Olimpíada Gaúcha de Matemática

Quebre a Cuca

Descrição: esta é uma seção nova do site, que pretende aumentar a interação entre os seus visitantes. Toda semana serão disponibilizados três novos problemas, podendo eles serem sugeridos pelos internautas. Qualquer um pode enviar soluções para eles. As melhores soluções serão publicadas. Aqueles que enviarem problemas devem identificar-se, para serem citados. Se não forem enviadas soluções, procuraremos respondê-las. Participe!

Semana 1

Semana 2

Nível 1 (S2.N1) da 4ª OBM, de 1982

Um joguinho consiste de quatro casas que podem mover-se, deslisando, para a casa desocupada. Diga se é possível que tenhamos a configuração inicial, apenas com o 1 e o 3 em posição trocada, após alguns movimentos.

Nível 2 (S2.N2) do livro "O Último Teorema de Fermat", Simon Sigh

Você dispõe de um tabuleiro de xadrez tradicional, reticulado quadriculado 8 x 8, com duas casas faltando: a casa inferior mais à esquerda e a casa superior mais à direita. Decida se é possível, utilizando-se dominós que ocupam exatamente duas casas vizinhas do tabuleiro, cobri-lo de forma que em cada casa, haja um só dominó.

Nível 3 (S2.N3) da OGM, 2003

Marcamos n pontos em uma circunferência, numerando-os de 1 a n (cada ponto com um número distinto). Traçamos segmentos unindo pares de pontos, de forma que cada ponto seja extremidade de exatamente um segmento. Para cada segmento, calculamos o produto dos números que estão nos seus extremos. A soma de todos esses produtos é S.

Para cada inteiro n > 1 par, mostre como traçar os segmentos na circunferência de modo que o valor de S seja o maior possível.

Envie sua solução!