EXPLORANDO LA TEORÍA DEL CAOS

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

El diagrama de bifurcaciones del número pasado exhibe propiedades extraordinarias. Primero: es un fractal. Si tomamos una sección apropiada del mismo y le hacemos un aumento, podemos encontrar un diagrama de bifurcaciones igual, dentro del mayor. Y dentro de este podemos encontrar otro... y así sucesivamente. Lo podemos ver en las siguientes imágenes. El cuadro dentro de cada imagen indica la sección que se verá con aumento. No están a la misma escala los ejes x y y, por lo que las imágenes difieren un poco en su forma, debido al alargamiento de un lado respecto a otro durante el aumento de la imagen.

Esta es la característica típica de los fractales. M. Feigenbaum, de quien se da la biografía en este número, encontró que este diagrama de bifurcaciones del mapa cuadrático aparece en muchas otras familias de mapas, como el de .

Mas aún, encontró unas constantes que indican la rapidez con que se van generando las duplicaciones de periodo sucesivas. Recordemos que la primera duplicación de periodo (de periodo 1 a periodo 2) aparece cuando a=3, las siguientes ocurren a ≈ 3.449, a ≈ 3.544, a ≈ 3.564 (a periodo 4, 8 y 16 respectivamente). Cada vez son más próximas. ¿Podemos predecir con qué valor de a ocurrirá la siguiente? Entre la primera y la segunda hay una distancia (aproximada) de 0.499; entre la segunda y la tercera, de 0.095; entre la tercera y la cuarta, de 0.020. No es la misma distancia. La primera distancia es 5.25 veces la segunda distancia (0.499/0.095); la segunda distancia, sin embargo, es 4.75 la tercera distancia (0.095/0.020). Esta proporción entre distancias no es igual pero es semejante. Feigenbaum calculó las siguientes proporciones entre distancias (la tercera distancia respecto a la cuarta; la cuarta respecto a la quinta), y encontró: 4.71, 4.69 ... cada vez más cercanos a un número que determinó Feigenbaum = 4.6692016... ¡y este mismo número aparece en las bifurcaciones de entre otros muchos mapas!

A este comportamiento se le llama universalidad.

BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.

2.Ott. E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. 1993

3.Tufillaro, N. B.; Abott, T.; Reilly, J. An Experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1992

4.Feigenbaum, M. J. Universality Behavior in Nonlinear Systems. Los Alamos Science 1 4-27. 1980