Cuando se empieza a topar con tantas dificultades para demostrar el V postulado. Decidieron atacarlo desde otro ángulo: reductio ad absurdum (demostración al absurdo o por contradicción).
En esta vertiente de posibilidades; un jesuita italiano, Saccheri ideó un cuadrilátero , que se conoce bajo el mismo nombre, tal que tenía 2 ángulos rectos y cuyo lado paralelo tenía 2 ángulos desconocidos A y B.
Fig 1 .Cuadrilátero de Saccheri
Él logró demostrar que A y B serían iguales sin usar el teorema de las paralelas.
Entonces se presentaban 3 posibilidades acerca de los ángulos:
-Hipótesis del ángulo recto.- rectángulo Geometría Euclidiana parabólica
-Hipótesis del ángulo águdo.- hiperbólica
-Hipótesis del ángulo obtuso.- esférica
Dada su fe profunda en que la geometría euclidiana era perfecta y la única posible, argumentó la "imposibilidad" de construir los otros 2 cuadriláteros bajo supuestos que no dependiesen del teorema de las paralelas.
Estuvo a punto de descubrir las geometrias no euclidianas, pero el miedo y la aprensión hicieron que se le escapara de las manos.
Un poco después, D'Lambert hizo un cuadrilátero similar, pero con 3 ángulos rectos, sólo uno diferente pero con las mismas 3 opciones, donde notó que el ángulo obtuso se relacionaba con el dibujo de un triángulo en la esfera, que excede los 180°. Y que la otra opción (agudo) sólo sería posible con una esfera imaginaria. Eugenio Beltrami, revisando sus apuntes, concibió una superficie donde se podrían verificar sin que fuese precisamente una esfera imaginaria, que es una pseudoesfera, producto de rotar sobre su eje imaginario una tractrix (trayectoria de una bicicleta al girar un ángulo de 90°), a la que le asignó el nombre de pseudoesfera.
Fig 2. Tractrix y Pseudoesfera
Existieron algunos matemáticos más que se abocaron al mismo fin, como Taurirnus, Farkas Bolyai, Gauss y Euler.
Sin embargo, muchos prejucios, temores e ideas conservadoras, retrasaron el descubrimiento.
En tanto, en Kazán, un ruso de origen humilde estudió en la Universidad local con resultados notables. A los 22 años ya era catedrático de su alma mater. Este joven de nombre Lobachevsky, quien había estado en contacto con textos de Saccheri, Lambert y Taurinus se interesó por sus hipótesis desechadas.
En 1824, en una gaceta interna, "Mensajero de Kazán", publicó sus investigaciones sobre geometría. Con este gran suceso, nació la "Geometría Imaginaria" como su descubridor la llamó. También conocida como Geometría de Lobachevsky o Geometría Hiperbólica.
Sus trabajos sufrieron desafortunadas e injustas críticas de otras matemáticos. Se cree que entre ellos estuvo su compatriota Ostrogradsky quien fue autor anónimo de un texto publicado en un periódico local donde se demeritaba la ópera prima del Geómetra; argumentando que estaba loco y destacando el hecho de que bajo sus reglas existían integrales cuyos resultados diferían de los obtenido con la forma anterior y que no era posible creer en una geometría que necesitaba de una constante (aún) desconocida que relacionaba magnitudes con ángulos.
Poco después en 1829, se editó una versión donde la constante ya estaba determinada y se corrigieron algunos detalles en forma y fondo. Esta segunda versión completa fue traducida y llevada a otros países europeos. Al tiempo, Janós Bolyai, hijo de Farkas heredó de su padre la ambición por demostrar el teorema y después de un tiempo, en 1832, publicó como Apéndice de un libro de su padre (Tentamen) su versión de la Geometría Absoluta del Espacio, de este texto envióse una copia a Gauss quien felicitó someramente al autor, diciendo que él había pensado muchos años en lo mismo pero nunca lo había escrito. Tal respuesta y el descubrir el libro de Lobachevsky sobre el tema, lo decepcionó al grado de que prefirió retirarse de las investigaciones en ese campo.