EXPLORANDO LA TEORÍA DEL CAOS

Juvencio Alberto Betancourt Mar.

Este es el primero de una serie de artículos que pretenden ser un curso breve de la Teoría del Caos. Como sus fundamentos son matemáticos, es necesario cierto conocimiento de álgebra y un poco de cálculo para el nivel en que manejaremos este curso. Se precisa una calculadora y es deseable tener acceso a una computadora.

El curso se desarrollará a través de los siguientes temas:

1. Introducción
2. Mapas unidimensionales
3. Mapas bidimensionales
4. Caos en mapas
5. Atractores extraños
6. Ecuaciones diferenciales
7. Caos en ecuaciones diferenciales
8. Bifurcaciones
9. Cascadas
10. Técnicas de análisis de datos


1. Introducción

La Teoría del Caos se ubica dentro de lo que conocemos en matemáticas como Sistemas Dinámicos, que se aplican como modelos para los fenómenos de cambios, como un péndulo, una reacción química, el crecimiento de una población, o incluso una guerra.

En matemáticas, un sistema dinámico es el conjunto de los posibles estados junto con una regla que determina el estado presente a partir de los estados pasados. Por ejemplo, supóngase una población de bacterias en un medio muy pequeño, que alberga como máximo 200 bacterias (y como mínimo, cero, lógicamente). Cada 30 minutos, esas bacterias se duplican, hasta alcanzar su tope máximo. La función matemática es:

Entonces, aquí el sistema dinámico está constituido por los números posibles de bacterias en cualquier momento, o sea todo entero entre 0 y 200 (conjunto de posibles estados), ese número, mientras no sea 200 o mayor, se duplicará cada 30 minutos (esta es la regla que determina el estado presente a partir de los estados pasados).

Una analogía útil sería una máquina de lavado de automóviles, junto con unos de ellos que son lavados una o varias veces. Los autos que pueden entrar o salir de la máquina sería el conjunto de posibles estados, mientras que la regla es la propia máquina de lavado.

Un sistema dinámico es determinístico, es decir, el estado presente queda determinado de manera única por los estados pasados. Siguiendo ejemplo anterior, si hay 6 bacterias en este momento, es porque 30 minutos antes hubo 3. Si hubiesen sido 4 en el pasado, en el presente no serían 6, sino 8.

Si no se sigue una regla determinística, no se tiene un sistema dinámico sino un proceso estocástico o aleatorio. Ahora hay 6 bacterias, en el pasado pudieron ser 4, 10 ó 1.

Los sistemas dinámicos se clasifican en dos tipos según si el tiempo es una variable discreta o continua en ellos. Por variable discreta se entiende que sólo toma ciertos valores enteros; por variable continua se entiende que puede tomar cualquier valor real. Por ejemplo, el crecimiento de las bacterias que se usó de ejemplo es un sistema dinámico de tiempo discreto, porque la regla nos da el estado presente a partir del estado pasado 30 minutos atrás: de 30 en 30 minutos; no nos dice cuántas bacterias hay a los 15 minutos.

Un sistema dinámico de tiempo continuo podría ser una función que nos represente la caída de una piedra; podemos escoger cualquier tiempo que deseemos y nos dará la correspondiente altura a la que se encuentra la piedra.

En este momento nos ocuparemos de los sistemas dinámicos de tiempo continuo. Estos pueden expresarse con las funciones llamadas mapas. Un mapa es una función cuyos dominio y rango son los mismos. Esto es, como en el crecimiento bacteriano anterior. Si se inicia con 10 bacterias, en 30 minutos se tendrán 20, en otros 30, serán 40, y así sucesivamente, 80, 160...

Un mapa es una función iterativa. Veamos el ejemplo más claramente. Sea f(x) = 2x la función que expresa el mapa. Sea x₀ = 3 el primer valor. El segundo valor será x₁, o sea f(x₀), es decir 2 x 3 = 6. Más adelante, si quiero obtener el siguiente valor en el tiempo, x₂, aplico la función sobre x₁, o sea 2 x 6 = 12. Y así, puedo obtener una tabla:

xi valor x0 3 x1 6 x2 12 x3 24 x4 48 x5 96

Otra simbología diferente para las x_i es utilizar la f(x); en lugar de x1, sea f(x₀); en vez de x₂, f²(x₀), y así sucesivamente, x_n es sustituido por fⁿ(x₀).

Si el mapa se aplica indefinidamente y no se tiene restricciones en cuanto al mayor número posible, entonces encontramos que la población bacteriana, en este caso, crece sin límite.

En la Teoría del Caos encontramos mapas más interesantes. Entre ellos está el famoso mapa logístico, expresado de este modo:

f(x) = ax(1– x)
 

El mapa logístico se ha empleado como un modelo simple de crecimiento poblacional, más realista que el modelo bacteriano que empleamos arriba. Una novedad aquí es el parámetro a, que toma el lugar del 2 en el mapa anterior. El 0parámetro puede variar, pero si varía, en realidad no se está hablando estrictamente del mismo mapa. Así que, en realidad, lo que llamamos mapa logístico es una familia de mapas, que se diferencian únicamente por el valor que toma el parámetro a. La otra novedad es el factor 1– x, que significa que la población (representada por x), cuando es grande, inhibe el crecimiento mismo.

