dise�os factoriales incompletos
Definici�n: Cuando crece m , el n�mero de factores, aparecen tantas combinaciones en los ensayos factoriales (y m�s a�n en los rotables), que es prudente reducir la labor experimental. En lugar de ejecutar el ensayo completo con un n�mero muy alto de tentativas, se recurre a los dise�os factoriales fraccionales o incompletos, donde, en lugar de analizar la totalidad de las posibilidades, se considera una fracci�n bien elegida. Con cinco factores a tres niveles se llegan a 243 combinaciones posibles y si la tarea se redujese a una fracci�n de un tercio, bastar�an 81 ensayos. Si fuese 1/9, tendr�amos 27. La ventaja de este enfoque es que reduciendo mucho el esfuerzo, no se pierde un panorama muy amplio y ambicioso de las relaciones entre causas y efectos en sistemas multivariables. El estudio de una fracci�n no le quita validez al an�lisis final.
El t�pico principal es el de saber elegir bien a la fracci�n de ensayo con la cual queremos experimentar. La base te�rica se apoya en la aritm�tica modular (ya considerado en el estudio de dise�os compuestos de caras centradas) y en la teor�a de los alias.
La secuencia 7,14,21,28,... pertenece a un conjunto denominado 0(mod 7) que se lee cero m�dulo siete. Obs�rvese que cualquiera de sus elementos, al ser dividido por 7, deja 0 como resto. La secuencia 1,8,15,22,29,... pertenece al conjunto de soluciones de 1 (mod 7), ya que al ser divididos por siete, queda 1 en el resto. El �nfasis de la aritm�tica modular est� en el resto.La secuencia 0+0+0, 1+1+0, 0+2+0, 4+1+5, pertenece al conjunto 0 (mod 2), ya que todas las sumas resultan pares. Llamemos en forma abstracta a los tres d�gitos x1,x2 y x3. Se nos pregunta cu�les son las combinaciones de la tabla izquierda que aparece al estudiar los ensayos factoriales que pertenecen al conjunto de x1 + x2 + x3 = 1(mod 3)
Respondemos que cumplen con esa restricci�n las siguientes nueve combinaciones: 001,010,022,100,112,121,202,211,220.
Observamos que ese conjunto ha quedado notablemente balanceado: hay tres casos con x1 valiendo cero, tres con x1 valiendo 1 y tres con x1 valiendo 2. Esto se repite para x2 y para x3. A�n m�s, el subconjunto de dos d�gitos x1x2 est� completo: 00.,01.,02.,10.,11.,12.,20.,21.,22.
- en dise�o de experimentos el punto reemplaza a lo que no tiene importancia en un dado an�lisis. As� x3 no tiene por qu� aparecer aqu�. Pero lo mismo pasa con x1x3 y con x2x3. Al conjunto de nueve tentativas estudiado lo podemos llamar validamente factorial incompleto balanceado. El factorial completo tiene 27, tres veces m�s. Su �nica ventaja es que tiene todas las 27 combinaciones de x1x2x3.
TEORIA DE LOS ALIAS
Este asombroso dise�o oculta una trampa. Hay que pagar un precio por reducir un ensayo de 27 combinaciones a 9. Es el siguiente:
Si queremos estudiar el efecto de x1 sobre la respuesta, lo mejor que podemos hacer es acumular toda la informaci�n referente a x1 = 0 (mod 3) y contrastarla con la acumulaci�n de toda la informaci�n referente a x1 = 2 (mod 3)
Respondemos que cumplen con esa restricci�n las siguientes nueve combinaciones: 001,010,022,100,112,121,202,211,220.
Observamos que ese conjunto ha quedado notablemente balanceado: hay tres casos con x1 valiendo cero, tres con x1 valiendo 1 y tres con x1 valiendo 2. Esto se repite para x2 y para x3. A�n m�s, el subconjunto de dos d�gitos x1x2 est� completo: 00.,01.,02.,10.,11.,12.,20.,21.,22.
- en dise�o de experimentos el punto reemplaza a lo que no tiene importancia en un dado an�lisis. As� x3 no tiene por qu� aparecer aqu�. Pero lo mismo pasa con x1x3 y con x2x3. Al conjunto de nueve tentativas estudiado lo podemos llamar validamente factorial incompleto balanceado. El factorial completo tiene 27, tres veces m�s. Su �nica ventaja es que tiene todas las 27 combinaciones de x1x2x3.
