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GEOMETRÍA ANALÍTICA
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Hallar los puntos de intersección
de la recta x + 2y + 1 = 0 y la circunferencia
x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0
Resolución:
(
-2y - 1)2 + y2 + 2(-2y - 1) - 4y - 4 = 0 Þ 5y2 -
4y - 5 = 0
Hay,
pues, dos soluciones:
‚ Hallar los puntos de intersección
de dos circunferencias cuyas ecuaciones son
x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0 y x2 + y2 +
x + y - 8 = 0
Resolución:
· Se restan las ecuaciones y se
obtiene:
-3x
+ 3y - 3 = 0 Þ x = y - 1
Ésta
es la ecuación de una recta, el eje radical.
· (y - 1)2 + y2 - 2(y -
1) + 4y - 11 = 0 Þ
Se
obtienen, pues, dos puntos, (1, 2) y (-3, -2).
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· Si el punto P es exterior a
la circunferencia, el proceso consiste en hallar una recta que, conteniendo al
punto, diste del centro un valor igual al radio.
Ejercicio: cálculo de la recta tangente a una circunferencia
Hallar las tangentes a la
circunferencia x2
+ y2 - 2x + 3y - 18 = 0 por los puntos (2, 3), (1, 1) y (5, 5).
Resolución:
· Se comprueba si los puntos
pertenecen o no a la circunferencia:
(2,
3) ® 22 + 32 - 2·2 + 3·3 - 18 = 0 Þ (2, 3) pertenece a la circunferencia.
(1,
1) ® 12 + 12 - 2+ 3 - 18 = -15 < 0 Þ (1, 1) es interior a la circunferencia.
(5,
5) ® 52 + 52 - 10 + 15 - 18 = 37 > 0 Þ (5, 5) es exterior a la circunferencia.
Según
esto, habrá una tangente por (2, 3), ninguna por (1, 1) y dos por (5, 5).
· Tangente por (2, 3):
Se
ha de calcular la ecuación de una recta que pase por (2, 3) y sea perpendicular
al radio que contiene a este punto.
es:
La
pendiente de la tangente es:
· En el caso del punto (5, 5) hay que
hallar las rectas que, conteniendo a éste, su distancia al centro es el radio.
La
ecuación de una recta que contenga a (5, 5) es y - 5 = m( x -
5) Þ
Þ
mx - y + (5 - 5m) = 0
169
- 208m + 64m2 = 85 + 85m2
21m2 + 208m - 84 = 0
Sustituyendo
cada uno de estos valores en la ecuación y - 5 = m (x - 5)
se obtienen las dos tangentes.
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Se
llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante.
La
línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la
mediatriz de los mismos eje secundario.
Se
llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes.
El
punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia
entre ellos se llama distancia focal .
Generalmente
el eje principal se representa por 2a y la distancia focal por 2c.
Los valores a y c se llaman semieje principal y semidistancia
focal , respectivamente.
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Por
definición de elipse, 
A
la distancia b se le llama semieje secundario.
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Para
simplificar los cálculos, se supondrá inicialmente una elipse cuyo centro es el
origen de coordenadas y cuyos focos se encuentran en el eje de abscisas. Así
los focos serán F(c, 0) y F ''(-c, 0) y los
ejes de la elipse son los ejes de coordenadas.
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Dado
un punto P(x, y) de una elipse centrada en el origen y con focos en
F(c, 0) y F'(-c, 0) se tiene:
Demostración:
Si
el punto pertenece a la elipse, ha de ser:
Operando:
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La
ecuación de una elipse centrada en el origen y con focos en F(c,
0) y F'' (-c, 0) es
Demostración:
Sustituyendo
en la fórmula de uno cualquiera de los radios vectores se obtiene:
Þ a2x2 + a2c2 + a2y2 = a4 + c2x2 Þ
Þ b2x2 + a2y2 = a2b2 Þ
Vértices de una elipse referida a sus ejes
(0,
b) y (0, -b).
Demostración:
Los
vértices son los puntos donde la elipse corta a sus ejes. Se calculan por
separado para cada eje:
· Eje principal:
El
eje principal es el eje de abscisas, es decir y = 0. Para hallar su
intersección con la elipse se resuelve el sistema:
Los
vértices son (a, 0) y (-a, 0)
· Eje secundario:
Se
resuelve el sistema:
Los
otros dos vértices son (0, b) y (0, -b)
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Si
una elipse tiene sus ejes paralelos a los ejes de coordenadas y su centro
en el punto (x0, y0), los puntos de esta elipse se pueden trasladar mediante el vector
-x0
1 - y02 y obtener una elipse centrada en el
origen.
Entonces
el punto que ha de verificar la ecuación canónica es (x - x0, y - y0).
Por tanto, su ecuación es:
Desarrollando
esta ecuación, se obtiene:
b2x2 - 2b2x0 x + b2x02 + a2y2 - 2a2 y0y + a2y02 - a2b2 = 0,
que
se puede poner en la forma:
Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, donde A y B son del mismo signo.
