Retomando el cuadrilatero de Saccheri, se ve que las 3 geometrías son diferentes respuestas a un fenomeno más o menos igual.

En realidad, con un poco más de análisis se identifica claramente una división entre lo que se denomina Geometría Universal y Geometría Particulares, la primera abarca del I-IV postulados de Euclídes, los axiomas y toda la geometría con teoremas derivados de ellos.

Es decir, excluyendo la parte relacionada con el V postulado y definiendo adecuadamente conceptos básicos como "línea","curva", "ángulo","punto", etc .en cada geometría.

Por todo lo anterior, las diferentes geometrías: Euclidianas y No Euclidianas son casos "particulares" de las opciones válidas para agregar en el espacio vacante del V postulado y por ende, de todas las implicaciones según la afirmación añadida.

Y es posible analizarlas bajo varias características:

Cuando uno quiere localizar la línea mínima para unir dos puntos en cierto espacio, plantea lo que se denomina métrica del mismo.(Recordemos la ecuación de Reimann donde todas las métricas eran casos particulares de las constantes g's acordes a cada caso.) La línea que indica la trayectoria entre los dos puntos, se llama geodésica.

En la siguiente imagen se puede apreciar que las geodésicas son distintas según cada espacio (geometría). A su vez, las geodésicas se relacionan directamente con el "pandeo" o curvatura de cada superficie, donde la esfera tiene una curvatura postiva, el plano euclidiano tiene curvatura cero y la pseudoesfera tiene curvatura negativa.

Fig 1. Esfera, Plano, Pseudoesfera.

A fin de cuentas, las tres geometrías coexisten en un espacio reimanniano, donde se entienden como subconjuntos las otras dos de la primera, topológicamente hablando. Así, la geometría elíptica (sin puntos al infinito y sin rectas paralelas) contiene a la geometría hiperbólica (con dos puntos de fuga, más de una paralela) y al caso límite cuando la porción es muy pequeña, la geometría parabólica (con un punto al infinito, sólo una paralela). Y también se reafirma la existencia de las 3 superficies al no existir tranformaciones para convertir cualquiera de ellas en otra distinta.

Fig 2. Elipse, hipérbola, parábola.

Según las hipótesis de la Teoría de la Relatividad nuestro espacio curvo presenta todas las geometrías y debemos creerlo aunque no lo podemos experimentar tan vívidamente como la Geometría Analítica (Parabólica), pues dado que nuestro tamaño es 'pequeño' en comparación con el del Universo, nosotros vivimos un caso especial (límite) de dicha Geometría Total.

Al trascurrir el tiempo y haber sido aceptadas por el gremio científico (en mayoría), las Teorías Geométricas se aceleró la introducción de sus aplicaciones en la ciencia, convirtiéndose en Tecnología innovadora.

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