In questa appendice cerchiamo di descrivere le cadute in termini fisici, al fine di fornire gli elementi di base per una comprensione dei rischi che incorrono [247] [248] [249] [250] . In caso di caduta il corpo umano riduce la forza massima di circa il 20% assorbendo parte dell'energia [138] . Altri rischi, inerenti la velocita` e la possibilita` di urti [251] , non sono qui considerati.

Quando si cade la corda deve bloccare la caduta. Tuttavia, non deve fermarci troppo in fretta, altrimenti il nostro corpo sarebbe soggetto ad una violenta decelerazione, che e` come andare a sbattere contro un muro. E` per questo che sulle vie ferrate si usano i dissipatori, per distribuire l'urto della fermata. D'altra parte non deve neppure essere troppo elastica, altrimenti c'e` maggior pericolo d'urto contro la roccia. E` stato appurato che la massima accelerazione sostenibile dal corpo umano e` 15 g (15 volte l'accelerazione di gravita`), se si cade verticali, a testa in su` [138] . Se si cade a testa in giu` il corpo puo` sopportare solo 2-3 g. I problemi in caso di forti accelerazioni sono l'aumento di pressione in alcuni vasi con conseguente danneggiamento di organi interni.

Supponiamo che uno spelelologo cada su una corda per una lunghezza H e che la corda si allunga di A perche` e` elastica e viene tirata dallo spelelologo in caduta. Il lavoro immagazzinato nella corda non e` dunque la sola caduta su una lunghezza H, ma su una lunghezza H+A. Questo cambia leggermente la formula, che risulta, nel caso di caduta rettilinea (dalla ugualianza fra l'energia della caduta e quella nella tensione della corda) [15] [70] ,

La forza d'arresto cresce con P (come la radice quadrata di P per piccoli valori, che e` il caso dello speleologo che cade). Diminuisce al crescere della elasticita` X (ricordo che dL = P L X), ed aumenta al crescere del fattore di caduta, F_c= H/L. Nel caso di P <2 F_c/X , cioe` nel caso dei "voli" per noi speleologi, si puo` approssimare F_max = (2 F_c P / X)^1/2.

Risultati piu` dettagliati si possono ottenere impostando le equazioni della dinamica di una caduta. La caduta du un tratto di corda puo` essere modellizzata con un comportamento elasto-dissipativo della corda (K costante elastica, R dissipazione) [252] . L'equazione della dinamica e` La dissipazione di energia all'interno dalla corda e` proporzionale alla sua velocita` di allungamento, quindi alla velocita` dello speleologo. La forza elastica e` proporzionale all'allungamento della corda, mentre la costante elastica e` inversamente proporzionale alla lunghezza della corda. Questa equazione diventa (z=Z-Z_o, r=R/M, k=K/M) z" + r z' + k z = g con condizioni iniziali z(0)=0 e z'(0)=v_o=(2gH)^1/2.

La soluzione di questa equazione e` z(t)= g/k + A exp([-s+iw]t) + B exp([-s-iw]t) = g/k [1-e<sup>-st</sup>cos(wt)] + (v<sub>o</sub>-sg/k)/w e<sup>-st</sup>sin(wt), cioe` delle oscillazioni smorzate. La costante di smorzamento vale s=r/2 e la frequenza delle oscillazioni e` w²=k - s².

La massima accelerazione sullo speleologo, cioe` la massima forza di arresto, risulta quando la velocita` si annulla (per la prima volta) dove il tempo t_o e` tale che la velocita` si annula, exp(2iwt) = -(B/A)(s+iw)/(s-iw). Il termine esponenziale e` sempre inferiore ad 1 e, come il secondo termine nell'espressione sotto radice, tiene conto della dissipazione di energia nella corda. Quindi l'accelerazione massima e` inferiore a ( g² + 2 g k_o H/L )^1/2, cioe` il risultato semplificato trovato sopra in base a considerazioni energetiche.

In generale la caduta non e` rettilinea, perche` non si cade proprio sotto (o sopra) l'ancoraggio. Percio` si ha una caduta libera fino a che la corda non entra in tensione. Dopodiche` si descrive un arco. dove F(r)=(r-L)/(LX) e` la tensione nella corda.