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Si
una elipse tiene su eje principal vertical, su ecuación viene dada por:
Los
vértices son los puntos (x0 ± b,
y0) y (x0, y0 ± a)
y los focos son (x0, y0 ± c).
Reducción de la ecuación de una elipse
Dada
una ecuación del tipo Ax2 + By2 + Cx + Dy + E = 0, ésta puede transformarse 
por
el método que se verá en los ejercicios de aplicación. Dicha ecuación se llama ecuación
reducida de la elipse.
Si
el segundo miembro fuese 1, se tendría una elipse centrada en (x0, y0).
Los ejes
de
la elipse son las rectas x = x0 e y
= y0. Los vértices son (x0 ± a, y0) y
(x0, y0 ± b).
En
otro caso, como una suma de cuadrados es siempre positiva, se tendría que
ningún punto la verifica y se habla de una elipse imaginaria.
Ejercicio: ecuación de la elipse
Reducir la ecuación 4x2 + 9y2 - 8x + 18y - 23 = 0. Si
se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y sus vértices.
Resolución:
· Se agrupan los términos en x2 con los términos en x y los términos en y2 con los términos en y:
(4x2 - 8x) + (9y2 +
18y) - 23 =
0
· Se saca factor común, en cada
paréntesis, el coeficiente del término de segundo grado:
4(x2 - 2x) + 9 (y2 +
2y) - 23 = 0
· Se opera en cada paréntesis hasta
obtener un cuadrado perfecto:
x2 - 2x = x2 - 2x + 1 - 1 = (x - 1)2 -
1
y2 + 2y = y2 + 2y
+ 1 - 1 = (y + 1)2
- 1
· La ecuación se puede escribir:
4[(x-1)2 - 1] + 9[(y + 1)2 - 1] - 23 = 0
4(x
- 1)2 + 9(y +1)2 = 36
· Se divide entre 36:
· Centro de la elipse: (1, -1)
· Focos: Para hallar los focos
hay que observar que éstos se hallan en una recta horizontal que contiene al
centro y a distancia c del mismo. Basta pues con sumar y restar c
a la abscisa del centro.
Los
focos son 
· Los vértices se obtienen sumando y
restando a las coordenadas del centro los semiejes de la elipse:
(1
± 3, -1), lo que da los puntos (4, -1) y (-2, -1)
(1,
-1 ± 2), lo que da los puntos (1, 1) y (1, -3)
‚ Reducir y, en su caso, hallar los
elementos de la cónica de ecuación
x2 + 3y2 -
8x - 12y + 32 = 0
Resolución:
· (x2 - 8x) + (3y2 -
12y) + 32 =
0
· (x2 - 8x) + 3(y2 -
4y) + 32 = 0
· x2 - 8x = x2 +
16 - 16 - 8x
= (x - 4)2 - 16
y2 - 4y = y2 +
4 - 4 - 4y = (y - 2)2 -
4
· (x - 4)2 + 3 (y - 2)2 -
16 - 12 + 32 = 0
(x
- 4)2 + 3(y - 2)2 = -4
Como
el primer miembro es suma de números positivos y el segundo es un número
negativo, la ecuación no tiene solución y se trata de una elipse imaginaria.
ƒ Hallar los elementos de la elipse
25x2 + 16y2 - 50x + 64y - 311 = 0
Resolución:
· (25x2 - 50x) + (16y2 +
64y) - 311 = 0
25(x2 - 2x) + 16(y2 +
4y) - 311 =
0
x2 - 2x = x2 - 2 · 1x + 12 - 12 = (x - 1)2 -
1
y2 + 4y = y2 +
2 · 2y + 22 - 22 = (y + 2)2
- 4
Sustituyendo,
la ecuación es:
25(x
- 1)2 - 25 + 16(y + 2)2 - 64 - 311 = 0
25(x
- 1)2 + 16(y + 2)2 = 25 + 64 + 311 = 400
Como
el denominador de la segunda fracción es mayor que el de la primera, no puede
ser a2 = 16 y b2 = 25, lo cual significa que la elipse tiene su eje principal vertical.
Entonces:
· El centro es (1, -2)
· Los vértices son:
(1
± 4, -2), o sea (-3, -2) y (5, -2)
(1,
-2 ± 5), o sea (1, -7) y (1, 3)
· Los focos son (1, -2 ± 3), es decir
(1, -5) y (1, 1)
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La
recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la
mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola.
El
punto donde se cortan ambos ejes (que es, evidentemente, el punto medio de los
focos) se llama centro de la hipérbola.
Los
puntos donde la hipérbola corta a los ejes (se verá que únicamente corta al eje
real) se llaman vértices de la hipérbola.
Al
igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre
los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a
ambos focos se les llama radios vectores del punto.
A
diferencia de la elipse, aquí se tiene 2c > 2a (por tanto c
> a) y se puede
considerar
.
Este valor se llama semieje imaginario de la hipérbola.
hipérbola.
Al
igual que en la elipse, se considerarán en primer lugar las hipérbolas centradas
en el origen de coordenadas y con focos en el eje de abscisas.
