Questa e` una sezione di "Fisica Tecnica", e rappresenta solo un tentativo di dare una base rigorosa a considerazioni di meteorologia ipogea [902] [903] [420] .

Questa sezione e` piena di formule; per facilitare la lettura elenchiamo i simboli usati per le varie variabili e le unita` di misura. Un simbolo come D_xf denota la derivata di f rispetto a x. Un simbolo quale I_x(f) denota l'integrale di f rispetto a x.

L'aria nelle condizioni di grotta e` un gas quasi ideale, per cui vale la legge dei gas ideali (equazione di stato) dove P e` la pressione, V il volume, N il numero di moli, T la temperatura (misurata in gradi assoluti), e R e` una costante (detta appunto costante dei gas) che vale 0.0821 l atm/°K mol = 8.31 J/°K mol = 0.848 Kgp-m/°K. Una mole di gas occupa in condizioni normali circa 22.4 l, percio` ci sono 44.64 moli per metro cubo.

Dividendo per la massa M e usando la densita` d=M/V questa legge si scrive dove R<sub>a</sub> = R/M<sub>a</sub> e` la costante dei gas divisa per la massa molare. Per l'aria (massa effettiva di 28.9 g/mol), R_a = 2.84 atm/°K Kg. Per il vapor acqueo R_v = 4.56 atm/°K Kg.

Per un liquido (come l'acqua) la legge di stato e` approssimativamente indipendente dalla temperatura, e lega la densita` d alla pressione P (a e` il coefficiente di compressibilita`, per l'acqua vale 5.3 10^-5Pa^-1),

Miscele di gas. La pressione parziale di un gas in una miscela, e`proporzionale alla pressione totale, con il coefficiente pari alla frazione molare, a<sub>v</sub>=N<sub>v</sub>/N, del gas nella miscela (legge di Dalton). Per esempio la pressione di vapore acqueo nell'aria e`

La frazione di massa e` il rapporto fra la massa di un componente (per un dato volume di gas) e la massa totale, w_v=m_v/m = a_v M_v/M. Per il vapor acqueo w_v=0.622 a_v. Per l'anidride carbonica w_CO2 = 1.517 a_CO2.

La legge di continuita` esprime la conservazione della materia: per un fluido in movimento il prodotto di densita` d, sezione del condotto A, e velocita` v e` costante (flusso di massa): Se il fluido e` quasi incomprimibile (come l'acqua) la densita` resta costante e` questa equazione si semplifica (conservazione del flusso volumetrico): F = A v = cost.

La legge di Bernoulli esprime la relazione fra le velocita` di un fluido (per esempio l'aria) in due punti di una condotta (galleria o strettoia), le quote di questi, e la pressione del fluido nei due punti, dove E e` l'energia "scambiata" durante il movimento dal primo punto al secondo. Da notare che l'energia viene espressa in m²/s² poiche` e` divisa per la massa unitaria. Questa relazione esprime essenzialmente la legge di conservazione dell'energia. Il primo termine e` l'energia potenziale, il secondo la pressione interna, il terzo l'energia cinetica ("pressione dinamica"), il quarto l'energia interna. Il termine E contiene il contributo di lavoro L e gli scambi di calore (effetti dissipativi, viscosita` e attriti) Q. L'energia degradata e` E_diss = U₂ - U₁ + Q e risulta sempre non-negativa. Cambiamenti di stato (evaporazione/condensazione di vapore, ...) complicano notevolmente questa relazione.

Il moto di un fluido avviene secondo due differenti modi:

• laminare, cioe` ordinato, guidato dalla viscosita`;
• turbolento, cioe` vorticoso, guidato dall'inerzia del fluido.

Il numero di Reynolds, definito come dove u e` la viscosita` dinamica e r e` la dimensione tipica del condotto, esprime il rapporto fra la forza di inerzia, d πr<sup>2</sup> v<sup>2</sup>, e quella di viscosita` dinamica, u 2 πr L D_rV. Esso determina il tipo di moto: laminare per bassi valori di R_e turbolento per valori alti. La transizione fra i dui tipi di moto avviene per valori fra 2000 e 2500 per i condotti industriali, e per valori intorno a 1000 per condotti naturali. Per l'aria il valore di r v per cui si ha la transizione corrisponde a circa 0.015 m²/s, per l'acqua e` 0.002.

