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| Semana 1, Nível 1 Encontre o menor inteiro positivo k que possui a seguinte propriedade: dados k inteiros positivos quaisquer de 3 algarismos, existem 11 entre eles cuja soma dos algarismos é a mesma. Solução de Resposta: k = 231. |
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S1.N1
Semana 1, Nível 1
Encontre o menor inteiro positivo k que possui a seguinte propriedade: dados k inteiros positivos quaisquer de 3 algarismos, existem 11 entre eles cuja soma dos algarismos é a mesma.
Solução de
Gabriel Guedes, postada em 10/11/03
Platão Gonçalves Terra Neto, 15 anos, Escola Liberato de Novo Hamburgo, RS, postada em 6/11/03Resposta: k = 231.
Seja f a função que determina, para cada n, quantos números de três algarismos cuja soma dos algarismos é n. Não é difícil de constatar que f(1) = f(27) =1, f(2) = f(26) = 3, f(3) = f(25) = 6, f(4) = f(24) = 10, f(5) = f(25) = 15, e todos os outros valores n tais que 5 < n < 25 satisfazem f(n) > 11. Para cada n, podemos escolher no máximo 10 números com esta quantidade de algarismos, para que não haja 11 cuja soma de algarismos seja a mesma. Esta quantidade é f(1) + f(27) + f(2) + f(26) + f(3) + f(25) + f(4) + f(24) + 10.19 = 40 + 190 = 230. Pelo princípio da casa dos pombos, se houver um número a mais na lista, ele deverá coincidir com outros 10, na soma de seus algarismo, portanto k = 231.