La Aceleración, la Marcha de los Relojes, la Equivalencia de los Sistemas Inerciales, las Paradojas Reales y las Paradojas Aparente.
(Primer desarrollo: 09 de
marzo de 2003
Última modificación 05 de abril de 2003)
Nota Introductoria: Esta página la he escrito como resultado de los largos intercambios electrónicos que hemos mantenido con Ángel Torregrosa Lillo ([email protected]) acerca de la forma en que deben interpretarse las ecuaciones relativístas. Ángel mantiene su propio sitio sobre relatividad (http://www.geocities.com/angelto.geo/fisica.htm) y modera un foro de discusiones sobre el tema, que en octubre de 2001 contaba con 50 inscriptos y en la actualidad creo que supera los 100.
Esta es posiblemente la página más sorprendente de este sitio y, acorde con esta afirmación, también es la página con el título más largo. :-)
También, dependiendo de los pre-conceptos o amplitud de pensamientos del lector, puede ser la página más confusa o la más esclarecedora de todas las que he escrito con respecto a la Relatividad Especial.
Sin embargo debo hacer una advertencia:
ADVERTENCIA: Para que el lector saque provecho de este desarrollo, es MUY IMPORTANTE que tenga claro el sincronismo (¿des-sincronismo?) de relojes entre sistemas en movimiento uniforme que resulta de aplicar las Transformadas de Lorentz. Esto significa que debe sentirse cómodo con diagramas como lo presentados en Lio_relojes.htm . De otro modo puede ocurrir que el amable lector crea que estoy inventando esquemas a conveniencia de lo que quiero demostrar, y no es esa mi intención.
Quienes han seguido mis desarrollos hasta este punto deben tener en claro que aunque acepto la validez de las ecuaciones de la RE, no comparto el significado de las mismas. Para resumir mi enfoque en pocas palabras puedo decir que mi posición difiere de la adoptada por quienes aceptan la RE en que lo que la RE llama situación aparente yo llamo situación real y viceversa. En otras palabras, de acuerdo con mi análisis del mundo físico, la velocidad de la luz sólo aparenta ser constante, las contracciones y dilataciones relativistas son reales y la famosa equivalencia de los sistemas inerciales es sólo aparente. Y existen Marcos de Referencia Estacionarios (más precisamente Localmente Estacionarios), que denomino MRLE, cuya identificación es casi imposible de lograr mediante experiencias cotidianas.
Por lo tanto, mediante un ejemplo sencillo, en esta página quiero analizar una variante de la paradoja de los gemelos juntamente con el comportamiento de relojes sometidos a aceleraciones. El ejemplo demuestra que un MRLE genera el mismo resultado aparentemente paradójico de la RE pero permite explicarlo (y solucionar las paradojas) sin recurrir a la Relatividad General.
NOTA: La RE permite el análisis de sistemas acelerados, siempre y cuando el sistema desde el que se realiza el estudio, permanezca en estado inercial. El ejemplo más simple de esta situación lo constituyen los aceleradores de partículas, donde la descripción de las partículas aceleradas, que se realiza desde el laboratorio (sistema de referencia básicamente inercial), es totalmente adecuada. El ejemplo presente demuestra que empleando un MRLE se puede ampliar el campo de estudios de los sistemas acelerados sin recurrir a la Relatividad General.
Para los fines del experimento voy a seleccionar dos sistemas inerciales que se mueven con una velocidad relativa de 0.866 c. De acuerdo con la RE para los observadores del sistema A, los relojes de ambos sistemas marchan de acuerdo a como se muestra en la Fig. 1. Para construir dicha figura sólo se han aplicado las transformadas de Lorentz, a los valores del ejemplo.
Cabe destacar que la Fig. 1 no está en escala. El largo total de los sistemas representados es del orden de la décima parte de la distancia Tierra-Sol, en tanto que la separación entre ejes puede tomarse como si fuera sólo de unos metros para permitir la observación "cara a cara" de los observadores que se enfrentan.
|
| Fig. 1 - Marcha de los relojes, al inicio de la experiencia, de acuerdo con los observadores del eje A. |
Las transformadas de Lorentz son la siguientes
Donde el juego de valores (t', x', y', z') está medido en el eje B y el juego (t, x, y, z) son los valores correspondientes del eje A.
En resumen, la Fig. 1 nos muestra el estado inicial de nuestro sistema, donde se observa, mediante una foto "instantánea" mágica (no restringida por la velocidad de la luz) el estado de cosas tal como lo describirían los observadores del sistema A :
En el sistema inercial A se indican las lecturas de relojes separados a intervalos de 8.66 seg-luz. En el eje A elegimos dos observadores especiales identificados como A1 y A2.
