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Introdução
O que é a teoria do caos
Um pouco de história
Como é que isto começou
Fractais
Uma
nova forma de se descrever a natureza
Aplicações
Onde a Teoria do Caos encontra utilização prática
Veja
e faça Caos
Você
pode fazer o caos e os fractais surgirem diante de seus
olhos
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Roger
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Fractais
Quando você pensa em uma certa mercadoria,
qualquer que seja ela, você sabe que seu preço
ora sobe, ora desce, ou seja, dado um intervalo
considerável de tempo, este preço se comporta de
forma imprevisível. Várias podem ser as causas
para este comportamento: a mudança de certas
regras comerciais,
uma expectativa de falta iminente da
mercadoria, ou ainda, uma retração geral da
economia... etc. De uma forma geral, os preços
devem variar aleatoriamente e ordenadamente.
Paradoxo? Não. Em uma escala micro, em curto
prazo, os preços se comportam desordenados;
mas em numa escala macro, em longo prazo, há
certas tendências ordenadas como quando, por
exemplo, há um longo período de recessão.
Quando um estatístico estuda certos dados, tais
como o preço de certa mercadoria, ele
utiliza uma ferramenta indispensável: um
gráfico em forma de sino que representa a
distribuição gaussiana ou normal dos dados. Esta
curva mostra, neste caso, os preços de certo
produto em um certo período de tempo. Desta forma
a maioria dos valores discretos de preços se
situa na parte central desta curva, ou seja, a média. Porém, nos lados desta parte central, a curva
cai muito rapidamente.
Existiria um padrão nestes preços? O economista
Hendrik Houtahkker
aplicou esta forma de sino para estudo de
oito anos de preço de algodão, constatando que a
curva não se ajustava à distribuição normal
perfeitamente. De forma estranha, a curva se
alongava ao invés de cair rapidamente.
Algum tempo depois, Benoit Mandelbrot, um jovem
matemático, foi convidado para fazer uma palestra
no departamento de economia de Havard, do qual
Houtahkker era professor. Coincidentemente,
Mandelbrot tinha em mente uma figura bastante
parecida com o diagrama de preços de algodão que
Houtahkker tinha em sua sala. Mandelbrot concluiu
que os preços de algodão seriam um bom conjunto
de dados que ele poderia utilizar para prosseguir
seus estudos. Eles eram numerosos – havia dados
de mais de um século – e não continham
interrupções.
Mandelbrot
fazia parte da International Business Machines
Corporation (IBM) e usou os computadores da
empresa para processar os dados dos preços do
algodão. Como Houtahkker já havia notado, os números
mostravam aberração quanto à distribuição
normal. O que era impressionante é que havia
certa ordem oculta, havia simetria em pequenas e
grandes escalas. Isto significava que as seqüências
de variações independia da escala. Olhando as
variações diárias e comparando-as com as variações
mensais, notava-se que elas correspondiam-se
perfeitamente. Era isto o que Mandelbrot
procurava! um padrão onde , pensava-se, só
existiria aleatoriedade.
Tempos depois a IBM começou a enfrentar problemas em suas linhas
telefônicas que eram usadas para a transmissão
de dados. Vez ou outra havia certos ruídos que
causavam erro nos dados transmitidos. Quando
Mandelbrot começou a analisar o problema, soube
que os ruídos, apesar de aleatórios,
apresentavam características peculiares: em
certos períodos praticamente não havia ruídos,
enquanto que em outros, havia vários erros de
transmissão e mais: dentro de períodos de erro
havia períodos de transmissão perfeita. A previsão
dos ruídos era simplesmente impossível.
Haveria
alguma relação deste fenômeno com o
comportamento dos preços de algodão? Mandelbrot
acreditava que sim. A intuição geométrica era
uma de suas qualidades e logo associou a distribuição
de erros a uma construção matemática chamada
conjunto de Cantor, nome dado em
homenagem ao matemático russo George Cantor
(1845-1918). Tal construção é simples. Comece
com uma linha de certo tamanho; tire o terço médio;
tire o terço médio das duas linhas restantes;
repita o processo várias vezes. O que sobra são
finas linhas, chamadas poeira de Cantor (ver
figura abaixo).
Mandelbrot
concluiu que esta abstração matemática
representava exatamente o ruído nas transmissões.
Assim, a solução que a IBM poderia tomar era
nula, ou seja, a empresa deveria aceitar o fato de
que os erros são inevitáveis e usar estratégia
de redundância para descobrir e corrigir os
erros.
O
conceito da poeira de Cantor era totalmente
incomum na matemática sob o ângulo de dimensão.
Numa visão euclidiana, como sabemos, um cubo tem
dimensão 3 porque apresenta largura, comprimento
e altura; uma folha de papel possui dimensão 2
porque tem largura e comprimento; um fio
tem dimensão 1 por apenas ter comprimento e,
finalmente, um ponto tem dimensão 0 pois não
apresenta nenhuma das qualidades.
Mas
quando se pensa nas formas da natureza, como
contorno de uma folha, do litoral, de uma
montanha, de um fragmento de rocha, esta geometria
se mostra deficiente. Nas palavras de Mandelbrot:
“nuvens não são esferas, montanhas não são
cones”. Sobre estas idéias, Mandelbrot escreveu
um artigo denominado “Que extensão tem o
litoral da Grã-Bretanha?”, onde analisa o
processo de mensurar uma forma irregular como o
litoral. Para descrever as formas da natureza,
Mandelbrot foi além destas dimensões inteiras 0,
1, 2, 3, chegando a dimensões fracionárias.
Faltava
um nome para as formas que Mandelbrot pesquisava.
Certo dia, ao folhear um
dicionário de latim que seu filho
terminara de trazer da escola, a palavra foi
encontrada: o adjetivo fractus, do verbo frangere,
quebrar, fraturar. Daí surgiu a palavra que
viria, a partir dali, revolucionar a maneira como
são estudadas várias propriedades de diversos
campos científicos: fractal.
Difícil
conceber objetos de dimensão 2,73, não é mesmo?
Realmente. Mas aqui você pode pensar em dimensões
não inteiras como grau de aspereza ou grau de
fragmentação. Voltando ao estudo do litoral,
Mandelbrot viu que o grau de irregularidade
permanecia constante, qualquer que fosse a escala
utilizada. Isto significa que, seja de perto ou de
longe os padrões de forma são os mesmos (da
mesma forma que os preços do algodão). A
irregularidade é, paradoxalmente, regular.
Esta
é uma das principais características dos
fractais: a auto-semelhança. Você vê isto
sempre que corta um pedaço de couve-flor e vê
que este pedaço é semelhante à verdura inteira.
Um “pedaço” da poeira de Cantor é semelhante
ao conjunto inteiro. Veja outros fractais e note a
auto-semelhança.
Note
que o retângulo branco significa a ampliação
apresentada na imagem posterior.
Um
fractal mais "simples":
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