Olimpíada Gaúcha de Matemática

Semana 1, Nível 2

Mostre que existem infinitos números inteiros palíndromos quadrados perfeitos. Observa-se que um número é palíndromo se é igual quando lido na ordem inversa, por exemplo, são palíndromos: 121, 11, 12300321 e 9.

Solução

Considere para cada n inteiro positivo, k = 100...01, com n zeros, ou seja, k = 10^(n+1) + 1. Temos k^2 = 100...0200...1, com n zeros nos dois blocos, que é quadrado perfeito e palíndromo. De uma forma mais algébrica, k^2 = 10^(2n+2) + 2.10^(n+1) + 1.