Todos los relojes del sistema A están perfectamente sincronizados por el método desarrollado por Einstein en su trabajo de 1905.
Para los observadores del sistema A, los relojes del sistema B muestran un marcado desorden (tal como ocurre siempre que se aplican las transformadas de Lorentz). Para los observadores de B se puede construir una Figura equivalente donde sus relojes marchan totalmente sincronizados, mientras que los del sistema A son los que presentan el aspecto de desorden que se muestra para B en la Fig.1
Podemos comenzar, entonces, con el experimento:
Cuando todos los relojes de A, marcan 00 seg, A1 es acelerado instantáneamente alcanzando una velocidad de 0.866 c con respecto al sistema A. Cuando alcanza esa velocidad, A1 permanece estacionario con respecto al sistema B que ya se estaba moviendo a 0.866 c con respecto a A.
La situación descripta hasta este punto se esquematiza en la Fig. 2. Durante la aceleración el reloj de A1 mantiene la lectura que tenía antes de la aceleración (este punto se analiza con más detalle en la discusión final).
 |
| Fig. 2 - Cuando los relojes de A marcan 00 seg el observador A1 es acelerado instantáneamente hasta adquirir una velocidad de 0.866 c con respecto al eje A. Desde ese momento se mueve en forma solidaria al eje B. |
Continuamos, entonces, con el experimento, sabiendo que a 0.866 c el coeficiente de Lorentz es de 0.5. Por esta razón el reloj de A1 comienza a marchar a la mitad del ritmo que tenía en A.
10 segundos después (conforme a las apreciaciones del sistema A) las cosas están como se indica en la Fig. 3. En este punto todos los relojes del sistema B se desplazaron hacia la derecha e incrementaron sus lecturas en sólo 5 seg. El reloj de A1 perdió el sincronismo que tenía con los relojes del sistema A.
 |
| Fig. 3 - A1 avanza hacia la
posición de A2. Los relojes de A avanzaron 10 seg, mientras que
los de B sólo avanzaron 5 seg. |
La Fig. 4 muestra el estado de cosas 10 seg después (medidos en el sistema A) cuando A1 pasa por la posición de A2. Ambos observadores comprueban que el reloj de A1 avanzó sólo 10 segundos, mientras que el reloj de A2 registró el paso de 20 segundos.
 |
| Fig. 4 - Instante en que A1 alcanza la posición de A2. Todas las lecturas están hechas desde el sistema A. |
Hasta este punto no hemos hecho más que desarrollar una variante simple de la tradicional Paradoja de los Gemelos. De este modo concluiríamos que, desde el momento de su aceleración el reloj del gemelo viajero (A1) avanzó más lentamente que el reloj del gemelo sedentario (A2).
NOTA: Aunque no lo dije explícitamente, conforme a los desarrollos de la RE, durante todo el trayecto cada gemelo observa que es el otro gemelo el que tiene relojes más lentos que el suyo propio. Y como la RE le da igual credibilidad a las mediciones de ambos gemelos surge la famosa paradoja.
Por otro lado, el final de esta experiencia simulada parece complicar las cosas pues cuando ambos gemelos se enfrentan, la observación simultánea (cara a cara) permite comprobar que sólo gemelo A2 tenía razón en sus observaciones. De esta forma si el reloj de A1 marchó realmente con un ritmo menor desde el momento de su aceleración, parecería que se rompe la equivalencia de los sistemas inerciales, pues habríamos comprobado que los relojes del sistema B marchan realmente más lentos que los del sistema A.
Llegados a este punto es donde suele recurrirse a la Relatividad General aduciendo que el comportamiento del gemelo acelerado no entra dentro del campo de validez de la RE.
Veremos, sin embargo, que las cosas son más simples de lo que parecen. :-)
Terminada esta primera parte de la experiencia, veamos que pasa si ahora son los observadores del sistema B los que deciden hacer el mismo experimento.
En este caso es poco lo que hay que comentar, dado que la equivalencia real de todos los sistemas inerciales conduce a una aburrida repetición de la experiencia, donde los observadores del sistema B logran "demostrar" que son los relojes de A los que marchan más lentos. Y, nuevamente, la aparente paradoja no se analiza desde el punto de vista de la RE dado que en una etapa de la experiencia se aplican aceleraciones a uno de los observadores. Y, por supuesto, se repite la consabida referencia a la Relatividad General para solucionar los aparentes problemas lógicos de la RE.
