Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b] y es:

1º) f(x) continua en [a, b].

2º) f(x) derivable en el intervalo abierto (a, b).

3º) f(a)=f(b).

Entonces, existe al menos un punto c del intervalo (a, b) tal que f´(c)=0.

La tesis del teorema dice que la función derivada se anula en algún punto del intervalo abierto, lo que en lenguaje geométrico significa que la tangente es horizontal en algún punto del intervalo abierto.

En esta primera escena se pueden representar gráficamente (en color rojo) varias funciones polinomiales de grado menor o igual que cuatro, exactamente, del tipo f(x)=(px⁴+qx³+rx²+sx+t)/40, donde los parámetros p, q, r, s y t, se han elegido de forma que tomen como valores números enteros comprendidos entre -15 y 15, salvo s que varía entre -135 y 135.

Además aparece en la gráfica (en color verde) la función derivada f´(x), así como un punto Q (del que conocemos las coordenadas) que la va recorriendo cuando vamos variando la abscisa x. También aparece la tangente a la curva (de color azul) en su punto de abscisa x.

Finalmente, podemos ver dos segmentos verticales (de color magenta) que determinan el intervalo [-3, 3] en el que vamos a aplicar el teorema  

, apareciendo los puntos de la gráfica de la función en color rojo.  

Para dibujar funciones que tomen el mismo valor en cada uno de los extremos del intervalo [-3, 3], basta con hacer s=-9q.

Todas las funciones de la primera escena son derivables y por tanto continuas en toda la recta real, en particular en [-3, 3] luego cumplen las dos primera hipótesis del teorema de Rolle. 

Por ello, cualquiera de nuestras funciones, para la que hagamos s=-9q, cumple todas las hipótesis del teorema de Rolle, por lo que cumplen también la tesis, es decir, su derivada se anula en algún punto del intervalo (-3, 3).

1) Prueba con varias funciones que cumplan las hipótesis del teorema en el intervalo [-3, 3] (ya sabes que has de hacer s=-9q) y comprueba que cumplen la tesis, es decir, que la tangente es horizontal (o bien, la segunda coordenada de Q es cero) en algún punto del intervalo (-3, 3).

2) Dibujar la gráfica de la función f(x)=(x⁴+x³+x²-9x-15)/40, (hacer p=q=r=1, s=-9 y t=-15) así como la de su derivada, ¿cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-3, 3]? En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c de (-3, 3) en el que se anula la primera derivada? Comprueba el resultado analíticamente.

El punto c puede no ser único, según veremos en el siguiente ejemplo:

3) La función f(x)=(x⁴-8x²)/40 cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-3, 3], ¿en qué puntos del intervalo (-3, 3) se anula su primera derivada? Comprueba el resultado analíticamente.

Si no se cumplen las hipótesis del teorema, la tesis puede cumplirse o no. Veamos un ejemplo de cada una de las dos situaciones:

4) La función f(x)=(x⁴-4x³+4x²+5)/40 no cumple, en el intervalo [-3, 3] una de las hipótesis del teorema de Rolle, ¿cuál? Sin embargo, cumple la tesis, ¿en qué puntos del intervalo (-3, 3) se anula la primera derivada? Comprueba el resultado analíticamente.

5) La función f(x)=(3x⁴-14x³-9x²-24x)/40 no cumple una de las hipótesis del teorema de Rolle, ¿cuál? Tampoco cumple la tesis, ya que puedes ver que su primera derivada no se anula en ningún punto del intervalo (-3, 3).

La segunda escena es análoga a la primera, con la diferencia de que en ella se pueden representar gráficamente algunas funciones racionales (en color rojo); todas aquellas de la forma f(x)=1/(px²+qx+r), siendo p, q y r números enteros comprendidos entre -1 y 1. También están representadas gráficamente sus derivadas (en color verde). Los demás elementos son los de la escena anterior.

6) Representar gráficamente la función f(x)=1/x². (Hacer p=1,q=r=0) ¿Qué hipótesis del teorema de Rolle no cumple en el intervalo [-3, 3]? ¿Cumple la tesis? Comprueba el resultado analíticamente.

7) Representar gráficamente la función f(x)=1 / (x²-1). (Hacer p=1,q=0, r=-1) ¿Qué hipótesis del teorema de Rolle no se cumple en el intervalo [-3, 3]? ¿Cumple la tesis? En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c? Comprueba el resultado analíticamente.

Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a, b] y es:

1º) f(x) continua en [a, b].

2º) f(x) derivable en el intervalo abierto (a, b).

Entonces, existe al menos un punto c del intervalo (a, b), tal que f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a).

Geométricamente. la tesis significa que, en algún punto del intervalo (a, b), la tangente es paralela a la cuerda que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)).

Actividad 1:

En esta escena se añade el segmento (de color negro) que une los puntos (-3, f(-3)) y (3, f(3)) y su pendiente, n=(f(3)-f(-3))/(3-(-3)). Además, f´(x) va siendo el valor de la derivada en el punto (x, f(x)), que coincide con la segunda coordenada del punto Q.

1) Prueba con varias funciones que cumplan las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [-3, 3] y comprueba que cumplen la tesis, es decir, que la derivada toma un valor igual a n, o lo que es lo mismo, que la tangente en algún punto c de (-3, 3), es paralela al segmento que une (-3, f(-3)) con (3, f(3)).

2)Dada la función f(x)=(x⁴+x³+x²-6x-15)/40, ¿cumple las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo [-3, 3]? En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c de (-3,3) en el que se cumple la tesis? Comprueba el resultado analíticamente.

El punto c puede no ser único, según veremos en el siguiente ejemplo:

Si no se cumplen las hipótesis del teorema, la tesis puede cumplirse o no. Veamos un ejemplo de cada una de las dos situaciones.

5) Representar gráficamente la función f(x)=1/(x²-1). (Hacer p=1,q=0, r=-1) ¿Qué hipótesis del teorema de Lagrange no cumple en el intervalo [-3, 3]? ¿Cumple la tesis? En caso afirmativo, ¿cuál es el punto c? Comprueba el resultado analíticamente.

Este ejemplo es el mismo que sirvió para ilustrar la misma situación en el caso del teorema de Rolle; se ha hecho así para poner de manifiesto una última idea: el teorema de Rolle es un caso particular del de Lagrange. Si en este teorema elegimos una función f(x) tal que f(a)=f(b),es decir, que los valores de la función coincidan en los extremos, tenemos el teorema de Rolle.

Autora: Mª Pilar Barriuso Pérez

	© Ministerio de Educación y Ciencia. Año 2006