La viscosita` dinamica rappresenta la capacita` del fluido di trasmettere un flusso di quantita` di moto. La viscosita` cinematica u_c=u/d descrive la diffusivita` della quantita` di moto. Essa dipende da temperatura e pressione. Approssimativamente, per l'aria u_c = (13.2 + 0.09 T[C]) 10^-6 m²/s, e per l'acqua u_c = (1.79 - 0.04 T[C]) 10^-6 m²/s.

L'equazione che descrive il moto dei fluidi (Navier-Stokes) e` molto complessa, e solitamente si ricorre a semplificazioni. L'equazione di Saint-Venant esprime la conservazione della massa e della quantita` di moto e si adatta al moto in canali. Se h e` l'altezza del fluido e b(h) la larghezza (superficiale), v la velocita` (supposta uniforme in tutta la sezione, che non e` vero), per cui il flusso e` Q=vA (A e` l'area), q rappresenta gli apporti laterali al flusso, Nella seconda equazione, i primi due termini sono la derivata temporale totale della velocita`, il terzo e` la variazione della pressione. A destra c'e` il contributo della variazione di quota, l'attrito e la quantita` di moto (longitudinale) degli apporti di flusso. Per l'attrito c'e` la formula empirica di Manning, dove R e` il raggio idraulico (=area/perimetro), e n un coefficiente che per i canali (senza vegetazione) vale 0.03-0.07 [766] .

Le perdite di carico F_R rappresentano la dissipazione di energia dovute ad attriti per il movimento del fluido. Si misurano in metri, secondo la relazione che eguaglia la caduta di pressione alle perdite di carico, In regime laminare le perdite di carico sono proporzionali alla velocita` e quindi al flusso. A lato destro c'e` la differenza fra le pressioni motrici, P_m = d g Z + P + d v²/2.

In un condotto lungo e stretto, quale un tubo, in regime laminare il profilo di velocita` dipende dalla distanza radiale, La velocita` media, definita in modo che la portata sia Q = A v_M, risulta v_M = (P₂ - P₁)/(8 L u) R² Le perdite di carico sono proporzionali alla velocita` media del flusso (formula di Hagen-Poiseuille) dove L e D sono le dimensioni (lunghezza e diametro) del condotto, u e` la viscosita` (dinamica) del fluido e d e` la sua densita`. Per l'aria d=1.24 Kgp/m<sup>3</sup> e u=0.0018 Kg/m s (a 0 °C, dato che entrambe questi coefficienti dipendono dalla temperatura), percio` le perdite di carico per l'aria in un condotto in regime laminare sono (unita` MKS)

Per una fessura bassa (apertura H) e larga (Y) il profilo di velocita` in regime laminare vale La velocita` media e` v<sub>M</sub>= (P<sub>2</sub> - P<sub>1</sub>)H<sup>2</sup>/12 L u. Le perdite di carico sono (L e` la lunghezza della fessura) Percio` nelle microfratture la portata dipende con legge cubica della apertura della frattura [904] .

Il moto dell'aria puo` avvenire in regime laminare nelle grosse sale. Nelle gallerie, invece il moto e` generalmente in regime turbolento. In questo caso le perdite di carico sono proporzionali al quadrato della velocita`, (formula di Darcy-Weisbach; f e` il coefficiente d'attrito, o coeffciente delle perdite di carico) Questa e` abbastanza importante. Le perdite di carico sono pari alla pressione motrice, la quale e` approssimativamente proporzionale alla differenza di temperatura fra interno ed esterno. Il flusso di aria e` proporzionale alla velocita` (a parita` di sezione). Quindi il flusso dipende dalla radice quadrata della differenza di temperatura.

La letteratura abbonda di formule empiriche per il coefficiente di attrito. Per tubi lisci la formula di Blasius f = 0.316 Re^-0.25 da` un valore inferiore a circa 0.04. Una formula piu` generale e` quella di Colebrook dove e e` la rugosita` relativa del condotto (rapporto fra la dimensione delle irregolarita` e il diametro). La figura riporta i valori di f per alcuni tipici valori della rugosita` al variare del numero di Reynolds. Per numeri di Reynolds elevati il coefficiente d'attrito tende a dipendere solo dalla rugosita`. Per le grotte dunque possiamo assumere f=0.1 - 0.2 come ordine di grandezza [766] .