Le equazioni dinamiche possono essere facilmente impostate con condizioni iniziali r(0)=L, a(0)=a_o = arccos(D/L), v(0)=v_o = (2 g H)^1/2,

Conviene stimare l'energia assorbita dalla corda come somma di due termini: energia cinetica radiale (che tende direttamente la corda) e quella tangenziale (che produce durante la rotazione una accelerazione centrifuga la quale va a tendere la corda). Quando la corda entra in tensione si ha dove v_o = (2 g H)^1/2. Nel seguito della caduta (lungo l'arco) l'energia potenziale viene perlopiu` convertita in moto tangenziale, per cui quando si arriva nel punto piu` basso l'energia tangenziale e` diventata

A questa corrisponde una forza centrifuga (approssimativamente)

Il fattore di caduta e`

La forza massima e` dunque stimabile come Questo risultato e` riportato nella figura a destra, rapportato alla forza massima per caduta verticale (quando sin(a_o)=1) nel caso 2 P X=100 (che e` un poco eccessivo), e a diversi fattori di caduta. Come si vede la forza massima in caso di caduta fuori dal punto di ancoraggio e` sempre inferiore al caso verticale (anche se induce una oscillazione che puo` essere pericolosa per altri versi !).

In pratica le corde da speleologia, hanno elasticita` strutturali (dovute al fatto che sono costruite con un'anima a trefoli intrecciati, ed una calza che li contiene) oltre che ad una elasticita` delle fibre (di nylon). Percio` la relazione fra l'allungamento e la forza non e` lineare: nel primo tratto intervengono sia l'elasticita` strutturale che quella delle fibre, percio` la corda e` "molto" elastica. Quando la struttura ha esaurito la sua elasticita`, resta solo quella delle fibre, fino a che non inizia la regione di deformazioni irreversibili (plasticita`) che preclude alla rottura della corda.

In questo discorso non viene considerata l'energia assorbita da altri elementi, come i nodi, l'imbrago e i movimenti del corpo dello speleologo. In particolare la forza massima di arresto risulta inferiore di circa il 30% al valore teorico.

Nelle cadute sulle longe parte dell'energia viene (fortunatamente) dissipata nella compressione delle spire dei due nodi alle estremita` (effetto longe [138] ).

In generale un ancoraggio non e` fatto dalla sola corda, ma da tanti elementi (piastrina, bullone, moschettone, nodo, corda, attrezzi, ...) ognuno con la sua elasticita`, e tutti concorrono a dissipare l'energia di una caduta. Occorre stimare l'elasticita` di tutto l'insieme al fine di valutare la forza d'arresto, e la forza massima che agisce su ciascun elemento, per giudicare la tenuta dell'ancoraggio.

Partiamo da due semplici casi:

1. elementi connessi in serie;
2. elementi connessi in parallelo.

Casi piu` complicati si possono ricondurre a questi casi elementari. Nel primo caso (elementi in serie) si vede, da considerazioni energetiche, che ogni elemento contribuisce all'elasticita` globale proporzionalmente alla sua lunghezza ed elasticita`, Percio` X e` determinato dagli elementi piu` elastici e piu` lunghi (solitamente la corda). La forza d'arresto e` uguale per tutti gli elementi: F_max = (2 F_c P / X)^1/2.

Nel secondo caso risulta Percio` l'elasticita` e` inferiore a quella di ogni singolo elemento. La disposizione in parallelo accresce la rigidita` del sistema. Conseguentemente la forza d'arresto (dell'intero sistema) e` superiore rispetto a quella che si avrebbe con un singolo elemento. Tuttavia ogni singolo elemento deve sostenere una forza massima inferiore. Dunque formare anelli di corda comporta un aumento del carico di rottura perche` la forza massima sul singolo giro di corda e` una frazione della forza di arresto.

Quale esempio di sistemi di elementi elastici consideriamo due tipi di longe. La longe formata da un anello di corda chiuso con un nodo (inglese doppio), e la longe singola, con due nodi (ad otto) con gasse alle estremita`. Trascuriamo i moschettoni. La prima longe e` un parallelo di due elementi (uno dei quali e` una serie di due elementi per la presenza del nodo). L'elesticita` risulta (X e` l'elasticita` della corda, L la lunghezza della longe) dove l_n e` il rapporto fra lunghezza del nodo e quella della longe, e x<sub>n</sub> e` il rapporto fra l'elasticita` del nodo e quella della corda.

