EXPLORANDO LOS FRACTALES

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

El tema 3, conjuntos de Cantor, se vio ya en el tema de la dimensión fractal, por lo que ahora continuamos con el tema 4.

4. Fractales probabilísticos

Hemos visto un tipo de construcción iterativa de fractales, algo difícil de efectuar inclusive con una computadora, donde sería bastante lento (por ejemplo, el triángulo de Koch). Existe otro método, a veces llamado el “ping-pong fractal” que es un enfoque probabilístico.

Supóngase que se tiene un punto inicial en el eje x en cualquier lugar del segmento que va de 0 a 1. Se lanza una moneda. Si cae águila, se dibujará otro punto hacia 2/3 de la distancia del punto inicial al 0; si cae sello, se dibujará, por el contrario, el nuevo punto hacia 2/3 de la distancia del punto inicial al 1. Repítase este experimento de nueva cuenta con el punto recién dibujado. Y así sucesivamente, muchas veces más.

Poco a poco, nos iremos encontrando con un viejo conocido: el conjunto de Cantor.
 

Veamos el ejemplo. Supongamos que comenzamos con el punto 0.80
Al lanzar la moneda y obtener águila, dibujamos otro punto a 2/3 de la distancia de 0.80 al 0 (o sea la distancia 0.80 – 0 = 0.80), es decir a 0.80 – 0.80 X 2/3 = 0.27.

En la siguiente iteración, salió sello, por lo que el nuevo punto estará a 2/3 de la distancia del punto anterior al 1, es decir 0.27 + 2/3 X (1 – 0.27) = 0.76.

Así, podemos ver las siguientes dos iteraciones:

Después de muchas iteraciones vamos viendo el patrón. Aquí se muestra con 150 pasos:

A continuación lo vemos después de 1000 pasos (disminuimos el tamaño de los puntos y eliminamos el segmento de recta del eje.


¿Por qué sucede esto? Lo veremos en el próximo número.

BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.

2.Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. 1983