Dal grafico delle perdite di carico in funzione del numero di Reynolds (ovvero della velocita` del flusso), v. figura, si vede che per piccole velocita` le perdite di carico in regime laminare sono maggiori che quelle in regime turbolento, mentre per grandi velocita` avviene l'opposto. Il fluido spinto dalla forza (P<sub>2</sub> - P<sub>1</sub>)/L si pone nello stato di moto che piu` efficacemente riesce a contrastare (mediante le perdite di carico) questa forza. A basse velocita` le perdite di carico variano linearmente con la portata. Ad alte velocita` la variazione diventa quadratica.

Le perdite di carico sono tanto piu` importanti quanto piu` l'aria scorre velocemente, e quindi nelle strettoie dove la velocita` del flusso cresce inversamente proporzionale alla sezione (per mantenere uguale portata nella condotta larga come nella strettoia; trascurando la compressibilita`),

Le perdite di carico nelle sale (regime laminare) sono solitamente trascurabili rispetto a quelle delle gallerie (regime turbolento). Anche curve ed repentini allargamenti e restringimenti hanno perdite di carico dove il coefficiente c e` prossimo all'unita`.

Una galleria lunga ha un numero di svolte approssimativamente pari al numero di tiri di rilievo, N=L/D dove D e` la distanza media di un tiro di rilievo. L'ampiezza media delle curve e` stimabile in base al rapporto fra lo spostamento S e la lunghezza della galleria: a=2 arcsin(S/L). Il valore medio del coefficiente c per le curve e` (1-a/π)/(1+2a/π) (Questa formula esprime il fatto che c vale 0 per curve a 180 gradi, 0.25 per curve a 90 gradi e 0.50 per curve a 45 gradi). Pertanto le perdite di carico per una galleria sono

Capacita` termica. Quando un corpo cede calore si reffredda, e si riscalda quando ne acquista. Il calore si misura in calorie, ma dato che e` una forma di energia si puo` esprimere in Joule: 1 cal = 4.186 J. La variazione di temperatura e` proporzionale al calore scambiato, Q, e alla massa del corpo, m: Il coefficiente di proporzionalita` C e` chiamato capacita` termica (o calore specifico). La tabella sottostante riporta alcuni valori di C (alla pressione di 1 atm; da tener presente che C varia con la temperatura). La capacita` termica dell'acqua e` molto superiore a quella dell'aria, pertanto quando aria ed acqua sono insieme l'aria tende ad assumere la temperatura dell'acqua, a meno che la quantita` d'aria non sia molto superiore a quella dell'acqua. Questo avviene, per esempio, per la pioggia: le goccie di pioggia attraversano cosi` tanta aria che la loro temperatura e` determinata da questa, percio` la pioggia arriva al suolo ad una temperatura prossima a quella ambiente.

Per le sostanze gassose questi valori si riferiscono alla capacita` termica a pressione costante. Questa comprende anche l'energia per dilatare il gas contro la pressione esterna. La capacita` termica a volume costante e` inferiore (per l'aria vale 713 J/Kg C). Per una mole,

La capacita` termica dei gas varia poco con la temperatura. Quella dell'acqua invece decresce fino a circa 30°C per poi crescere; per basse temperature C_acqua = 4.218 - 0.0035 T[°C].

La capacita` termica del calcare e` variabile in dipendenza della variabilita` della roccia.

Calore latente. Quando l'acqua fonde, (cioe` passa da ghiaccio ad acqua liquida) essa assorbe calore, ma la sua temperatura non varia. Il calore necessario per cambiare di stato un grammo di una sostanza e` detto calore latente (di fusione, o evaporazione, o sublimazione). I calori latenti per l'acqua sono riportati nella seguente tabella. L'espressione del calore di evaporazione in funzione della temperatura e` detta formula di Reynolds. Da notare che il calore latente di evaporazione dell'acqua decresce al crescere della temperatura.

Calori latenti per l'acqua	cal/g	KJ/g
Evaporazione	598 - 0.55 T[°C]	2.26
Fusione	79.8	0.334
Sublimazione	678	2.83

La trasmissione del calore avviene per

1. conduzione, cioe` per contatto diretto fra due oggetti;
2. convezione, per moti di rimescolamento nei fluidi;
3. irraggiamento.

