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Caos nos Números

Como você já sabe, as pequenas diferenças numéricas no modelo de Lorenz produziram enormes diferenças no resultado final de sua simulação climática. Isto é o que costumamos chamar de dependência sensível das condições iniciais. Podemos ver isto, numericamente, no exemplo a seguir.

Você precisará de: uma calculadora, papel, caneta e, paciência.

Primeiramente precisaremos de uma equação não linear. Você trabalhará com ela de forma iterativa. Não se preocupe, não é nada difícil.

Fazer um cálculo iterativo apenas significa que você usará um valor inicial, fará um cálculo cujo resultado será seu novo valor inicial, e assim por diante... Vamos à equação:
x_n+1=k.x_n.(1-x_n²)
onde x_n+1 é o valor da iteração n, k é um valor constante e x_n é o valor da iteração interior. Com um exemplo as coisas ficarão mais claras.

Considere k=2,5 e seu valor inicial x_n=0,700000000. Este valor será o valor x₀. Neste caso n vale 0 e o próximo valor será
x₀₊₁=k.x₀.(1-x₀²),
substituindo o valor de x₀, teremos
x₁=2,5*0,700000000*(1-0,700000000²).
Fazendo o cálculo, x₁=0,892500000. Agora, itere! n vale agora 1, sendo o próximo valor
x₁₊₁=k.x₁.(1-x₁²).
Substituindo o valor de x₁ que encontramos, temos
x₂=2,5*0,8925*(1-0,8925²),
o que dá x₂=0,453933867. Itere, itere, itere... Faça uma tabela com os valores que você obtiver, como a que se encontra abaixo.

 

x0= 0,700000000

x1= 0,892500000

x2= 0,453933867

x3= 0,900995226

x4= 0,423935380

x5= 0,869363005

x6= 0,530763428

x7= 0,953105400

x8= 0,218237538

x9= 0,519608507

x10= 0,948294618

Aqui entra a paciência de que lhe falei; encontre no mínimo as 50 primeiras iterações. Você também pode utilizar um computador (é mais rápido!); construa um programa para fazer isto para você ou use uma planilha de cálculo, ou ainda, use uma calculadora programável.

“Mas espere um pouco, onde aparece o caos neste amontoado de valores?” você pode estar perguntando. Pois bem, até aqui não se observa caos. Para ver o resultado da dependência sensível das condições iniciais é necessário termos uma outra condição inicial. Lógico, não? Refaça seus cálculos, porém agora não use 0,700000000 como valor inicial, mas 0,700000001.

Aparentemente isto não fará muita diferença, certo? Bem, como iniciante em caos você talvez diga: alto lá, é claro que fará diferença! afinal de contas as condições iniciais influenciam bastante os resultados seguintes. Você está perfeitamente correto, mas a questão aqui é o quanto esta pequena diferença afetará os resultados seguintes. Veja por você mesmo:

 

Compare as duas tabelas. Nota-se diferença apenas na última, penúltima ou no máximo na antepenúltima casa decimal. É primordial notar que esta diferença, embora oscilante, aumenta com n, ou seja, a cada iteração a diferença tende a aumentar. Encorajo você a prosseguir até a iteração 50 ou mais. Você verá o quanto a diferença toma proporções volumosas.

Quer aperfeiçoar mais sua investigação caótica? Faça um gráfico dos valores encontrados para os dois valores iniciais versus o valor da iteração (novamente um computador fará isto mais rápido que você). Seu gráfico deverá se parecer com este:

 

Note que até a iteração 35, aproximadamente, não há diferença notável entre os valores. A partir daí a diferença começa a se tornar evidente, até que os valores se tornam radicalmente diferentes.  Esta é a dependência sensível das condições iniciais, efeito borboleta ou, para os íntimos, caos.

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