La torca sobre una espira de corriente[3]

Figura: Efecto de un campo magnético $\vec B$ sobre una espira de corriente. Las cruces indican que la dirección del campo es hacia adentro de la hoja. (a)Debido al paso de corriente, sobre cada lado de la espira se ejerce una fuerza $\vec F_i$. (b)La acción de $\vec F_1$ y $\vec F_3$ ocasiona que la espira gire sobre $x'$.

En la figura 1.2 se muestra una espira rectangular de alambre de longitud a y ancho b colocada sobre un campo magnético $\vec B$ de tal forma que los lados ($1$) y ($3$) siempre son perpendiculares a la dirección del campo. La normal $nn'$ al plano de la espira forma un ángulo $\theta$ con la dirección de $\vec B$ (fig. 1.2b). La corriente fluye en el sentido de las manecillas del reloj. La fuerza neta sobre la espira es la resultante de las fuerzas en cada uno de los 4 lados de la espira. Podemos definir un vector $\vec \ell$ sobre cada uno de los lados de la espira que apunte en la dirección de la corriente. Con la relación

$${\vec F} = i{\vec \ell} \times {\vec B}$$

podemos encontrar la dirección y la magnitud de cada una de las fuerzas que actúan sobre los lados de la espira. En el lado ($2$), $\vec \ell$ tiene magnitud b y el ángulo entre dicho vector y el campo magnético es de $90^o-\theta$. Como $\vec F$ es un producto cruz, la dirección de $\vec {F_2}$ es tal que sale de plano de la figura 1.2b. El lado ($4$) tiene la misma magnitud que el lado ($2$), pero la corriente va en sentido contrario por lo tanto $\vec F_4$ tiene la misma magnitud que $\vec F_2$, pero apunta en la dirección opuesta. Por lo tanto $\vec {F_2}$ y $\vec {F_4}$ no tienen efecto alguno en el movimiento de la espira y como dichos vectores se encuentran sobre la misma línea de acción, la torca total debida a estas fuerzas es cero. Para los lados ($1$) y ($3$), $\vec \ell$ tiene magnitud a y el ángulo que forma con $\vec B$ es 90$^o$, por lo que

$$F_1=F_3=iaB sen 90^o = iaB$$

$\vec F_1$ y $\vec F_3$ se encuentran en direcciones opuestas, de tal forma que no tienden a mover la espira como un todo. Sin embargo, si la espira está en la posición mostrada en la figura 1.2b, las fuerzas no se encuentran sobre la misma línea de acción por lo que existe una torca neta que tiende a girar la espira en dirección de las manecillas del reloj en torno a la línea $xx'$ La magnitud de la torca total $\vec \tau$ se calcula con el valor de la torca producida por $\vec F_1$ en torno al eje $xx'$ y duplicándola, ya que $\vec F_3$ ejerce la misma torca:

$$\vec \tau = \vec r \times \vec F$$

$$r={b \over 2} F = iaB$$

$$\tau = 2iaB\left( b \over 2 \right) sen 90^o$$

$$\tau = iabB$$

donde $ab$ es el área (A) de la espira, por lo que

$$\tau = iAB sen \theta$$ (1.8)

Una espira de corriente que se orienta en un campo magnético externo asemeja la acción de la aguja de una brújula en el mismo campo. Las brújulas, los imanes de barra y las espiras de corriente pueden considerarse como dipolos magnéticos. Para mostrarlo, se emplearán resultados encontrados para dipolos eléctricos. Una estructura recibe el nombre de dipolo eléctrico si a) Al colocarse en un campo eléctrico externo experimenta una torca cuyo valor está dado por la ecuación

$$\vec \tau = \vec p \times \vec E$$ (1.9)

$$\tau = pE sen \theta$$ (1.10)

donde $\vec p$ es el momento dipolar eléctrico; y b) Establece un campo eléctrico propio.