Il flusso di calore trasmesso per conduzione e` dove A e' l'area di contatto e L e` lo spessore attraverso cui avviene la trasmissione. Il coefficiente K e` la conducibilita` termica della sostanza. Questa relazione esprime la proporzionalita' fra il flusso di calore e la differenza di temperatura, ed e' simile alla legge di Ohm. Il termine K A/L si chiama conduttanza termica, e il suo reciproco e' la resistenza termica. Per la composizione di conduttanze e resistenze in serie e/o in parallelo valgono relazioni analoghe a quelle dell'elettrotecnica.

La roccia ha maggiore conducibilita` termica dell'acqua. Percio` gli scambi di calore aria-roccia sono maggiori per la roccia asciutta che per quella coperta da un velo d'acqua [905] . Questo non e` piu` vero se l'acqua e` in movimento (turbolento), per cui si instaurano meccanismi convettivi di scambio di calore.

La diffusivita` termica descrive la velocita` di evoluzione di una distribuzione di temperatura in un corpo, a_t = K/(d c_p). Si misura in m²/s.

L'effusivita` termica e` l'attitudine di una sostanza a trasmettere un flusso di calore in regime transitorio. E` definita come b_t = ( K d c^p )^1/2 e si misura in J/m² C s^1/2.

Il calore e` trasmesso per convezione quando la trasmissione e` dovuta al movimento di masse, a diversa temperatura, all'interno di un fluido. Un fluido e` in convezione naturale quando il suo moto e` dovuto solo a differenze di densita` indotte dai gradienti di temperatura al suo interno. Si parla di convezione forzata quando il moto del fluido e` indotto da altre forze esterne. Percio` l'aria dei moti convettivi che coinvolgono tutta la grotta e` in convezione forzata rispetto allo scambio termico con le pareti. Piccoli moti convettivi locali possono essere invece considerati come convezione naturale.

Il calore emesso per irraggiamento e` dove A e` l`area del corpo, e S=4.96 10^-8 Kcal/m² ora °K⁴. E si chiama coefficiente di assorbimento della sostanza (poiche' ogni sostanza emette radiazione tanto bene quanto la assorbe). L'energia irradiata non si distribuisce uniformemente, ma proporzionalmente al coseno dell'angolo che la direzione di emissione forma con la normale alla superficie (legge di Lambert).

Il calore trasmesso per irraggiamento da un corpo a temperatura T₁, ad un altro corpo a temperatura T₂ inferiore, e' dove E' dipende dalla configurazione geometrica e dai coefficienti di assorbimento dei due corpi. Per pareti vicine e parallele, E' = 1 / ( E₁^-1 + E₂^-1 - 1 ) Se il corpo freddo contiene quello caldo (come nel caso della galleria e dello speleologo) E' = 1 / ( E₁^-1 + (A₁/A₂) [ E₂^-1 - 1 ] ) e, trascurando l'area dello speleologo rispetto a quella della galleria, E' = E₁ A₁.

Il sole ha una temperatura superficiale di 6000°K percio` emette radiazione essenzialmente tra 0.2 e 2.5 micron. La terra con una temperatura di circa 300°K emette radiazione infrarossa con lunghezza d'onda tra 4 e 24 micron. Il flusso netto di energia (energia che arriva alla terra dal sole meno quella emessa) e` di circa 2 cal/cm² al minuto. Al crescere della latitudine questo valore diminuisce con il seno della latitudine oltre che per effetti di assorbimento nell'atmosfera. Esso si ripartisce in calore ceduto all'aria, calore trasmesso al suolo, calore utilizzato per l'evaporazione, e calore per la fotosintesi (quest'ultimo vale 1 - 3% ed e` sovente trascurabile). Con la novolosita` circa meta` della radiazione solare viene riflessa e non raggiunge il suolo.

