1.6. Interpolationsfehler

Manchmal ist eine Funktion f(x) bekannt, aber sehr schwer auszuwerten. Dann besteht die Möglichkeit (n + 1) geeignete Stützstellen zu wählen und ein Polynom n-ten Grades durch die Stützpunkte zu legen. Nun stellt sich aber die Frage, wie gut approximiert p_n(x) die Funktion f(x) an Zwischenstellen x ≠ x_i.
O.B.d.A. gilt a ≤ x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n ≤ b.
Sei f(x) = p_n(x) + R_n+1(x), dann stellt sich die Frage nach dem Wert des Restgliedes R_n+1(x) = f(x) - p_n(x).

Satz 1.3:

Sei pn ein Polynom n-ten Grades, das Interpolationspolynom einer Funktion fÎCn+1[a, b] zu den paarweise verschiedenen Knoten a ≤ x0 < x1 < x2 < ... < xn-1 < xn ≤ b, dann gibt es für jedes xÎ[a,b] ein ξÎ(min{x0,x},max{xn, x}) mit Rn+1(x) = f(x) - pn(x) = . (1.19) Bemerkung 1.9: Cq[a, b] ist die Menge aller q-mal stetig differenzierbaren Funktion auf dem Intervall [a, b]. Eine Funktion ist stetig differenzierbar, wenn ihre erste Ableitung existiert und stetig ist.

Beweis 1.9:

Fall 1: x = x_i
p_n(x_i) = f(x_i)
Þ R_n+1(x_i) = 0 und R_n+1(x_i) = = 0.
Fall 2: x ≠ x_i und x ist fest
Es werden folgende Funktionen definiert:

	wn(t) := (t - x0)(t - x1)..... (t - xn)	(1.20)
	g(t) := f(t) - pn(t) - f(x) - pn(x) wn(x) wn(t)	(1.21)

Es gilt g(t)ÎCⁿ⁺¹[a, b], weil f(t)ÎCⁿ⁺¹[a, b] nach Voraussetzung und p_n(t) und w_n(t) Polynome sind. Die Funktion g(t) besitzt (n + 2) verschiedene Nullstellen in [a, b]. Diese Nullstellen sind x₀, x₁, ..., x_n, x. Demzufolge besitzt g⁽ⁿ⁺¹⁾(t) mindestens eine Nullstelle ξ.
ξÎ(min{x₀, x}, max{x_n, x}). Aus Gleichung (1.21) folgt:

0 = g(n+1)(ξ) = f(n+1)(ξ) - pn(ξ) -

(f(x) - pn(x))wn(n+1)(ξ) wn(x)

Daraus folgt wegen p_n⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) = 0 nun

f(n+1)(ξ) =

Rn+1(x)(n + 1)! wn(x)

ÞR_n+1(x) =
Da es keinen weiteren Fall gibt, ist Satz 1.3 beweisen.

Inhalt
Inverse Interpolation
Spline-Interpolation