkung 1.4:

Es gilt Lj(xi) =

{

0, falls i ≠ j 1, falls i = j

Beispiel 1.2:

	Gegeben sind 4 Stützstellen (xi,f(xi)), i = 0, 1, 2. Stelle p3(x) als LAGRANGEsches Interpolationspolynom dar. x -1 0 2 3 f(x) -1 3 11 27 p3(x) = -1 -12 (x-0)(x-2)(x-3) + 3 6 (x+1)(x-2)(x-3) + 11 -6 (x+1)(x-0)(x-3) + 27 12 (x+1)(x-0)(x-2) x f(x) p2(x) = (x-) (x-) + (x-) (x-) + (x-) (x-)

Bemerkung 1.5: Ein Nachteil der LAGRANGE-Interpolation ist, dass bei Hinzunahme einer weiteren Stützstelle die LAGRANGEschen Multiplikatoren neu berechnet werden müssen.

Inhalt
Existenz und Eindeutigkeit der Polynominterpolation
NEWTON-Interpolation