TEORIA DE LOS ALIAS
Este asombroso dise�o oculta una trampa. Hay que pagar un precio por reducir un ensayo de 27 combinaciones a 9. Es el siguiente:
Si queremos estudiar el efecto de x1 sobre la respuesta, lo mejor que podemos hacer es acumular toda la informaci�n referente a x1 = 0 (mod 3) y contrastarla con la acumulaci�n de toda la informaci�n referente a x1 = 2 (mod 3)
TEORIA DE LOS ALIAS
Este asombroso dise�o oculta una trampa. Hay que pagar un precio por reducir un ensayo de 27 combinaciones a 9. Es el siguiente:
Si queremos estudiar el efecto de x1 sobre la respuesta, lo mejor que podemos hacer es acumular toda la informaci�n referente a x1 = 0 (mod 3) y contrastarla con la acumulaci�n de toda la informaci�n referente a x1 = 2 (mod 3)
Si queremos estudiar el efecto de x1 sobre la respuesta, lo mejor que podemos hacer es acumular toda la informaci�n referente a x1 = 0 (mod 3) y contrastarla con la acumulaci�n de toda la informaci�n referente a x1 = 2 (mod 3)
La diferencia entre ambas informaciones nos dir� si x1 es importante.
Otra manera m�s larga de hacer la misma tarea es la de acumular asimismo, toda la informaci�n relacionada con x1 = 1 (mod 3) pero el an�lisis quedar� dominado por la diferencia antes mencionada, que, en el caso de aparecer, siempre ser� m�s significativa.[Si en vez de tres, los niveles fuesen dos, bastar�a reducir el an�lisis del efecto principal x1 al contraste entre los dos subconjuntos
x1 = 0 (mod 2) y x1=1(mod 2)]
Si queremos estudiar el efecto principal de x2 sobre la respuesta, podemos acumular estas tres informaciones:x2 = 0 (mod 3) x2 = 1 (mod 3) x2 = 2 (mod 3) x2 = 0 (mod 3) x2 = 1 (mod 3) x2 = 2 (mod 3)
y contrastarlos de a pares. Ha de dominar el contraste entre el primer subconjunto y el �ltimo.
Si queremos estudiar el efecto de la interacci�n x1x2 sobre la respuesta, podemos estudiar estas tres informaciones:x1+x2 = 0 (mod 3) x1+x2 = 1 (mod 3) x1+x2 = 2 (mod 3)
En el caso particular al cual nos estamos refiriendo de los nueve ensayos factoriales fraccionales, quedan, respectivamente, estos tres subconjuntos:- primer subconjunto... 010,100,220
- segundo subconjunto ...001,121,211
- tercer subconjunto...022,112,202
Pero ellos resultan ser exactamente los mismos subconjuntos que si estudiasemos el efecto principal x3, ya que - el primer subconjunto coincide con x3 = 0 (mod 3)
- el segundo coincide con x3 = 1 (mod 3) y
- el tercero con x3 = 2 (mod 3).
Entonces se justifican los alias (los "otros nombres" o seud�nimos) en los dise�os factoriales incompletos balanceados. Llamamos alias a los dos nombres que tienen esos tres subconjuntos. P.ej., el subconjunto se llama por un lado x1+x2 = 1 (mod 3) y por otro x3 = 0 (mod 3). Si lo llamamos de la primera manera, su alias es la segunda manera de nombrarlo - y viceversa.
Interesa descubrir alguna manera de saber de antemano cu�les ser�n los alias en un dise�o factorial fraccional. Para ello, multiplicar la relaci�n con la cual se gener� el ensayo fraccional (que denominamos de ahora en adelante relaci�n definitoria) - omitiendo los signos m�s - por el primer nombre del cual se busca el alias. Descartar los t�rminos cuadr�ticos. Lo que queda (devolviendo el signo m�s) es el alias.
