2. Partialsummen und Zahlenfolgen
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2.1. Allgemeines
Für ein gutes Verständnis dieses Teilgebietes der Arithmetik sind einige
Definitionen, Vereinbarungen und Begriffsklärungen notwendig. Als erstes wird vereinbart,
dass anders als in mancher Literatur die Menge N der natürlichen Zahlen die Null
nicht als Element enthält. Die Menge aller ganzen, nichtnegativen Zahlen wird mit
N0 bezeichnet. Die Formulierung "... genau dann, wenn ..." wird
gebraucht genau dann, wenn auch die Umkehrung der Definition bzw. des Satzes gilt.
- DEFINITION 2.1.
- Eine Menge von Zahlen, die in einer bestimmten, mit einer ersten Zahl
beginnenden Reihenfolge aufgeführt sind, so dass jede von ihnen eindeutig einer
natürlichen Zahl n = 1, 2, 3, ... in dieser Reihenfolge zugeordnet werden kann,
heißt Zahlenfolge. Die einzelnen Zahlen heißen Glieder der Zahlenfolge.
Die Angabe einer Zahlenfolge durch eine Funktion an = f(n) heißt
explizite/independente Definition der Zahlenfolge. Mit ihrer Hilfe kann man jedes Glied
unmittelbar berechnen. Die Angabe einer Zahlenfolge durch das Anfangsglied a1 und
eine Gleichung an+1 = g(an) zur Berechnung eines beliebigen Gliedes aus
dem vorangegangenen Glied heißt rekursive Definition der Zahlenfolge. Die Gleichung
an+1 = g(an) heißt Rekursionsgleichung, da man zur Berechnung von
an+1 zum Glied an "zurücklaufen" (lat. recurrere) muss.
- DEFINITION 2.2.
- Ist (aq) mit q ÎN eine Folge,
so heißt
aq eine Partialsumme der
Folge (aq).
- DEFINITION 2.3.
- Die Folge (sn) der Partialsummen sn einer Zahlenfolge (an)
heißt Reihe.
Ist die Folge (an) endlich, heißt der Wert der letzten
Partialsummen sn, die gleich die Gesamtsumme aller Glieder der (endlichen)
Folge (an) ist, als Reihensumme/Partialsumme.
- DEFINITION 2.4.
- Eine Zahlenfolge (an) ist monoton wachsend bzw. streng monoton wachsend genau
dann, wenn für alle n gilt an ≤ an+1 bzw.
an < an+1. Eine Zahlenfolge (an) ist monoton fallend bzw.
streng monoton fallend genau dann, wenn für alle n gilt
an ≥ an+1 bzw. an > an+1.
Eine Zahlenfolge (an) ist konstant genau dann, wenn für alle n gilt
an = an+1.
Inhalt
Einleitung
Allgemeine arithmetische
Zahlenfolge und deren Partialsumme