Геодезическая астрономия

Определение широты

1	Пункт	A-0
2	φ₀	+55°02′
3		55.033333°
4	λ₀	+59°32′
5		3.9688889^h
6	Дата	1990-11-11
7	u	−9.5^s
8	T	+4.7℃
9	B	755.8 мм
10	S₀	03^h19^m31.264^s
11		3.3253511^h

12	напр.	N	S
13	звезда	N4	54
14	T_obs	18^h02^m31.0^s	18^h09^m37.4^s
15	z_obs	34°12′53″	32°19′10″
16		34.214722°	32.319444°
17	ρ₀	39.43″	36.64″
18	ρ₁	+1.03″	+1.01″
19	ρ₂	−0.18″	−0.10″
20	ρ	40.28″	37.55″
21	z	34°13′33.28″	32°19′47.55″
22		34.225911°	32.329875°
24	UT	18^h02^m21.5^s	18^h09^m27.9^s
25		18.0393056^h	18.1577500^h
26	дата	11.75163773^d	11.75657292^d
27	α	02^h23^m36.281^s	02^h06^m41.508^s
28		2.3934114^h	2.1115300^h
29	δ	+89°13′36.94″	+23°25′24.82″
30		+89.226928°	+23.423561°
33	S − S₀	18.0886956^h	18.2074643^h
34	S	21.4140467^h	21.5328154^h
35	s	1.3829356^h	1.5017043^h
36	t	−1.0104758^h	−0.6098257^h
37		−15.157137°	−9.147386°
39	cos t	+0.96521237	+0.98728267
32	tg δ	+74.1099180	+0.43322695
40	tg p	+0.01302406	+2.27890409
41	p	+0.746181°	+66.307778°
38	sin t	−0.26146718	−0.15897465
31	cos δ	+0.01349224	+0.91759123
42	sin h	−0.00352778	−0.14587374
43	h	−0.202127°	−8.387879°
23	cos z	+0.82682630	+0.84498310
44	cos h	+0.99999378	+0.98930321
45	cos q	+0.82683144	+0.85411944
46	q	+34.225387°	−31.337410°
47	c = p + q	+34.971568°	+34.970368°
48	φ = 90° − c	+55.028432°	+55.029632°
49	φ	+55°01′42″	+55°01′47″

50	∆φ	5″
51	φ_cp	+55°01′44″

Последовательность вычислений

На примере звезды N4.

Выпишем из журнала общие данные:
1. название пункта;
2. φ₀ — приближённое значение широты;
3. широта, пересчитанная в десятичные градусы;
4. λ₀ — приближённое значение долготы;
5. долгота, пересчитанная в десятичные часы;
6. дата в формате год-месяц-день;
7. u — поправка хронометра;
8. T — средняя температура;
9. B — среднее давление;
Добавим к общим данным звёздное время на начало суток из таблицы АЕ «Звёздное время» (сс. 6–9):
1. S₀ — звёздное время из колонки «Звёздное время истинное»;
2. звёздное время, пересчитанное в десятичные часы.
Выпишем из журнала данные о наблюдении:
1. направление (N — север, S — юг);
2. номер звезды по АЕ (N4 — α UMi, Полярная звезда);
3. T_obs — средний момент наблюдения по хронометру;
4. z_obs — среднее значение измеренного зенитного расстояния;
5. измеренное зенитное расстояние, пересчитанное в десятичные градусы.
Исправим измеренное зенитное расстояние за рефракцию. Для этого воспользуемся таблицами «Рефракция» (с. 602).
1. ρ₀ — средняя рефракция. Применим линейное интерполирование в таблице средней рефракции. Найдём место, соответствующее значению z_obs:
  
  z Рефр.
  
  34 39
  
  35 41
  
  Вычислим аргумент интерполирования по z:
  n_z = (34.214722 − 34) ÷ (35 − 34) = 0.2147
  Вычислим среднюю рефракцию:
  ρ₀ = 39 + n_z × (41 − 39) = 39.43
  Знак всегда положительный.
2. ρ₁ — поправка за температуру T. Применим билинейное интерполирование в таблице поправок за температуру. Найдём место, соответствующее значениям z_obs и T:
  
  _z\^T 0° +5°
  
  30 1 1
  
  40 2 1
  
  Вычислим аргумент интерполирования по z:
  n_z = (34.214722 − 30) ÷ (40 − 30) = 0.4215
  Вычислим ρ₁ для T = 0°:
  ρ₁₋₁ = 1 + n_z × (2 − 1) = 1.42
  Вычислим ρ₁ для T = +5°:
  ρ₁₋₂ = 1 + n_z × (1 − 1) = 1.00
  Далее вычислим аргумент интерполирования по T:
  n_T = (4.7 − 0) ÷ (5 − 0) = 0.94
  Наконец, вычислим ρ₁:
  ρ₁ = ρ₁₋₁ + n_T × (ρ₁₋₂ − ρ₁₋₁) = 1.42 + 0.94 × (1.00 − 1.42) = 1.03
  Знак положительный, как видно внизу и вверху таблицы.
3. ρ₂ — поправка за давление B. Применим билинейное интерполирование в таблице поправок за давление. Найдём место, соответствующее значениям z_obs и B:
  
