15	EFEITO DIN�MICO...

A teoria do caos � uma teoria do din�mico. Ou seja, no gr�fico (j� visto) abaixo, vemos que a regi�o vermelha � uma regi�o ca�tica. Mas o leitor pode estar se perguntando que rela��o o caos tem com o din�mico, com o movimento. Bom, vamos analisar a equa��o que rege o comportamento abaixo, x(n+1) = b.x[n].(1-xn). Onde b representa um n�mero de 1 a 4, x[n] � a popula��o num determinado ano e x[n+1] � a popula��o do ano seguinte. Ao fixarmos um valor de b e alterarmos o valor de x[n], acontece o que est� ao lado do gr�fico. Como pode ser visto, para alguns valores de b, o comportamento do gr�fico � ordenado, mas para outros o comportamento� ca�tico.

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Mapa log�stico: b = 0 a 1, o valor de x vai a zero. b = 1 a 3, valor de x converje para um �nico valor (para cada b). b = 3 a 3,46, o valor de x alterna entre 0,59 e 0,73. b = 3,46 a 3,569, sucessivas bifurca��es (4, 8, 16 etc.). b > 3,569, caos, exceto em algumas "janelas".

Quando falamos em periodicidade, podemos pegar como exemplo a fun��o seno. O seu gr�fio se comporta da seguinte maneira:

17	Ou seja, poderemos prever o futuro para este sistema, pois ela vai se repetindo ao longo do eixo.

18	Este comportamento � ca�tico, pois n�o possui periodicidade

Muita aten��o! Nem todas as equa��es n�o-lineares s�o ca�ticas.

Como foi dito, o caos � um fen�meno din�mico, e � por isso que quando se estuda equa��es que levam ao caos, introduz-se "um" n�mero nesta equa��o e esta gera um resultado. Vamos fazendo sucescivas substitui��es e observar se o comportamento � ou n�o ca�tico.

� bom observar que um sistema pode conter tanto periodicidade e "caoticidade", ou seja, ele pode ser ca�tico e tamb�m possuir movimentos ordenados. No mapeamento abaixo vemos que a partir de um certo valor de b temos o caos, e dentro desse caos existem janelas que se comportam ordenadamente, observe:

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