Olimpíada Gaúcha de Matemática

Nível 1 (S1.N1)

Encontre o menor inteiro positivo k que possui a seguinte propriedade: dados k inteiros positivos quaisquer de 3 algarismos, existem 11 entre eles cuja soma dos algarismos é a mesma.

Nível 2 (S1.N2)

Mostre que existem infinitos números inteiros palíndromos quadrados perfeitos. Observa-se que um número é palíndromo se é igual quando lido na ordem inversa, por exemplo, são palíndromos: 121, 11, 12300321 e 9.

Nível 3 (S1.N3)

Considere um tabuleiro quadriculado infinito cujos centros de suas casas são os pontos de coordenadas inteiras. A casa central é a casa cujo centro é (0, 0), e as diagonais principais aquelas casas cujo centro tem coordenadas (i, i) ou (i, -i), conforme está destacado na figura:

Cada casa do tabuleiro possui oito casas vizinhas, aquelas que possuem em comum um lado ou um vértice.

Inicialmente, existe uma ameba na casa central e todas as outras casas estão vazias. A partir daí, em cada turno (unidade de tempo), todas as amebas existentes no tabuleiro se reproduzem. A reprodução de uma ameba é feita da seguinte forma: ela continua viva em sua casa e dá origem a outras 8 (oito) amebas, cada uma das quais em uma de suas casas vizinhas. Em cada casa do tabuleiro, podem existir qualquer número de amebas e uma ameba nunca morre. Nas três figuras abaixo, estão indicadas, nas casas, a quantidade de amebas presentes nelas. São mostrados os três primeiros turnos:

Pede-se: calcular o número de amebas em cada turno e provar que a quantidade de amebas na casa central e nas casas das diagonais é sempre um quadrado perfeito.