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Demostración:
Los
radios vectores son:
Eliminando
los términos comunes:
2cx
= 4a2 - 2cx + 4a·
Despejando:
4a
· = 2cx
- 4a2 + 2cx = 4cx - 4a2, luego
' = +
2a = ex - a + 2a = ex + a
Nótese
que se ha utilizado que la distancia '
es mayor que ,
lo cual sólo es cierto en el semiplano de la derecha. Si se hubiese tomado un
punto del semiplano de la izquierda y se hubiese operado, el resultado hubiera
sido similar, pero cambiando los signos. Es por eso que en el enunciado se tomó
valor absoluto en los segundos miembros.
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Demostración:
Se
toma la expresión de uno de los radios vectores y se opera en ella:
Sacando
factor común (c2
- a2),
(c2 - a2) x2 + a2 (a2 - c2) -
a2y2 = 0
Pero
c2 - a2 = b2, luego
b2x2 - a2b2 - a2y2 = 0.
Dividiendo entre a2
· b2, se obtiene:
En
el caso en que la hipérbola tuviese el eje vertical, la ecuación sería:
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ejes
de coordenadas, cuyas ecuaciones respectivas son y = 0 y x = 0.
· Eje real
Su
ecuación es y = 0.
Sustituyendo
en la hipérbola:
Los
vértices son (a, 0) y (-a, 0)
· Eje imaginario
La
ecuación del eje es x = 0.
Al
sustituir queda:
Esta
ecuación no tiene solución, ya que el primer miembro es siempre negativo y el
segundo es positivo.
puntos
(a, 0) y (-a, 0).
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Pero,
para valores grandes de x , 
» x , siempre que a sea un número fijo.
En efecto:
Al
hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta indefinidamente,
mientras que el numerador permanece invariable. Así la diferencia se hace tan
pequeña como se quiera al crecer x.
Estas
rectas se llaman asíntotas de la hipérbola.
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Por
tanto, para calcular las asíntotas, se iguala a cero el primer miembro de la
ecuación reducida de la hipérbola y se despeja y.
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Si
se tiene una hipérbola con centro en un punto (x0, y0),
procediendo como se hizo para la elipse, se tiene que su ecuación es
vertical
será
Los
focos serán, si el eje real es horizontal (x0 ± c, y0) y
(x0, y0 ± c ) si es vertical.
De
la misma forma los vértices son
(x0 ± a, y0) ó
(x0, y0 ± a )
según
que el eje real sea horizontal o vertical, respectivamente.
Para
hallar las asíntotas, se sustituye 1 por 0 en el segundo miembro y se extrae la
raíz cuadrada.
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Ejercicio: ecuaciones de la hipérbola
Hallar la ecuación reducida de la
hipérbola 4x2 - 9y2
- 8x + 36y
+ 4 = 0.
Hallar
su centro, sus vértices, sus focos y sus asíntotas.
Resolución:
· Se asocian los términos que tengan la misma incógnita
y se saca factor común el coeficiente de segundo grado:
(4x2 - 8x) - (9y2 -
36y) + 4 = 0
4(x2 - 2x) - 9(y2 -
4y) + 4 = 0
· Se completan cuadrados en los
paréntesis:
x2 - 2x = x2 -
2 · 1x + 12 - 12 = (x - 1)2
- 1
y2 - 4y = y2 - 2 · 2y
+ 22 - 22 = (y - 2)2
- 4
· Se sustituye en la ecuación:
4(x
- 1)2 - 4 - 9(y - 2)2 + 36 + 4 = 0
4(x
- 1)2 - 9(y - 2)2 = 4 - 36 - 4 = -36
· Se divide entre -36:
· Se trata, pues, de una hipérbola
con el eje real vertical, con centro en (1, 2) y sus semiejes son a = 
= 2
y b = 
= 3
· Los vértices son (1, 2 ± 2), es
decir (1, 0) y (1, 4).
· Asíntotas:
‚ Hallar los elementos de la
hipérbola x2 - y2 + 2x + 4y - 12 = 0
Resolución:
· (x2 + 2x) - (y2 -
4y) - 12 = 0
x2 + 2x = x2 + 2 · 1x + 12 - 12 = (x+1)2 -
1
y2-4y = y2 -
2 · 2y + 22 - 22 = (y -2)2 - 4
(x
+ 1)2 - 1 - (y - 2)2 + 4 - 12 = 0
(x
+ 1)2 - (y - 2) = 1 - 4 + 12 = 9
· Se trata de una hipérbola con
centro en (-1, 2), eje real horizontal, y semiejes
a = 3, b
= 3 (este tipo de hipérbolas que tienen iguales sus semiejes se llaman hipérbolas
equiláteras).
· Los vértices son los puntos (-4, 2)
y (2, 2).
· Para hallar las asíntotas se iguala
a cero el primer miembro de la ecuación reducida:
Þ (x + 1)2 = (y - 2)2 Þ x + 1 = ±(y - 2)
x + 1 = y
- 2 Þ y = x + 3
x + 1 = -y
+ 2 Þ y = 1- x
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