La paradoja resultante entre el experimento directo y el recíproco, puede resultar difícil de apreciar para quienes llevan mucho tiempo "peleando" o "admitiendo" la Lógica Relativista. Por lo tanto quiero analizar estos resultados antes de discutir las consecuencias de que el mismo resultado se obtenga bajo un enfoque en el que los sistemas inerciales no serían realmente equivalentes.
Puedo resumir los resultados alcanzados hasta ahora de la siguiente forma:
Mediante una sencilla experiencia imaginaria, hemos visto que los observadores del sistema inercial A pueden "demostrar" que los relojes del sistema B marchan más lentos que los de A. En el ejemplo elegimos una determinada velocidad relativa entre B y A, pero el valor absoluto de la velocidad es independiente del resultado cualitativo de la experiencia. La experiencia es muy simple y consiste en enviar un reloj desde el sistema A hasta el sistema B y contrastar su ritmo de marcha con los relojes que permanecen en A. (Nota: esta experiencia se ha llevado a cabo con relojes atómicos y es una de las demostraciones aceptadas de la validez de la RE)
Aceptando la equivalencia real de todos los sistemas inerciales, la RE permite "demostrar" exactamente lo contrario a lo que se determinó en el primer experimento. En otras palabras, los observadores del sistema B pueden hacer una experiencia en que "demuestran" que son los relojes de A los que marchan más lentos que los de B.
Ahora bien, los resultados obtenidos en "1" y "2" constituyen una paradoja pues, si la naturaleza permite "demostrar" dos cosas contradictorias y ambas tienen el mismo grado de certeza, el mundo físico se vuelve caótico.
Para visualizar mejor el análisis previo supongo que el amable lector convendrá conmigo en que si dos jugadores se enfrentan en un partido de tenis y ambos logran "demostrar" que ganaron el partido, resulta imposible realizar un campeonato de tenis. :-)
En consecuencia, una vez definida la paradoja, los defensores de la RE y su lógica suelen emplear alguna variante de los siguientes argumentos:
La experiencia no es válida pues intervienen aceleraciones.
La paradoja desaparece si se analiza el experimento con la Relatividad General.
Sin embargo....
Quienes eligen una respuesta del tipo "1" olvidan que
En los aceleradores de partículas se demuestra que los objetos que alcanzan velocidades relativistas tienen relojes que atrasan con respecto a los relojes estacionarios
En las descripciones hechas en el experimento de esta página sólo se emplean observaciones hechas desde el sistema estacionarios que permanece como inercial durante toda la experiencia
Y quienes eligen las respuestas tipo "2", descubren que la paradoja se genera con cualquier respuesta que aporte la Relatividad General. :-(
Veamos entonces la forma de obtener el mismo resultado y que no resulte paradójico. :-)
Nota: (Se sugiere a los lectores que hayan llegado hasta este punto que no abandonen la lectura porque el resto de esta página conduce a resultados realmente sorprendente para quién los enfrenta por primera vez)
Si aceptamos la existencia de un MRLE, estamos obligados a considerar que la "instantánea" mágica de la Fig. 1 describe realmente el estado de cosas al inicio de la experiencia. Por supuesto que no sería esta la situación que describirían los observadores del sistema B, (quienes, como se ha discutido en otras páginas, creen estar perfectamente sincronizados), pero la Fig. 1 sería lo que llamamos realidad de la situación.
Entonces, utilizando lo que llamamos "realidad de la situación" veamos que pasa cuando los observadores B1 y B2 deciden seguir los mismos pasos que siguieron antes A1 y A2. En este caso es B2 el que decide "acelerar" hasta hacerse solidario con el sistema A y cruzar por la posición de B1 que permanece estacionario en su eje.
B1 y B2, están realmente (Fig. 1) separados por 8.66 seg luz. Sin embargo creen (luego de "sincronizar" sus relojes en base a la "constancia" de la velocidad de la luz) que están separados por 17.32 seg luz. Para los observadores del sistema A, esta distancia (17.32 seg luz) es la que separa A1 de A2.