  _z\^B 760 750
  
  30 0 0
  
  40 0 1
  
  Вычислим аргумент интерполирования по z:
  n_z = (34.214722 − 30) ÷ (40 − 30) = 0.4215
  Вычислим ρ₂ для B = 760:
  ρ₂₋₁ = 0 + n_z × (0 − 0) = 0.00
  Вычислим ρ₂ для B = 750:
  ρ₂₋₂ = 0 + n_z × (1 − 0) = 0.42
  Далее вычислим аргумент интерполирования по B:
  n_B = (755.8 − 760) ÷ (750 − 760) = 0.42
  Наконец, вычислим ρ₂:
  ρ₂ = ρ₂₋₁ + n_B × (ρ₂₋₂ − ρ₂₋₁) = 0.00 + 0.42 × (0.42 − 0.00) = 0.18
  Знак отрицательный, т. к. аргумент брался вверху таблицы, где стоят минусы: −0.18.
4. ρ — рефракция с учётом метеопараметров:
  ρ = ρ₀ + ρ₁ + ρ₂ = 39.43 + 1.03 − 0.18 = 40.28
5. z — астрометрическое зенитное расстояние:
  z = z_obs + ρ = 34°12′53″ + 40.28 = 34°13′33.28″
6. астрометрическое зенитное расстояние, пересчитанное в десятичные градусы;
7. cos z — косинус зенитного расстояния.
Вычислим всемирное время.
1. UT — всемирное время:
  UT = T + u = 18^h02^m31.0^s − 9.5^s = 18^h02^m21.5^s
2. всемирное время, пересчитанное в десятичные часы;
3. дата полная определяется как число месяца плюс всемирное время, выраженное в долях суток.
Выберем видимые координаты звезды из таблицы АЕ. Для большинства звёзд это «Видимые места звёзд» (сс. 217–399). Для N4 это «Видимые места близполюсных звёзд» (сс. 400–493). Найдём в таблице на с. 409 подходящее место:

Дата α δ

2^h23^m +89°13′

Нояб. 10.9 36.46 36.64

11.9 36.25 36.99

Вычислим аргумент интерполирования по дате:
n_d = (11.75163773 − 10.9) ÷ (11.9 − 10.9) = 0.8516
Вычислим секунды α:
α = 36.46 + n_d × (36.25 − 36.46) = 36.281
Вычислим секунды δ:
δ = 36.64 + n_d × (36.99 − 36.64) = 36.94
Внесём видимые координаты в ведомость вычислений:
1. α — прямое восхождение;
2. прямое восхождение в десятеричном представлении;
3. δ — склонение;
4. склонение в десятеричном представлении;
5. cos δ — косинус склонения;
6. tg δ — тангенс склонения.
Вычислим часовой угол.
1. S − S₀ — интервал от начала суток до момента измерения в шкале звёздного времени:
  S − S₀ = UT × μ = 18.0393056 × 1.0027379093 = 18.0886956,
  где μ − соотношение интервалов времени в шкалах звёздного и солнечного времени;
2. S — всемирное звёздное время:
  S = S₀ + (S − S₀) = 3.3253511 + 18.0886956 = 21.4140467
3. s — местное звёздное время:
  s = S + λ₀ = 21.4140467 + 3.9688889 = 1.3829356;
  здесь 24 часа отброшены для нормирования времени в интервал 0–24 часа;
4. t — часовой угол:
  t = s − α = 1.3829356 − 2.3934114 = −1.0104758
  значение необходимо нормировать в интервал между −12^h и +12^h:
  если результат меньше −12^h, прибавим 24^h;
  если результат больше +12^h, вычтем 24^h;
5. часовой угол в градусной мере:
  −1.0104758^h × 15 = −15.157137°
6. sin t
7. cos t
Вычислим длину дуги c между полюсом и зенитом разложением косого сферического треугольника на два прямоугольных.
1. tg p = cos t / tg δ
2. p = arctg (tg p)
  прибавьте 180° при отрицательном склонении δ;
3. sin h = sin t cos δ
4. h = arcsin (sin h)
5. cos h
6. cos q = cos z / cos h
7. q = ±arccos (cos q)
  для северного направления знак плюс, для южного минус;
8. c = p + q
Вычислим значение широты.
1. φ = 90° − c
2. φ — широта в шестидесятеричном представлении, округлённая до угловой секунды.
Подведём итоги вычислений по двум звёздам:
1. ∆φ — расхождение значений φ;
2. φ_ср — среднее значение широты;
  при округлении числа 44½ до целого возникает выбор между 44 и 45, который разрешается в пользу чётной цифры.

Сокращение АЕ означает «Астрономический Ежегодник».

Результаты вычислений заносятся в ведомость вычислений со строго определённым числом значащих цифр, которое определяется требуемой точностью. В данных заданиях точность окончательных результатов совпадает с точностью исходных данных и равна одной угловой секунде. Все промежуточные результаты должны даваться с двумя дополнительными цифрами. В зависимости от размерности величин примем следующие значения количества знаков после запятой:

Секунды дуги	2
Секунды времени	3
Градусы	6
Часы	7
Доли суток	8

Синусы и косинусы должны содержать 8 знаков после запятой. Это правило относится и к тангенсам, если они меньше единицы. Иначе в значениях тангенсов следует приводить 9 значащих цифр.

Дата	α	δ
	2^h23^m	+89°13′
Нояб. 10.9	36.46	36.64
11.9	36.25	36.99

z	Рефр.
34	39
35	41

_z\^T	0°	+5°
30	1	1
40	2	1

_z\^B	760	750
30	0	0
40	0	1