Historia de la matemática
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de la Matemática
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El
intento inicial de Lobatchewski era probar que el quinto axioma era
indispensable para no caer en una geometría que llegase a ser
contradictoria consigo misma, para lo cual se propuso partir de un quinto
axioma modificado, que negase al quinto axioma euclidiano, construir a
partir de ese nuevo quinto axioma (y de los primeros cuatro, que no
modificó) una nueva geometría y demostrar que esa nueva geometría caía
en contradicciones consigo misma. Como el quinto axioma de Euclides (en
una de sus versiones) decía que por un punto exterior de una recta puedo
trazar una y sólo una paralela a la misma, Lobatchewski comenzó a
trabajar a partir de un axioma que lo negaba al decir que por un punto
exterior a una recta puedo trazar infinitas paralelas a la misma. Pero en
lugar de llegar a una geometría contradictoria consigo misma llegó a
otra geometría que no tenía contradicciones internas. Veinticinco años más tarde otro matemático, Riemann, intentó seguir un camino similar, a partir de negar de una manera diferente el quinto axioma. Partió así de un quinto axioma que decía "por un punto exterior a una recta, no puedo trazar ninguna paralela a la misma". Y nuevamente, al igual que Lobatchewski, se encontró que la nueva geometría construida sobre esa base tampoco era contradictoria consigo misma. Ahora había tres geometrías (la euclidenana, la lobatchewskiana, y la riemanniana) que resultaban totalmente coherentes consigo mismas.
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