Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz.

La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola (suele denotarse por p).

Dada una parábola, se llama eje de la misma la recta que contiene al foco y es perpendicular a la directriz.

Se llama vértice de la parábola al punto donde ésta corta a su eje.

Para simplificar la parábola, se supondrá que el vértice es el origen de coordenadas y que el foco se encuentra en el semieje positivo de abscisas.

La ecuación de la parábola con vértice en el origen de coordenadas y foco en el

y = 2px

Demostración:

La condición para que el punto esté en la parábola es que ambas coincidan:

Elevando al cuadrado:

-px + y2 = px Þ y2 = 2px

Hay otros tres casos elementales de parábolas:

· Si el eje es horizontal y el foco está en el semieje negativo de abscisas, la ecuación es y2 = -2px.

· Si el eje es vertical y el foco está en el semieje positivo de ordenadas, la ecuación es x2 = 2py.

· Si el eje es vertical y el foco está en el semieje negativo de ordenadas, la ecuación es x2 = -2py.

Si el vértice de una parábola se encuentra en un punto (x0, y0) su ecuación será, según los casos:

· Eje horizontal y foco a la derecha: (y-y0)2 = 2p(x-x0)

· Eje horizontal y foco a la izquierda: (y-y0)2 = -2p(x-x0)

· Eje vertical y foco por encima: (x-x0)2 = 2p(y-y0)

· Eje vertical y foco por debajo: (x-x0)2 = -2p(y-y0)

Dada una ecuación del tipo Ax2 + Bx + Cy + D = 0 o del tipo Ay2 + Bx + Cy + D = 0, siempre es posible reducirla a la ecuación de una parábola. Para ello se completa un cuadrado y se manipula adecuadamente el otro miembro.

Ejercicio: ecuaciones de parábolas

 Hallar la ecuación reducida de la parábola 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0. Hallar su vértice, su foco y su directriz.

· Se ha de transformar esta ecuación en una de la forma:

(y - y0)2 = ± 2p(x - x0) ó (x - x0)2 = ± 2p(y - y0)

· La ecuación dada tiene un término en x2. Habrá que transformarla, pues, en una del tipo (x - x0)2 = ± 2p(y - y0)

· 2x2 + 8x + 3y - 5 = 0 Þ 2x2 + 8x = -3y + 5 Þ

x2 + 3x = (x + 2)2 - 4. Se sustituye en la ecuación:

· Se trata de una parábola con el eje vertical y el foco por debajo del vértice.

· Para hallar el foco se le resta la mitad del parámetro a la ordenada del vértice:

· Por ser el eje vertical, la directriz es horizontal, y su ordenada se obtiene sumándole la mitad del parámetro a la del vértice:

‚ Hallar los elementos de la parábola y2 - 4x + 6y + 13 = 0.

Resolución:

· Se opera como en el caso anterior, teniendo en cuenta que ahora la variable que aparece elevada al cuadrado es y:

y2 + 6y = 4x - 13

y2 + 6y = y2 + 2 · 3y + 32 - 32 = (y+3)2 - 9.

(y+3)2 - 9 = 4x - 13 Þ (y+3)2 = 4x - 4

(y+3)2 = 4(x-1)

· Es una parábola con vértice en el punto (1, -3).

vértice.

· La directriz se obtiene restándole la mitad del parámetro a la abscisa del vértice: x = 1 - 1 = 0. La directriz es el eje de ordenadas.

Para calcular la intersección de una cónica con una recta se ha de resolver un sistema de ecuaciones, que dará lugar a una ecuación de segundo grado (ax2 + bx + c = 0). Al resolver esta ecuación, se obtienen resultados distintos dependiendo del valor que tome el discriminante (D = b2 - 4ac):

· Si el discriminante es negativo (b2 - 4ac < 0, la ecuación no tiene soluciones reales; sus dos soluciones son números complejos conjugados), el sistema no tiene solución. La recta no corta a la cónica y se dice que es exterior a ella.

· Si el discriminante es nulo (b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene dos soluciones reales iguales), la recta corta a la cónica en un solo punto. En este caso se dice que la recta es tangente a la cónica.

· Si el discriminante es positivo (b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene dos soluciones reales y distintas), la recta tiene dos puntos comunes con la cónica. Entonces se dice que la recta es secante a la cónica.

Ejercicio: intersección de cónicas y rectas

 Hallar los puntos de intersección de la recta x + y + 1 = 0 y la elipse

2x2 + 3y2 - 4x + 6y - 9 = 0.

Resolución:

x = -y - 1

2(-y - 1)2 + 3y2 - 4(-y - 1) + 6y - 9 = 0

5y2 + 14y - 3 = 0

‚ Trazar una tangente vertical a la cónica x2 - y2 + 2x + y - 2 = 0.

Resolución:

· Las rectas verticales son de la forma x = k

· Sustituyendo este valor en la ecuación:

k2 - y2 + 2k + y - 2 = 0,

-y2 + y + (k2 + 2k - 2) = 0

· Su discriminante es

b2 - 4ac = 1 - 4 (-1) (k2 + 2k - 2) = 1 + 4k2 + 8k - 8 = 4k2 + 8k - 7

La condición para que la recta sea tangente es que dicho discriminante sea nulo:

4k2 + 8k - 7 = 0

Las tangentes verticales son:

ƒ Hallar las rectas tangentes a la curva y2 = 4x que contengan al punto (-1, 0).

Resolución:

· Cualquier recta que contenga a dicho punto tiene una ecuación de la forma y = m(x + 1), donde m es la pendiente.

· Sustituyendo en la ecuación de la parábola:

m2(x + 1)2 = 4x Þ m2x2 + 2m2x + m2 = 4x Þ

Þ m2x2 + (2m2 - 4)x + m2 = 0

· El discriminante es

(2m2 - 4)2 - 4m2 · m2 =

= 4m4 - 16m2 + 16 - 4m4 = -16m2 + 16

· La recta será tangente si este discriminante es nulo:

-16m2 + 16 = 0 Þ 16m2 = 16 Þ

Þ m = ±1

· Las tangentes buscadas son:

y = x + 1 e y = -(x + 1)