Estos dos requisitos no son independientes, si uno de ellos se cumple, el otro también. Comparando las ecuaciones 1.8 y 1.10 se observa que en las dos aparece un campo (magnético o eléctrico) así como también el término $sen \theta$. Esta comparación sugiere que $iA$ en la ec.1.8 puede considerarse como el momento dipolar magnético $\mu$ que corresponde a p en la ec.1.10, entonces la ec. 1.8 queda como

$$\tau = \mu B sen \theta$$ (1.11)

Esta última expresión indica que la torca sobre una espira de corriente puede escribirse en forma de producto vectorial, en analogía a la ecuación 1.9:

$$\vec \tau = \vec \mu \times \vec B$$ (1.12)

Cuando se coloca una espira de corriente (o cualquier otro dipolo magnético) dentro de un campo magnético siempre existe una torca. Por lo anterior, un agente externo debe realizar trabajo para cambiar la orientación de tal dipolo. Consecuentemente, un dipolo magnético tiene una energía potencial asociada con su orientación en un campo magnético externo. Se puede considerar que ésta energía es cero cuando $\vec \mu$ y $\vec B$ forman un ángulo recto. La forma de escoger la configuración de energía E=0 es arbitraria debido a que sólo interesan los cambios de energía que ocurren cuando el dipolo gira. La energía potencial magnética en una posición $\theta$ se define como el trabajo (producto $\tau \theta$) que debe realizar un agente externo para hacer girar al dipolo de su posición de energía cero ($\theta$ = 90$^o$) a una posición dada $\theta$. Por consecuencia

$$E= \int^\theta_{90} \tau d\theta = \int^\theta_{90} \mu B sen... ...= \mu B \int^\theta_{90} sen \theta d\theta = -\mu B cos \theta$$

Que en términos de vectores se escribe como:

$$E = -{\vec \mu} \cdot \vec B$$ (1.13)

Como se estableció anteriormente, el movimiento de una carga eléctrica (corriente) en una espira produce un momento magnético cuya magnitud es

$$\mu = iA$$ (1.14)

Considerando ahora una espira circular que se encuentra sobre el plano xy, entonces se puede escribir una expresión para la corriente eléctrica

$$i= {q \over t} = {qv \over 2 \pi r}$$ (1.15)

donde $v$ es la rapidez de la carga y $r$ es el radio de la espira. Sustituyendo ec.(1.14) en ec.(1.15) y como $A=\pi r^2$, se tiene que

$$\mu = {qv \over 2\pi r} \pi r^2 = {qvr \over 2}$$ (1.16)

Generalizando, cuando la espira de corriente no es circular, la ecuación del momento magnético es:

$$\vec \mu = {q \over 2} (\vec r \times \vec v)$$ (1.17)

Es posible expresar a $\vec \mu$ en términos del momento angular ($\vec L$) empleando el hecho de que dicho término se define por:

$$\vec L = \vec r \times \vec p ; \vec p = m \vec v$$

$$\vec L = \vec r \times m \vec v$$

$$\vec L = m(\vec r \times \vec v)$$ (1.18)

La relación entre el momento magnético y el momento angular es:

$$\vec \mu = {q \over 2} (\vec r \times m \vec v) = {q \over 2} {\vec L \over m}$$

$$\vec \mu = {q \over 2m} \vec L$$ (1.19)

Para un electrón $q= -e$ por lo que se puede reescribir a la ec. 1.19 de la siguiente forma:

$$\vec \mu = -{e \over 2m_e} \vec L$$ (1.20)

Como quedó establecido, la energía potencial de un dipolo es:

$$E= -\vec \mu \cdot \vec B$$ (1.21)

Considerando al campo magnético y al momento angular sobre el eje z, entonces la ecuación de la energía se convierte en:

$$E=- \mu _z B_z$$

Empleando la ec. 1.20 se tiene que:

$$E= {e B_z \over 2m_e} L_z$$ (1.22)

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