RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. REPRESENTACIÓN GRÁFICA.
3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS.
Consideremos un ángulo determinado y sobre dicho ángulo trazamos rectas paralelas. Los TRIÁNGULOS que se forman son SEMEJANTES pues tienen un ángulo igual y dos lados proporcionales, según Thales, lo que implica que SUS LADOS CORRESPONDIENTES son PROPORCIONALES .
Actividad 1:
Mueve con el ratón los puntos C y C' y , a continuación, observa qué ocurre con el valor de las distintas proporciones cuando mueves los puntos A y B :
Como has podido comprobar, para un mismo ángulo y un conjunto de segmentos paralelos entre sí, el valor de la proporción entre segmentos se mantiene constante. Para un nuevo conjunto de paralelas, el valor de las seis proporciones no se modifica, aunque se modifiquemos los segmentos AA' y BB'. El valor de las proporciones SOLO DEPENDE DEL ÁNGULO.
Para unificar criterios, se consideran segmentos perpendiculares a la base de forma que sean triángulos rectángulos. Cada una de estas proporciones recibe un nombre especial, en función de los lados del triángulo que intervienen.
Actividad 2:
¿Qué relación existe entre las tres primeras proporciones y las tres últimas?
A todas estas proporciones se las llama RAZONES TRIGONOMÉTRICAS. Las tres primeras proporciones son las principales y las tres siguientes son sus inversas. Reciben los siguientes nombres:
SENO del ángulo a: COSENO del ángulo a: TANGENTE del ángulo a:
COSECANTE del ángulo a: SECANTE del ángulo a: COTANGENTE del ángulo a:
Actividad 3:
Dibuja en tu cuaderno un triángulo como el de la escena y anota la expresión correspondiente a cada razón trigonométrica
NOTAS:
1) La tangente se puede deducir a partir del seno y el coseno.
2) La secante,cosecante y cotangente se pueden escribir en función del seno y del coseno. Por ello nos centraremos en estas dos razones trigonométricas que, como veremos , tienen similares características.
3) Ya hemos visto que el valor de las razones trigonométricas no depende del tamaño del triángulo, SÓLO DEL ÁNGULO. Si consideramos un triángulo rectángulo en el que la medida de la hipotenusa sea 1 también se mantendrán las proporciones establecidas.
Actividad 4:
Modifica el valor de la hipotenusa y comprueba como no cambian el seno y el coseno.
Actividad 5:
Modifica los valores del ángulo y de la hipotenusa y determina qué tipo de valores que toman el seno y el coseno
¿Tienen algo especial? ¿Porqué crees que es así? Anota tus conclusiones en el cuaderno de trabajo
Además, aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo tenemos que:
o
lo que es lo mismo : 
que se conoce como
FÓRMULA FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA
Consideramos una circunferencia centrada en (0,0) y de radio 1 que recibe el nombre de CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA . Si tenemos un ángulo y consideramos el punto P en donde corta a la circunferencia, las razones trigonométricas coseno y seno coinciden con la abscisa y ordenada del punto P. En este caso:
Luego en cualquier punto P que se encuentre sobre la circunferencia goniométrica, tenemos que:
senA= ordenada ; cosA= abscisa y por tanto tgA=ordenada/abscisa
Realiza las siguientes actividades con la ayuda de la escena anterior y anota tus conclusiones en el cuaderno de trabajo
6. Determina los valores del seno y coseno de los ángulos de 90º, 180º, 270º y 360º. Anótalo en tu cuaderno
7. Identifica en qué cuadrantes toma valor positivo el seno del ángulo y en cuáles es negativo
8. Identifica en qué cuadrantes será positivo el coseno del ángulo y en cuáles será negativo
9. ¿Cuál será el signo de la tangente en cada cuadrante?
10. Calcula la tangente de los ángulos de 90º, 180º, 270º y 360º. ¿qué ocurre? ¿por qué?
11. ¿Cuántos ángulos hay en la circunferencia tales que seno A= 0'5? ¿Y cos A= 0'342? y ¿y senA =-0'875?
3. RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ALGUNOS ÁNGULOS.
Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez
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