Este alemán a los 28 años era doctor en Topología y había aportado al calculo varias formas para integracion más sencilla, además de gran conocimiento y tesis sobre geometria.
Una de ellas, titulada "Sobre las hipótesis en las que se funda la geometria".
Su labor expone una geometria no euclidiana más profunda que el problema del número de paralelas que reslovió Lobachesky con su geometría hiperbolica. Pese a que la posibilidad de trazar sobre una esfera ya parecía más conocida para los antecedentes la métrica en éste espacio de Reimann está dada por:
ds 2= g11dx 2+g12dxdy+g13dxdz
+g21dydx+g22dy 2+g23dydz
+g31dzdx+g23dzdy+g33d 2
donde la geometria euclidiana aparece si gii=1 y gij=0. para toda i diferente de j
En ésta geometría que es una esfera topológica de una sola cara como "banda de Möebius"; no existen paralelas.
Fig1. Esfera
Se habilitationsschrift publicada hasta 1867, sentó el precedente necesario para que la teoría de la Relatividad (ambas versiones) tuvieran fundamento.
Las críticas fueron menores, el paradigma mayor había sido cambiando al enfrentarse a la teoría de Lobachevsky, por lo que incluso se estaba preparado el rumbo para recibir la respuesta a la hipótesis del ángulo obtuso.
Su geometría tuvo bastante camino recorrido sobre los trabajos de E. Beltrami (mencionado en la página anterior). Gracias a su descubrimento se unificó la geometría y se logró aplicar para lo "pequeño", en tanto que la geometría Analítica quedó como había sido para lo "grande", en tanto que el "inmenso" se explicó bastante creíblemente con la teoría conjunta.