Este mapa está normalizado, lo que quiere decir que x representa población pero no en unidades individuales, sino en fracción de la capacidad poblacional permitida por el medio. Por ejemplo, si en un estanque sólo hay capacidad para 15,000 peces, pero la población existente en un determinado momento es de 3000 peces, se representará ésta como x = 0.2. Este tipo de representación simplifica el formato del mapa logístico. Nótese que sólo podemos tomar valores entre 0 y 1 para la x.

Es hora de usar la calculadora. Sea a = 2 el parámetro. Supongamos que estamos en el caso de los peces del estanque y que son 3000 peces, por lo que x0 = 0.2, ¿qué pasará después de varias temporadas si la población sigue este mapa logístico?

f(x) = 2x(1– x)

n fn(x) 0 0.2 1 0.32 2 0.4352 3 0.49160192 4 0.49985894 5 0.49999996 6 0.5 7 0.5

Puede verse tanto en la tabla como en su gráfica correspondiente que la población se estabiliza en 0.5 (o sea 7500 peces) y ya no cambia temporada tras temporada. Pruébese con otra población inicial.. ¡y el resultado después de varias iteraciones (temporadas) es el mismo! Casi cualquier población inicial conducirá a la misma población final al cabo de un tiempo.

Si se cambia el parámetro, por ejemplo a = 2.5, la población final resulta ser x = 0.6, y se necesitan más iteraciones para alcanzarla. A medida que hacemos crecer el parámetro, es más lenta la convergencia (que alcance un valor determinado). Cuando el parámetro es a = 2.95, puede verse en la siguiente gráfica la lentitud de la convergencia.

Aunque la gráfica no lo muestra, con 150 iteraciones, en la calculadora, todavía no se llega a un valor final.

Al llegar a 3, la lentitud es mucho mayor.

Cuando el parámetro a sobre-pasa el valor de 3, digamos que sea 3.2, observamos un comportamiento diferente.

f(x) = 3.2x(1– x)
 

n fn(x) 0 0.2 1 0.512 2 0.7995392 3 0.51288406 4 0.7994688 5 0.51301899 6 0.79945762 7 0.51304043 8 0.79945583 9 0.51304386 10 0.79945554 11 0.51304441 12 0.7994555 13 0.51304449 14 0.79945549 15 0.51304451 16 0.79945549 17 0.51304451

Hay una oscilación entre dos valores diferentes en las iteraciones. En una temporada, la población será alta y en la siguiente, baja. A esto se le llama periodo 2

Al incrementar el parámetro a un poco más, a 3.5, el comportamiento vuelve a cambiar, como se muestra en la siguiente gráfica.
 

La población oscila entre cuatro valores diferentes (periodo 4).

Este comportamiento del mapa a medida que cambia el parámetro se llama bifurcación.

¿Hasta donde pueden llegar las bifurcaciones?; pruébese el valor 3.55 ó 3.56 del parámetro en la calculadora... En efecto, vemos un periodo 8.

Un poco más adelante se encuentra el periodo 16 (por ejemplo, con 3.566). Y así, vemos que la bifurcación va ocurriendo con incrementos cada vez más pequeños del parámetro. Lógicamente, pronto llegamos a un periodo infinito, alrededor de 3.57. Aquí ya no encontramos que se repita ningún número en la calculadora.

Para comprender mejor qué estudiamos en este curso, vamos a saltarnos los valores entre 3.57 y 4 (donde ocurren cosas muy interesante, pero que veremos después).

Sea a = 4. Escójase cualquier número inicial (entre 0 y 1, por supuesto), y aplíquese el mapa con la calculadora. ¿Se repite algún número o secuencia? No, desde luego. Pero hay algo más extraño aún.

Supongamos que el cuidador del estanque tiene que contar los peces para usar el mapa logístico para predecir cuántos peces habrá 14 temporadas más adelante.

La cuenta le sale en 3000 (x0 = 0.2), pero en realidad son 3001 peces (x0 = 0.20006667). Si somos realistas, exageramos en la exactitud del cuidador; equivocarse sólo por un pez en ese estanque está más allá de lo práctico.

¿Qué pasa si comparamos el cálculo hecho por el cuidador con el resultado exacto del modelo con 3000 peces (o sea x = 0.2)?

En la temporada 14, la cuenta del cuidador le arroja x = 0.00098 (unos 15 peces), mientras que el cálculo con el número exacto de peces nos da x = 0.96997 (14550 peces).

¡Los resultados son diametralmente opuestos a pesar de que los datos iniciales sólo difieren en 0.0006667 (un 0.3 % ó un solo pez de 3000)! ¿Qué esperanzas le quedan al cuidador de hacer una predicción confiable a largo plazo?

Obsérvese que al principio, los valores son semejantes, pero rápidamente comienzan a separarse; en la séptima iteración ya es de un 6 %. Como vemos en la iteración 14 son muy diferentes. Las órbitas ya no parecen guardar relación una con la otra.

Este fenómeno se llama sensibilidad a las condiciones iniciales. Y cuando se presenta aunado a la ausencia de periodicidad (como en este caso, donde no ser repiten valores o secuencias de valores), nos encontramos ante lo que se llama técnicamente como CAOS.

En el siguiente artículo estudiaremos los mapas y sus características más detalladamente.


BIBLIOGRAFÍA
1. Alligood, K. T.; . Sauer, T. D.; Yorke, J. A.. CHAOS, An Introduction to Dynamical Systems; Springer, 1996.
2. Ott. E. Chaos in Dynamical Systems. Cambridge University Press. 1993
3. Tufillaro, N. B.; Abott, T.; Reilly, J. An Experimental Approach to Nonlinear Dynamics and Chaos. Addison-Wesley. 1992