EXPLORANDO LA TEORÍA DEL CAOS

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

En La familia de los mapas logísticos, f(x) = ax(1 – x), exhibe un comportamiento muy rico, del que ya vimos un ejemplo en el primer número.

Si utilizamos las conclusiones del número anterior sobre esta familia de mapas, podemos atisbar un poco en el interior de la dinámica. Examinaremos ahora solamente los valores de a desde 0 hasta 4 (que es donde no hay “escapes al infinito” de la órbita si el valor inicial de x se conserva entre 0 y 1).
Los puntos fijos del mapa logístico son:

La derivada de este mapa es f’(x) = a (1 – 2x). Podemos observar que x = 0 es estable si a<1, porque la derivada f’(0) = a < 1. Cuando a = 1 (donde no podemos sacar conclusiones usando la derivada) ocurre un cambio cualitativo, porque teniendo a>1 sucede que f’(0)>1 y entonces x = 0 es inestable. Este punto fijo pasó de la estabilidad a la inestabilidad bruscamente, de sumidero a fuente. A este tipo de cambios se le llama bifurcación. En cuanto al punto x = 0, ya no ocurre ningún cambio cualitativo más cuando aumenta el valor de a.

Para ver lo que pasa con el otro punto, x₁ , debemos sustituirlo en f’(x). Lo cual nos da f’(x₁) = 2 – a. Esto significa que si a<1, entonces f’(x₁)>1 (y por lo tanto |f’(x₁)|>1), lo cual quiere decir que mientras x₀ es un sumidero, x₁ es una fuente. Pero cuando 1<a<3, entonces |f’(x₁)|<1, lo que implica que x₁ es un sumidero (y ya sabíamos que x₀ era una fuente en este rango de a).

Sin embargo, cuando a>3 (cuando a=3, |f’(x₁)|=1 y no podemos obtener de aquí ninguna conclusión), x₁ se comporta como una fuente. Ocurrió una bifurcación en a=3). ¿Qué pasa con la dinámica de f(x) cuando a>3 y sus únicos puntos fijos (x₀ y x₁) son fuentes o repulsares? Aparece un periodo 2 estable. Este periodo 2 permanece estable hasta que a ≈ 3.449, donde ocurre otra bifurcación y se vuelve un repulsor. Pero a su vez aparece un periodo 4 atractor, que a su vez pierde estabilidad cuando a ≈ 3.544. Este a su vez se bifurca en a ≈ 3.564… y así sucesivamente, cada vez más próximos, con órbitas periódicas estables cada vez mayores, hasta que se llega a un punto de acumulación (a ≈ 3.570) donde existe una órbita no periódica. Y si a continúa creciendo, ocurren cosas aún más extrañas: de pronto reaparecen las órbitas periódicas (algunas de ellas, nuevas, como la 3 que es impar) que se bifurcan generando órbitas estables duplicadas como la descrita arriba, hasta que nuevamente se llega a una órbita no periódica.

La siguiente gráfica se elaboró iterando cientos de veces un valor inicial cualquiera de x en cada a. Las líneas delgadas representan puntos fijos u órbitas periódicas, las áreas oscuras, órbitas no periódicas.

Este tipo de gráfica es conocido como diagrama de bifurcaciones y nos representa en imagen lo que se dijo en los párrafos anteriores.

BIBLIOGRAFÍA

1.Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.
2.Ott. E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. 1993
3.Tufillaro, N. B.; Abott, T.; Reilly, J. An Experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1992