GEOMETRÍA ANALÍTICA Página 1

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Historia de la Geometría Analítica

En geometría se habla de métodos sintéticos y de métodos analíticos. El estudio sintético de una cuestión geométrica es el que se hace con recursos deductivos que no precisan de representaciones mediante coordenadas y cálculos algebraicos, mientras que el analítico es el que sí utiliza éstos.

Las coordenadas de un punto son un par (en el plano) o una terna (en el espacio) de números que identifican el punto.

La correspondencia entre puntos y números es fundamental pero no resuelve por sí sola la cuestión de crear una geometría que se puede tratar algebraicamente.

Buena prueba de ello es que, desde antiguo, era conocida; los geógrafos egipcios y griegos y los geómetras griegos ya usaron coordenadas sin, por ello, acercarse a la creación de la geometría analítica.

Por su parte, Oresme, en pleno siglo XIV, establece un uso de las coordenadas ya próximo al actual.

Para permitir el nacimiento de las geometría analítica faltaban dos pasos adicionales: Uno, establecer la correspondencia entre álgebra y geometría (lo que se consigue a lo largo de la Edad Media); dos, establecer la correspondencia entre curva y función (que se consigue en tiempos modernos).

Aunque los griegos, por ejemplo Arquímedes, ya usaban representaciones geométricas para problemas aritméticos, no se consolida el uso hasta que los algebristas musulmanes -Al-Joarizmi y sus sucesores- e indios utilizan a partir del siglo IX representaciones gráficas para ecuaciones cuadráticas.

Por el contrario, sólo más tarde (siglos XIII al XVI) los matemáticos europeos -Fibonacci, Viète, etc.- se familiarizan con la práctica contraria: Resolver problemas geométricos mediante cálculos algebraicos.

Esto último, que hoy resulta simple y casi obvio (tanto o más que la correspondencia en el sentido contrario), sólo fue posible cuando se fue transformando el álgebra retórica en simbólica.

El último paso, asociando líneas a sus ecuaciones, lo dan Fermat (1601 - 1665) y Descartes (1596 - 1650) en el siglo XVII. Aunque no hay dudas de la originalidad de los trabajos de geometría analítica del primero, hacia los años 20 y 30 del siglo, lo cierto es que se publicaron después de su muerte. En cuanto al libro de Descartes, La Geómétrie, aparece en 1637 (como apéndice a su Discours de la Méthode) y en él se dan ya las ideas básicas de la geometría analítica.

En los dos siglos siguientes el Cálculo se desarrolla notablemente y la geometría se convierte en uno de sus campos de aplicación hasta hacer aparecer una especialidad: La geometría diferencial.

Ello sin perjuicio del cultivo de los métodos puramente algebraicos que, en tiempos recientes, han dado nuevos frutos.

 

Estudio de las cónicas

Las figuras que se van a estudiar son la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola, todas ellas conocidas con el nombre genérico de cónicas, pues todas ellas se pueden obtener como intersección de una superficie cónica con un plano.

El estudio de las cónicas tiene su origen en el libro de Apolonio de Perga, Cónicas, en el cual se estudian las figuras que pueden obtenerse al cortar un cono cualquiera por diversos planos. Previamente a este trabajo existían estudios elementales sobre determinadas intersecciones de planos perpendiculares a las generatrices de un cono, obteniéndose elipses, parábolas o hipérbolas según que el ángulo superior del cono fuese agudo, recto u obtuso, respectivamente.

Si bien no disponía de la geometría analítica todavía, Apolonio hace un tratamiento de las mismas que se aproxima mucho a aquélla. Los resultados obtenidos por Apolonio fueron los únicos que existieron hasta que Fermat y Descartes, en una de las primeras aplicaciones de la geometría analítica, retomaron el problema llegando a su casi total estudio, haciendo siempre la salvedad de que no manejaban coordenadas negativas, con las restricciones que esto impone.

La importancia fundamental de las cónicas radica en su constante aparición en situaciones reales:

· La primera ley de Kepler sobre el movimiento de los planetas dice que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. Es muy posible que Newton no hubiese podido descubrir su famosa ley de la gravitación universal de no haber conocido ampliamente la geometría de las elipses.

· La órbita que sigue un objeto dentro de un campo gravitacional constante es una parábola. Así, la línea que describe cualquier móvil que es lanzado con una cierta velocidad inicial, que no sea vertical, es una parábola.

 

Esto no es realmente exacto, ya que la gravedad no es constante: depende de la distancia del punto al centro de la Tierra. En realidad la curva que describe el móvil (si se ignora el rozamiento del aire) es una elipse que tiene uno de sus focos en el centro de la Tierra.

Una cónica puede considerarse como el resultado de cortar una superficie cónica con un plano; o como el lugar geométrico de los puntos del plano tal que la razón de sus distancias a un punto y a una recta es constante; o bien puede darse de ella una definición específica, que es lo que se va a desarrollar en este tema.

 

Circunferencia (I)

Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que se encuentran a una distancia fija llamada radio, de un punto dado, llamado centro.

Ecuación de la circunferencia

Considérese la circunferencia centrada en O(a, b) y de radio r . La condición para que un punto X(x, y) se encuentre en la misma es:

d(X, O) = r, es decir:

(x - a) + (y - b)2 = r2

Desarrollando los cuadrados se tiene:

x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2

x2 + y2 -2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0

Llamando A = -2a, B = -2b y C = a2 + b2 - r2, se tiene:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Ejercicio: cálculo de la ecuación de una circunferencia

 

� Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.

