2. Spline-Interpolation

Die Grundidee der sogenannten Spline-Interpolation besteht darin, Polynome geringen Grades durch je zwei benachbarte Stützstellen zu legen, um so Zwischenstellen leicht interpolierten zu können.
O.B.d.A. gilt x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n.

Wenn man linear interpoliert, erhält man folgenden Spline s(x):

s(x) =
			f1 - f0 (x - x0) + f0 x1 - x0	für xÎ[x0, x1]
			f2 - f1 (x - x1) + f1 x2 - x1	für xÎ[x1, x2]
			f3 - f2 (x - x2) + f2 x3 - x2	für xÎ[x2, x3]
			...
			fn - fn-1 (x - xn-1) + fn-1 xn - xn-1	für xÎ[xn-1, xn]

Definition 2.1:

Sei Δ_n := a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n-1 < x_n = b ein Gitter von n + 1 paarweise verschiedenen Knoten.
Ein Spline vom Grad m (oder der Ordnung m + 1) bezüglich Δ_n ist eine Funktion sÎC^m-1[a, b], die auf jedem Intervall [x_i, x_i+1] mit einen Polynom (vom Grad m) s_i übereinstimmt.
Den Raum der Splines vom Grad m wird mit S_m(Δ_n) bezeichnet.

Definition 2.2:

Ist f eine auf [a, b] gegebene reellwertige Funktion bzw. f₀, f₁, ..., f_nÎR gegebene Stützwerte, so heißt s_fÎS_m(Δ_n) ein f bzw. f₀, f₁, ..., f_n interpolierender Spline, falls s_f(x_i) = f(x_i) bzw. s_f(x_i) = f_i, i = 0, 1, ..., n, gilt.

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Interpolationsfehler
Kubische Spline-Interpolation