La Fig. 5 muestra el estado inicial del experimento hecho por B1 y B2. En ese momento B1 cree que B2 salta al eje A, puesto que el reloj de B1 marca t=00 seg, y ese fue el momento convenido para comenzar el experimento. Sin embargo B2 está tomando el último sorbo de Té con sus amigos pues, de acuerdo con su reloj, aún faltan 15 seg para que deba realizar la operación convenida con B1.
 |
| Fig. 5 - Momento inicial del experimento
que realizan B1 y B2. B1 cree que
B2 acaba de pasar al otro eje pues su reloj marca el instante convenido con B2 para la operación |
Cuando transcurren 5 seg en el eje B, las cosas están como se muestra en la Fig. 6. Todavía B2 no debe cambiar de eje, de acuerdo con lo que marca su propio reloj. Por otra parte, B1 cree que ya hace 5 seg que B2 se encuentra en el sistema A.
 |
| Fig. 6 - B1 cree que hace 5 seg que B2 se encuentra en el eje A. |
Cuando transcurren otros dos períodos de 5 seg las cosas están como se muestran en la Fig. 7 y en la Fig. 8.
 |
| Fig. 7 - El experimento continúa. Todavía B2 no cambia de eje |
 |
| Fig. 8 - El experimento continúa. Recién en este punto el reloj de B2 marca t = 00. Es el momento de cambiar de eje |
La Fig. 9 registra el momento en que B2 cambia de eje mediante una aceleración instantánea. B1 cree que esta operación se produjo 15 segundos antes. A partir de este momento el reloj de B2 comienza a marchar al doble del ritmo que tenía en el sistema B, de acuerdo con el comportamiento de todos los relojes realmente estacionarios.
 |
| Fig. 9 - B2 cambia de eje. |
La Fig. 10 registra el momento en que B1 y B2 se enfrentan.
 |
| Fig. 10 - Cuando se enfrentan
B1 y B2 pueden verificar que, a lo largo del
experimento, el reloj de B2 avanzó la mitad de lo que registró el reloj de B1 !! |
Y al final de la experiencia todo parece indicar que B1 y B2 han podido demostrar que los relojes que viajan con respecto al eje B marchan más lentos que los relojes que permanecen en el eje B. :-)
En otras palabras, partiendo de las mismas condiciones iniciales.
Observadores separados por 17.32 seg-luz.
Inicio de la experiencia a t = 00.
Aceleración instantánea de uno de los observadores hasta alcanzar una velocidad relativa de 0.866 c con respecto al eje de partida.
Llegan al mismo resultado que obtuvieron los observadores del sistema A
Mientras el reloj estacionario registró el paso de 20 seg (correspondientes a una distancia de 17.32 seg-luz, recorridos a 0.866 c), el reloj acelerado avanzó sólo 10 seg.
El final de la experiencia parece demostrar, nuevamente, que tanto el sistema realmente estacionario como el sistema realmente en movimiento son capaces de demostrar que los relojes del otro sistema son los que marchan más lentos.
Pregunta:
Dado que con un MRLE hemos alcanzado exactamente el mismo resultado experimental que con la RE, eso significa que la paradoja persiste?.
Respuesta:
NO. :-)
.....
Respuesta Ampliada:
El resultado de la experiencia genera una paradoja insoluble en la RE pues dicha teoría asigna igual grado de credibilidad a todos los observadores inerciales. Con un MRLE el resultado es sólo aparentemente paradójico, pues la misma construcción de la experiencia muestra que las observaciones del sistema A son reales y las del sistema B son sólo aparentes.
Y una paradoja aparente no es una paradoja !!.
Un ejemplo puede clarificar por qué el mismo resultado es paradójico para la RE pero no lo es para sistemas con MRLE. Y para ello voy a usar trenes en movimiento que es la característica histórica de la RE.
Desde la ventanilla de un tren se ven pasar postes telefónicos a determinada velocidad.
Desde los postes telefónicos se ve pasar el tren a la misma velocidad pero en sentido contrario.
Sin embargo nadie se sube a un poste telefónico para volver a su punto de partida. :-)
Respondiendo con mayor seriedad, debo decir que las paradojas aparentes se resuelven demostrando cual es la observación real y cual la aparente.
En el ejemplo de los tenistas para poder realizar el torneo es necesario descubrir cuál de los dos falsificó la documentación.
En el caso de los sistemas inerciales es necesario descubrir cuales son los sistemas en reposo verdadero y cuáles los que están en movimiento con respecto al MRLE.
Como se ve, empleando un MRLE no es necesario recurrir a la ayuda "mágica" de la Relatividad General para estudiar sistemas acelerados. La razón es muy simple.
Con un MRLE no hay paradojas. Por lo tanto los resultados obtenidos no resultan objetables.
Con la RE aparecen paradojas insolubles. Por lo tanto se invoca a la Relatividad General para que acuda al rescate o se niegan las paradojas (se las coloca bajo la alfombra) como acto de Fé.
En un MRLE las aceleraciones sólo cambian la velocidad de los sistemas y, por lo tanto, la marcha de los relojes. El resto es sólo apariencia. Muy convincente, pero sólo apariencia. :-)
En la Página Discusion_2.htm se incluyen algunos análisis adicionales sobre los resultados presentados en esta página.