EXPLORANDO LOS FRACTALES

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

Así como la física clásica y, en general, las demás ciencias se apoyan en la geometría euclidiana (rectas, circunferencias, p, esferas, planos, etc.) para su manejo matemático, la Teoría del Caos, además, se apoya en una nueva geometría: los fractales. Este es el lenguaje del caos.

Este artículo inicia una serie que se constituye en un curso de la geometría de los fractales. Son requisitos el conocimiento moderado de geometría euclidiana y álgebra. Es deseable el acceso a una computadora.

El curso se desarrolla a través de los siguientes temas:

1. Introducción
2. Dimensión fractal
3. Conjuntos de Cantor
4. Construcción probabilística de fractales
5. Construcción determinística de fractales
6. Conjuntos de Julia, Mandelbrot y otros fractales
7. Dimensión correlación


1. Introducción

Esta nueva geometría fue estructurada por Benoit B. Mandelbrot en el último cuarto del siglo XX. Al inicio de su libro, The Fractal Geometry of Nature, nos dice estas palabras:

¿Por qué a la geometría se le describe a menudo como “fría” y “árida”? Una razón es su incapacidad de describir la forma de una nube, una montaña, una línea costera o un árbol. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las líneas costeras no son círculos, la corteza de un árbol no es suave ni el rayo viaja en línea recta.
 

La geometría “árida” de la que hablaba Mandelbrot es la Geometría Euclidiana, aquella que nos enseñan en la primaria y secundaria: rectas, circuferencias, triángulos, polígonos, poliedros, etc. Si pretendemos hacer un dibujo de un paisaje utilizando las figuras euclidianas, el resultado se vería demasiado artificial, a menos que fuese un número muy grande de polígonos pequeños. Pero aún en este caso, si mirásemos el paisaje con una lente de aumento, perdería su naturalidad, ¿por qué?, porque la naturaleza mirada a diferentes escalas presenta igual cantidad de detalles.

Si vemos una fotografía de la Tierra tomada desde un satélite, podremos países enteros. Si ampliamos esa fotografía, veremos lagos, ríos y más detalles. Si continuamos al ampliación, podríamos llegar a ver ciudades, cordilleras, etc. Más aumentos, nos revelarán más detalles, siempre más detalles...

En cambio, si tenemos un círculo y le hacemos un aumento, ¿qué tenemos?... acabamos perdiendo detalles, y nos quedamos con algo que parece una recta.
 

Un fractal es capaz de emular a la naturaleza en la presencia de detalles en múltiples escalas, como vemos en la siguiente figura:
 

Lo que se ve en cada recuadro es un aumento de una sección del recuadro que le precede.

 Esto que vemos es conocido como el conjunto de Mandelbrot, un fractal típico, con gran riqueza de detalles, como puede verse.

En el siguiente artículo veremos la definición de fractal a partir de su característica más conocida y que puede resultar más desconcertante para el lector no familiarizado: la dimensión fractal.

Existen figuras sin dimensión, como un punto, unidimensionales como una línea recta; de dos dimensiones como un círculo; de tres dimensiones como un cubo o una esfera. ¿Es posible encontrar figuras que tengan dimensiones fraccionarias, como 1.3?

BIBLIOGRAFÍA
1. Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.
2. Mandelbrot, B. B. The Fractal Geometry of Nature. Freeman. 1983