Resolución:

· La distancia de X(x, y) al punto (5, -2) es

· Para que el punto esté sobre la circunferencia se ha de verificar:

Þ x2 - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 9

x2 + y2 - 10x + 4y + 20 = 0

 

‚ Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al

punto (-2, 3).

Resolución:

Así la ecuación es:

x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 13

x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0

 

ƒ Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0

Resolución:

· El radio es la distancia del centro a una recta tangente:

· La ecuación es:

x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 4/5

5x2 + 5y2 - 30x - 40y + 121 = 0

„ ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)?

Resolución:

La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos han de verificar la ecuación:

Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene:

Así, la ecuación pedida es:

 

Cálculo de los elementos de una circunferencia

 

La ecuación de una circunferencia con centro en (a, b) y radio r es

x2 + y2 + Ax + By + C = 0, donde

A = -2a, B = -2b y C = a2 + b2 - r2.

A partir de estos datos se obtienen los siguientes resultados:

en tal caso, que se trata de una circunferencia imaginaria.

 

Ejercicio: elementos de una circunferencia

� Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuación es

x2 + y2 - 4x + 6y + 3 = 0.

Resolución:

 

 

Potencia de un punto respecto de una circunferencia

 

Considérese una circunferencia cualquiera y un punto P del plano. Desde el punto P se trazan dos secantes a la circunferencia, obteniéndose los puntos A, A', B y B'.

El valor común recibe el nombre de potencia del punto P respecto

de la circunferencia dada.

Demostración:

Estos dos triángulos son semejantes porque tienen dos ángulos iguales: el ángulo

· Aplicando la proporcionalidad de los lados homólogos en los triángulos semejantes, se tiene:

 

Cálculo de la potencia de un punto respecto de una circunferencia

La potencia de un punto P respecto de una circunferencia es igual al cuadrado de la distancia del punto al centro de la circunferencia, d 2, menos el cuadrado del radio de la circunferencia:

 

Demostración:

Sea O el centro de la circunferencia. La recta que une P con O, corta a la circunferencia en A y en B.

Llamando d a la distancia y r al radio de la circunferencia, se tiene que

La potencia es entonces:

Obsérvese que la potencia, dependiendo de la posición del punto P respecto a la circunferencia, toma los valores:

· Positivo, si P es un punto exterior a la circunferencia (d > r)

· Cero, si P es un punto de la circunferencia (d = r)

· Negativo, si P es un punto interior a la circunferencia (d > r).

 

 

Expresión analítica de la potencia de un punto respecto de una circunferencia

 

La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 + Ax + By + C = 0; el primer miembro se obtuvo elevando al cuadrado la distancia de un punto al centro de la circunferencia y restando el cuadrado del radio, es decir, hallando la potencia del punto respecto de la circunferencia.

Así pues, para calcular la potencia de un punto respecto de una circunferencia, basta con sustituir las coordenadas del punto en el primer miembro de la ecuación de la circunferencia.

 

 

Longitud del segmento tangente desde un punto exterior

 

Sea C una circunferencia, P un punto exterior a ella, r la recta tangente a C desde P y A el punto de tangencia.

La longitud del segmento es la raíz cuadrada de la potencia de P respecto a la circunferencia.

Demostración:

Considérese la figura adjunta. El triángulo OPA es rectántulo y las medidas de sus lados son d (distancia de P a O), r (radio de la circunferencia) y t (segmento tangente).

Por el teorema de Pitágoras se tiene:

r2 + t2 = d2 Þ t2 = d2 - r2

Llamando Pot a la potencia de P respecto de la circunferencia, se tiene que

Pot = d 2 - r2.

Así pues:

 

 

Eje Radical

Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas.

El eje radical de dos circunferencias es una recta perpendicular a la recta que une sus centros.

 

 

Cálculo analítico del eje radical de dos circunferencias

 

Sean dos circunferencias de ecuaciones x2 + y2 + Ax + By + C = 0 y

x2 + y2 + A' x + B' y + C' = 0.

Su eje radical es el lugar geométrico de los puntos que tienen la misma potencia respecto de ambas. Dichas potencias son:

x2 + y2 + Ax + By + C y x2 + y2 + A' x + B' y + C'

La ecuación del lugar geométrico es:

x2 + y2 = Ax + By + C = x2 + y2 + A' x + B' y + C' Þ

Þ ( A - A' )x + (B - B' )y + (C - C' ) = 0

 

Centro radical de tres circunferencias

 

Se llama centro radical de tres circunferencias, cuyos centros no estén alineados, al punto que tiene la misma potencia respecto de las tres.

Como los centros no están alineados, si se consideran dos de los ejes radicales, éstos no serán paralelos y tendrán un único punto de intersección. Dicho punto es el centro radical de las tres circunferencias.

 

Construcción Gráfica del eje radical de dos circunferencias

 

Se consideran dos casos:

a) Las circunferencias se cortan en dos puntos. El eje radical es la recta que contiene a los dos puntos de intersección.

b) Las circunferencias no son secantes.

Se dibuja una circunferencia secante a ambas, de forma que su centro no esté alineado con el de éstas.

Se trazan los ejes radicales de esta nueva circunferencia con cada una de las iniciales; éstos se cortan en un punto C, centro radical de las tres circunferencias, que ha de estar en el eje radical buscado.

El eje radical es la recta perpendicular a la recta O'O, trazada desde C.

 

Intersecciones de rectas y circunferencias

 

Conocidas las ecuaciones de una recta y una circunferencia, calcular sus puntos de intersección consiste en plantear y resolver un sistema de ecuaciones.

El problema se resuelve de forma análoga si se pretende conocer la intersección de dos circunferencias.