Por ejemplo, reconocemos que en el ejemplo que venimos usando la relaci�n definitoria es x1+x2+x3. Aplicando la receta queda x1.x2.x3. Sea el primer nombre x3. Aplicando la receta, queda x1.x2.x3.x3. El t�rmino cuadr�tico es (x3)2 y se lo descarta. Queda x1.x2 O sea el alias buscado es x1+x2 (la interacci�n x1.x2). Dicha interacci�n tiene asimismo un alias, que es el efecto principal x3.
En resumen, el precio que hay que pagar por no tener el ensayo completo es la confusi�n (en ingl�s "confounding" que emerge entre dos contribuciones que tendr�an que medirse de una forma diferente, resultando que ya no es as�. Si el primer subconjunto debiera dar un resultado de alta eficiencia y el efecto principal debiera dar un resultado de baja eficiencia y por efectos compensatorios nada de eso queda aparente durante el an�lisis, nos equivocamos e ignoramos la verdad.
Pero debe se�alarse que aplicando la teor�a de los alias a dise�os con muchas m�s que las tres variables del ejemplo simple elegido, los alias pueden pasar a ser muy aceptables si se los elige adecuadamente. La habilidad del dise�ador es la de aprovechar esa ventaja.P.ej., en general es aceptable un alias que resulta ser interacci�n de 3 o m�s factores. Esto se relaciona con este hecho experimental: es muy improbable, a priori,
que existan en la realidad nteracciones de orden superior. En general estudiamos sobre todo los efectos principales y las interacciones simples, o - en �ltimo caso - de un pool de varias interacciones simples.Inferencias que se pueden hacer con ensayos factoriales incompletos
A partir de un ensayo incompleto podemos llegar a conocer - los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o
alias carezcan de importancia.
Reglas de prioridad para la importancia de los alias.
*Un alias que involucra un efecto principal xj es muy importante,
*uno que involucra una interacci�n xixj se considera menos grave,
*uno que involucra interacciones de orden superior xixjxk, se considera de escasa importancia pr�ctica.
Analizado un ensayo, el resultado suele sugerir como etapa siguiente completar algunas o todas las combinaciones faltantes.
19.may.2000
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Glosario de Dise�o de Experimentos - Carlos von der Becke.
y contrastarlos de a pares. Ha de dominar el contraste entre el primer subconjunto y el �ltimo.
Si queremos estudiar el efecto de la interacci�n x1x2 sobre la respuesta, podemos estudiar estas tres informaciones:x1+x2 = 0 (mod 3) x1+x2 = 1 (mod 3) x1+x2 = 2 (mod 3)
En el caso particular al cual nos estamos refiriendo de los nueve ensayos factoriales fraccionales, quedan, respectivamente, estos tres subconjuntos:- primer subconjunto... 010,100,220
- segundo subconjunto ...001,121,211
- tercer subconjunto...022,112,202
Pero ellos resultan ser exactamente los mismos subconjuntos que si estudiasemos el efecto principal x3, ya que - el primer subconjunto coincide con x3 = 0 (mod 3)
- el segundo coincide con x3 = 1 (mod 3) y
- el tercero con x3 = 2 (mod 3).
Entonces se justifican los alias (los "otros nombres" o seud�nimos) en los dise�os factoriales incompletos balanceados. Llamamos alias a los dos nombres que tienen esos tres subconjuntos. P.ej., el subconjunto se llama por un lado x1+x2 = 1 (mod 3) y por otro x3 = 0 (mod 3). Si lo llamamos de la primera manera, su alias es la segunda manera de nombrarlo - y viceversa.
Interesa descubrir alguna manera de saber de antemano cu�les ser�n los alias en un dise�o factorial fraccional. Para ello, multiplicar la relaci�n con la cual se gener� el ensayo fraccional (que denominamos de ahora en adelante relaci�n definitoria) - omitiendo los signos m�s - por el primer nombre del cual se busca el alias. Descartar los t�rminos cuadr�ticos. Lo que queda (devolviendo el signo m�s) es el alias.
Por ejemplo, reconocemos que en el ejemplo que venimos usando la relaci�n definitoria es x1+x2+x3. Aplicando la receta queda x1.x2.x3. Sea el primer nombre x3. Aplicando la receta, queda x1.x2.x3.x3. El t�rmino cuadr�tico es (x3)2 y se lo descarta. Queda x1.x2 O sea el alias buscado es x1+x2 (la interacci�n x1.x2). Dicha interacci�n tiene asimismo un alias, que es el efecto principal x3.
