2.2.1. Allgemeine arithmetische Zahlenfolge und deren Partialsumme

DEFINITION 2.5.

Eine Zahlenfolge (a_n) heißt arithmetische Zahlenfolge 1. Ordnung genau dann, wenn es eine Zahl d gibt, so dass die Differenz von je zwei aufeinander folgenden Gliedern gleich d ist: a_n+1 - a_n = d für jedes n. Die Zahl d heißt Differenz der arithmetischen Folge.

Für die allgemeine Darstellung einer arithmetischen Folge 1. Ordnung (im weiteren nur arithmetische Folge genannt) lautet die rekursiven Definition also a_{n + 1} = a_n + d und die explizite Definition a_n = a₁ + (n - 1)d. Dabei bestimmt d die Art der Folge. D.h. falls d > 0, so handelt es sich um eine streng monoton wachsende Folge; falls d < 0, so handelt es sich um eine streng monoton fallende Folge. Für eine arithmetische Folge ist herausragend, dass jedes Glied das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarglieder ist. Das ist leicht mit Hilfe der expliziten Definition zu zeigen.

a1 + (n - 1)d =	2a1 + 2(n - 1)d
	2

a1 + (n - 1)d =	a1 + (n - 2)d + a1 + nd
	2

an =	an-1 + an+1
	2

Durch die Summenbildung nach Carl Friedrich GAUSS (1777 - 1855) erhält man für s_n = a_q die Summenformeln (1) und (2).
s_n = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_{n - 2} + a_{n - 1} + a_n

s_n�= a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + ... + (a₁ + (n - 3)d) + (a₁ + (n - 2)d) + (a₁ + (n - 1)d)
s_n = a_n + (a_n - d) + (a_n - 2d) + ... + (a_n - (n - 3)d) + (a_n - (n - 2)d) + (a_n + (n - 1)d)

2s_n = n(a₁ + a_n)

sn =	n(a1 + an)	(1)
	2

s_n = a₁ + (a₁ + d) + (a₁ + 2d) + ... + (a₁ + (n - 3)d) + (a₁ + (n - 2)d) + (a₁ + (n - 1)d
s_n = (a₁ + (n - 1)d) + (a₁ + (n - 2)d) + (a₁ + (n - 3)d) + ... + (a₁ + 2d) + (a₁ + d) + a₁

2s_n = (2a₁ + (n - 1)d)n

sn = n							(2)
			a1 +	(n - 1)d
				2

Dass diese beiden Gleichungen äquivalent zu einander sind, ist leicht zu zeigen.

n(a1 + an)	=			a1 + a1 + (n-1)d
2				2

Da die Gleichungen (1) und (2) äquivalent zu einander sind, wird an diese Stelle nur die Gleichung (1) mit Hilfe der vollständigen Induktion bewiesen. Behauptung: Für alle Zahlenfolgen mit der Rekursionsgleichung an + 1 = an + d gilt die Gleichung (1). Induktionsanfang: Die Gleichung (1) gilt für n = 1, denn aq = a1 und 1 · (a1 + a1) = a1 . 2 Induktionsvoraussetzung: Die Gleichung (1) gilt für n = k. Induktionsbehauptung: Die Gleichung (1) gilt für n = k + 1. Induktionsbeweis: aq = k(a1 + ak) 2 aq + ak+1 = k(a1 + ak) + ak+1 2 aq = k(a1 + ak) + ak+1 + ak + d 2 2 aq = k(a1 + ak) + (a1 + kd + ak + d) 2 aq = (k + 1)(a1 + ak + d) 2 aq = (k + 1)(a1 + ak + 1) 2 Wegen der Gültigkeit von Induktionsanfang und Induktionsschritt gilt die Gleichung (1) für alle arithmetischen Zahlenfolgen.

QED

Inhalt
Allgemeines
Partialsummen spezieller arithmetischer Zahlenfolgen 1. Ordnung