Nella longe singola abbiamo due gasse (elasticita` X/2), due nodi, e un pezzo di corda. L'elasticita` e` (i nodi hanno approssimativamente la stessa lunghezza)

Ad esempio, se prendiamo la longe corta, L = 18 cm, con gasse da 2 cm, e nodi da 6 cm, otteniamo che la longe doppia e` piu` elastica della longe semplice (oltre a poter assorbire maggior forza d'arresto perche` e` un sistema parallelo). Quindi (almeno dal punto di vista teorico) la longe doppia e` preferibile alle semplice.

Consideriamo le forze in giuoco quando si cade su un tratto di traverso. Supponiamo, per semplicita`, che i due punti di ancoraggio sono alla stessa altezza. Con una caduta di lunghezza H la velocita` nel momento in cui si tende la corda e` V = (2 g H)<sup>1/2</sup> (e diretta verticalmente perlopiu`). Essa e` anche la velocita` con cui viene sollecitata la corda; puo` essere scomposta in due componenti lungo i due pezzi di corda V₁ nella direzione L₁ e V₂ nella direzione L₂.

Risulta

Percio` l'energia dissipata su ciascun pezzo di corda (scriviamo solo la formula per il primo) e la forza massima sull'armo dove X e` l'elasticita` della corda. La formula nella seconda riga si riferisce ad una caduta dalla quota della corda (come in figura). In questo caso si vede che la forza massima su ciascun armo e` comunque inferiore a (2 M g/X)^1/2 cioe` quella di una caduta a fattore di caduta 1.

Nel recupero di un carico l'inerzia del peso provoca delle oscillazioni nella corda. Se il recupero avviene a velocita` v costante, il punto superiore della corda si muove con legge v t, e quello inferiore con la legge - L - x(t) + v t. L'accelerazione su questo risulta -x"(t), per cui, eguagliando la forza di inerzia alla tensione nella corda, si ha che esso esegue oscillazioni con frequenza w = 1 / (M L X)<sup>1/2</sup> e ampiezza x<sub>o</sub> = v/w. La forza massima sulla corda e` M g + v / (X L w). La tensione addizionale cresce al diminuire della lunghezza L e ad decrescere della elasticita` X (cioe` per corde piu` statiche).

Se il tiro viene ripetuto ad intervalli regolari, si puo` avere un effetto di risonanza con oscillazioni sempre piu` grandi. Per esempio se L = 50 m, M = 80 Kg, X = 0.05 1/KN, risulta una frequenza di 2.2 Hz. Lo stesso effetto dovrebbe succedere con delle pedalate regolari.

Un analogo fenomeno avviene quando il sacco appeso sotto si mette ad oscillare fastidiosamente. In questo caso la frequenza e` quella di oscillazione del sacco, che forma un pendolo composto. Teoricamente la frequenza dipende dalla lunghezza L del cordino (circa 1 m), da g=9.8 m/s<sup>2</sup> e dalla lunghezza del sacco. In effetti anche dalla posizione del centro di massa, e dal momento di inerzia, ma per semplicita` assumiamo che sia come una sbarra rigida, di lunghezza 2 D, per cui il centro di messa si trova nel mezzo e il momento di inerzia vale I = M D² / 3.

Questo sistema ha due frequenze fondamentali, che hanno forma dove c e` una delle soluzioni della equazione di secondo grado c<sup>2</sup> - 2 (1 - 4/3 D/L ) c - D/L. Una delle due frequenze e` inferiore a quella del pendolo semplice, (g/L)^1/2, l'altra e` superiore.

Da questa analisi concludiamo che per evitare noiose oscillazioni del sacco occorre accorciare il cordino. In tal modo anche se aumenta il rapporto D/L e la frequenza bassa tende al valore del pendolo semplice, questa diventa abbastanza alta da evitare oscillazioni in risonanza.

In pratica le oscillazioni del sacco risultano indipendenti da come esso viene attaccato all'imbrago, dal suo peso, e dalla lunghezza del cordino [56] . Essa sono dovute all'elasticita` della corda che induce oscillazioni verticali, e, soprattutto, ai movimenti trasversali del bacino dello speleologo (cioe` del punto di attacco del sacco).

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