En resumen, el precio que hay que pagar por no tener el ensayo completo es la confusi�n (en ingl�s "confounding" que emerge entre dos contribuciones que tendr�an que medirse de una forma diferente, resultando que ya no es as�. Si el primer subconjunto debiera dar un resultado de alta eficiencia y el efecto principal debiera dar un resultado de baja eficiencia y por efectos compensatorios nada de eso queda aparente durante el an�lisis, nos equivocamos e ignoramos la verdad.
Pero debe se�alarse que aplicando la teor�a de los alias a dise�os con muchas m�s que las tres variables del ejemplo simple elegido, los alias pueden pasar a ser muy aceptables si se los elige adecuadamente. La habilidad del dise�ador es la de aprovechar esa ventaja.P.ej., en general es aceptable un alias que resulta ser interacci�n de 3 o m�s factores. Esto se relaciona con este hecho experimental: es muy improbable, a priori,
que existan en la realidad nteracciones de orden superior. En general estudiamos sobre todo los efectos principales y las interacciones simples, o - en �ltimo caso - de un pool de varias interacciones simples.Inferencias que se pueden hacer con ensayos factoriales incompletos
A partir de un ensayo incompleto podemos llegar a conocer - los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o
alias carezcan de importancia.
Reglas de prioridad para la importancia de los alias.
*Un alias que involucra un efecto principal xj es muy importante,
*uno que involucra una interacci�n xixj se considera menos grave,
*uno que involucra interacciones de orden superior xixjxk, se considera de escasa importancia pr�ctica.
Analizado un ensayo, el resultado suele sugerir como etapa siguiente completar algunas o todas las combinaciones faltantes.
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En el caso particular al cual nos estamos refiriendo de los nueve ensayos factoriales fraccionales, quedan, respectivamente, estos tres subconjuntos:- primer subconjunto... 010,100,220
- segundo subconjunto ...001,121,211
- tercer subconjunto...022,112,202
Pero ellos resultan ser exactamente los mismos subconjuntos que si estudiasemos el efecto principal x3, ya que - el primer subconjunto coincide con x3 = 0 (mod 3)
- el segundo coincide con x3 = 1 (mod 3) y
- el tercero con x3 = 2 (mod 3).
Entonces se justifican los alias (los "otros nombres" o seud�nimos) en los dise�os factoriales incompletos balanceados. Llamamos alias a los dos nombres que tienen esos tres subconjuntos. P.ej., el subconjunto se llama por un lado x1+x2 = 1 (mod 3) y por otro x3 = 0 (mod 3). Si lo llamamos de la primera manera, su alias es la segunda manera de nombrarlo - y viceversa.
Interesa descubrir alguna manera de saber de antemano cu�les ser�n los alias en un dise�o factorial fraccional. Para ello, multiplicar la relaci�n con la cual se gener� el ensayo fraccional (que denominamos de ahora en adelante relaci�n definitoria) - omitiendo los signos m�s - por el primer nombre del cual se busca el alias. Descartar los t�rminos cuadr�ticos. Lo que queda (devolviendo el signo m�s) es el alias.
Por ejemplo, reconocemos que en el ejemplo que venimos usando la relaci�n definitoria es x1+x2+x3. Aplicando la receta queda x1.x2.x3. Sea el primer nombre x3. Aplicando la receta, queda x1.x2.x3.x3. El t�rmino cuadr�tico es (x3)2 y se lo descarta. Queda x1.x2 O sea el alias buscado es x1+x2 (la interacci�n x1.x2). Dicha interacci�n tiene asimismo un alias, que es el efecto principal x3.
En resumen, el precio que hay que pagar por no tener el ensayo completo es la confusi�n (en ingl�s "confounding" que emerge entre dos contribuciones que tendr�an que medirse de una forma diferente, resultando que ya no es as�. Si el primer subconjunto debiera dar un resultado de alta eficiencia y el efecto principal debiera dar un resultado de baja eficiencia y por efectos compensatorios nada de eso queda aparente durante el an�lisis, nos equivocamos e ignoramos la verdad.
