DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
3. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: DERIVADA
4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los estudios de Física, Química y Biología. También en las ciencias sociales como la Economía y la Sociología se utiliza el análisis matemático para explicar la rapidez de cambio en algunas magnitudes .
Conocer la variación de una función en un intervalo grande no informa suficientemente bien en el sentido de entender como se produce dicha variación. Se necesita estudiar variaciones de la función en intervalos cada vez más pequeños para llegar a entender el concepto de variación instantánea o referida a un punto, es decir el de derivada en un punto.
Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo (máximo rendimiento, mínimo coste, máximo benefício, mínima aceleración, mínima distancia, etc).
La TVM mide la variación de la función relativa a un intervalo pero no nos informa de cómo fue variando a lo largo del intervalo. Así, para comparar el comportamiento de una función en dos o más intervalos, es mejor calcular el crecimiento medio en cada uno de ellos (o crecimiento por unidad). Este crecimiento medio recibe el nombre de tasa de variación media (T.V.M.) de la función f en el intervalo [a,b], y se obtiene como el cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo:
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EJEMPLOS:
1) Cuando se estudia la estatura de una persona se observa que su talla cambia mucho entre los 6 y los 9 años, mientras que entre los 20 y 23 cambia muy poco. La TVM de la talla de una persona es mayor en el primer caso que en el segundo, pues en el mismo tiempo ha aumentado más su estatura.
2) Cuando se estudia la variación del número de nacimientos que se producen en un país alo largo del tiempo, la TVM es la tasa de natalidad de la población.
3) El consumo de electricidad en una población no es el mismo en todas las horas del día. Si la TVM en una franja horaria es alta indica la necesidad de reforzar la capacidad de suministro eléctrico durante ese tiempo.
ACTIVIDAD:
Observa la siguiente escena :
| 1.- Calcula la T.V.M. en el intervalo [0,4] para cada función. ¿Qué función crece
más deprisa en dicho intervalo? ¿Cuál más despacio?.
2.-Para cada función, halla la T.V.M. en los intervalos [2,4], [4,6] y [6,8]. (Observa que la función y=x2 crece cada vez más deprisa; y=x crece siempre al mismo ritmo, mientras que y=raíz(x) lo hace cada vez más despacio). 3.-Para la función y=x2 halla la T.V.M. en un intervalo [a,b] tal que a y b estén en el semieje OX negativo. ¿Qué signo tiene la T.V.M.? ¿Cómo relacionas el signo de la T.V.M. con el crecimiento o decrecimiento de una función? 4.-Encuentra un intervalo de amplitud no nula en el que la T.V.M. de la función y=x2 sea igual a 0. |
3. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: DERIVADA
Si tenemos en cuenta que b es mayor que a, el intervalo [a,b] se puede expresar como [a,a+h], siendo h un número real positivo, que representa la amplitud del intervalo. De este modo, la T.V.M. se expresaría según la fórmula:
La tasa de variación instantánea (T.V.I.) en un punto a sería entonces la T.V.M. entre dos puntos a y a+h muy próximos. Así pues,ésta se puede obtener tomando intervalos [a,a+h] cada vez más pequeños, o lo que es lo mismo, haciendo que h tienda a 0. La T.V.I. de f(x) en el punto x=a es el límite de las T.V.M. cuando h tiende a cero.
Este límite aparece de forma natural en multitud de procesos físicos, biológicos, económicos, ... (en todos aquellos en los que se produce una variación de una magnitud con respecto a otra). Matemáticamente, recibe el nombre de derivada de f(x) en x=a y se denota por f´(a). Por tanto:
4. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA
Como la derivada es el límite de las T.V.M. cuando h tiende a cero, resulta que la derivada de una función en un punto coincide con " la pendiente de la recta tangente" a la gráfica de la función en dicho punto.
ACTIVIDAD:
Arrastra el punto a+h con el ratón, acercándolo al punto a (es decir, haciendo que h tienda a cero), y observa lo que ocurre. El punto Q se aproxima cada vez más al punto P, y en consecuencia, la recta secante PQ acaba convirtiéndose en la recta tangente a f(x) en el punto P. |
ACTIVIDAD:
La siguiente escena muestra una curva y=f(x) y la recta tangente en diversos puntos de la misma:
1.-Arrastra el punto rojo con el ratón a lo largo de la curva; observa la recta tangente en cada punto, y su ecuación. Averigua cuál es el valor de: f´(-3), f´(-2), f´(-1), f´(0), f´(1), f´(2), f´(3) y f´(4). ¿En qué puntos la derivada es positiva? ¿En cuáles negativa? ¿En qué puntos vale 0?
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Con la actividad anterior has debido llegar a la conclusión de que el signo de f ´(a) determina el carácter creciente o decreciente de la función f(x):
Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez
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