Pero debe se�alarse que aplicando la teor�a de los alias a dise�os con muchas m�s que las tres variables del ejemplo simple elegido, los alias pueden pasar a ser muy aceptables si se los elige adecuadamente. La habilidad del dise�ador es la de aprovechar esa ventaja.P.ej., en general es aceptable un alias que resulta ser interacci�n de 3 o m�s factores. Esto se relaciona con este hecho experimental: es muy improbable, a priori,
que existan en la realidad nteracciones de orden superior. En general estudiamos sobre todo los efectos principales y las interacciones simples, o - en �ltimo caso - de un pool de varias interacciones simples.Inferencias que se pueden hacer con ensayos factoriales incompletos
A partir de un ensayo incompleto podemos llegar a conocer - los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o
alias carezcan de importancia.
Reglas de prioridad para la importancia de los alias.
*Un alias que involucra un efecto principal xj es muy importante,
*uno que involucra una interacci�n xixj se considera menos grave,
*uno que involucra interacciones de orden superior xixjxk, se considera de escasa importancia pr�ctica.
Analizado un ensayo, el resultado suele sugerir como etapa siguiente completar algunas o todas las combinaciones faltantes.
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- el primer subconjunto coincide con x3 = 0 (mod 3)
- el segundo coincide con x3 = 1 (mod 3) y
- el tercero con x3 = 2 (mod 3).
Entonces se justifican los alias (los "otros nombres" o seud�nimos) en los dise�os factoriales incompletos balanceados. Llamamos alias a los dos nombres que tienen esos tres subconjuntos. P.ej., el subconjunto se llama por un lado x1+x2 = 1 (mod 3) y por otro x3 = 0 (mod 3). Si lo llamamos de la primera manera, su alias es la segunda manera de nombrarlo - y viceversa.
Interesa descubrir alguna manera de saber de antemano cu�les ser�n los alias en un dise�o factorial fraccional. Para ello, multiplicar la relaci�n con la cual se gener� el ensayo fraccional (que denominamos de ahora en adelante relaci�n definitoria) - omitiendo los signos m�s - por el primer nombre del cual se busca el alias. Descartar los t�rminos cuadr�ticos. Lo que queda (devolviendo el signo m�s) es el alias.
Por ejemplo, reconocemos que en el ejemplo que venimos usando la relaci�n definitoria es x1+x2+x3. Aplicando la receta queda x1.x2.x3. Sea el primer nombre x3. Aplicando la receta, queda x1.x2.x3.x3. El t�rmino cuadr�tico es (x3)2 y se lo descarta. Queda x1.x2 O sea el alias buscado es x1+x2 (la interacci�n x1.x2). Dicha interacci�n tiene asimismo un alias, que es el efecto principal x3.
En resumen, el precio que hay que pagar por no tener el ensayo completo es la confusi�n (en ingl�s "confounding" que emerge entre dos contribuciones que tendr�an que medirse de una forma diferente, resultando que ya no es as�. Si el primer subconjunto debiera dar un resultado de alta eficiencia y el efecto principal debiera dar un resultado de baja eficiencia y por efectos compensatorios nada de eso queda aparente durante el an�lisis, nos equivocamos e ignoramos la verdad.
Pero debe se�alarse que aplicando la teor�a de los alias a dise�os con muchas m�s que las tres variables del ejemplo simple elegido, los alias pueden pasar a ser muy aceptables si se los elige adecuadamente. La habilidad del dise�ador es la de aprovechar esa ventaja.
P.ej., en general es aceptable un alias que resulta ser interacci�n de 3 o m�s factores. Esto se relaciona con este hecho experimental: es muy improbable, a priori, que existan en la realidad nteracciones de orden superior. En general estudiamos sobre todo los efectos principales y las interacciones simples, o - en �ltimo caso - de un pool de varias interacciones simples.
Inferencias que se pueden hacer con ensayos factoriales incompletos A partir de un ensayo incompleto podemos llegar a conocer
- los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o
alias carezcan de importancia.
*uno que involucra una interacci�n xixj se considera menos grave,
*uno que involucra interacciones de orden superior xixjxk, se considera de escasa importancia pr�ctica.Analizado un ensayo, el resultado suele sugerir como etapa siguiente completar algunas o todas las combinaciones faltantes.
19.may.2000
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Glosario de Dise�o de Experimentos - Carlos von der Becke.
- los efectos principales que tengan alias de muy poca importancia, o