Lo scambio di calore tra un fluido e una parete solida, con cui e` a contatto, e` descritto dalla relazione dove h e` detto coefficiente di adduzione ed e' la somma del coefficiene di conduzione/convezione (o semplicemente coefficiente di convezione) h<sub>c</sub>, e di quello di irraggiamento h<sub>r</sub>. Il primo dipende da molti fattori, tra cui la natura e velocita' del fluido, la rugosita' della parete, e la temperatura media. La tabella sotto riporta alcuni valori piu' comuni. Da notare che per un condotto h cresce al diminuire del diametro. Percio` il flusso di calore nelle strettoie e` favorito rispetto alle sale. Tuttavia la differenza non e` cosi` marcata da concentrare tale flusso solo nei punti stretti (come avviene per le perdite di carico). Il flusso di calore e` meno sensibile alle rogosita` delle perdite di carico.

Il contributo dovuto all'irraggiamento e' h_r = 4 ( 1 + T/100 ) a, dove a e' il coefficiente di assorbimento, e la temperatura e` espressa in °C. Il calore scambiato per irraggiamento risulta comparabile con quello trasmesso in convezione naturale. Entrambi sono trascurabili in convezione forzata.

Il coefficiente di convezione h puo` essere espresso, facendo una analisi dimensionale delle quantita` coinvolte, tramite variabili adimensionali ("numeri"). Assieme al numero di Reynolds si definiscono altri numeri:

Reynolds	Re	D v d / u	...
Nusselt	Nu	h L / K	Rapporto fra flusso di calore convettivo e conduttivo
Prandtl	Pr	C u / K	Rapporto fra coefficienti di diffusione della quantita` di moto e del calore
Grashof	Gr	(L3 d / u2) d g a (T - To)	...
Rayleigh	Ra	Gr Pr	...
Richardson	Ri	Gr / Re2	Rapporto fra convezione naturale e forzata
Froude	Fr	v / (L g)1/2	Radice del rapporto fra forza di inerzia e forza di gravita`
Eulero	Eu	d v2 / P	Rapporto fra forza di inerzia e pressione
Mach	Ma	d1/2 v / E1/2	Radice del rapporto fra forza di inerzia e forza elastica
Weber	We	d L v2 / s	Rapporto fra forza di inerzia e tensione superficiale
Schmidt	Sc	u / a	Rapporto fra viscosita` e diffusivita`
Sherwood	Sh	F / ( a DCv/L )	Rapporto fra flusso e flusso diffusivo

La tensione superficiale rappresenta il lavoro per portare le molecole del liquido dall'interno di esso a sopra la superficie, vincendo le forze di coesione. T - T_o e` la differenza di temperatura fra la parete e l'interno del volume di fluido. a e` il coefficiente di dilatazione isobara, percio` g d a (T-T_o) rappresenta il campo di forza agente sul fluido, a causa della differenza di temperatura, che quindi porta a moti convettivi.

Il numero di Nusselt esprime il rapporto fra il flusso di calore trasmesso per conduzione e quello per convezione. Il coefficiente di adduzione si esprime h=Nu K/L, quindi il flusso di calore si scrive

Nel caso dell'aria che percorre una galleria, il flusso di calore all'interno della massa d'aria e` trasmesso per convezione (moto turbolento), mentre tra aria e pareti c'e` uno strato limite (moto laminare con velocita` decrescente fino ad annullarsi a contatto con la parete) in cui il flusso di calore e` trasmesso per conduzione. Se il flusso convettivo predomina rispetto a quello conduttivo, la temperatura all'interno della massa d'aria e` abbastanza omogenea mentre si ha una variazione di temperatura fra aria e parete attraverso lo strato limite. E` quindi importante valutare il rapporto fra i due flussi di calore (cioe `il numero di Nusselt), dove D e` il diametro aeraulico della galleria (4 Area / perimetro), T e` la differenza di temperatura aria-parete, K e` la conducibilita` dell'aria, e F e` il flusso di calore trasferito per unita` di lunghezza della galleria.

Il numero di Grashof e` il quadrato del "numero di Reynolds" per la convezione naturale, per la velocita` v=[g a T(T-T_o)]^1/2 (dove a e` il coefficiente di dilatazione isobara; per i gas vale a=1/T). Esso differenzia il moto laminare (Gr <10⁹) da quello turbolento nella convezione naturale. Per il flusso di calore in convezione naturale i numeri di Nusselt sono Nu=0.5 Gr^0.25 (laminare) e Nu=0.13 Gr^0.33 (turbolento).

Nelle sale ove l'aria e` piu` fredda della roccia si instaurano cellule convettive a pavimento ascendenti alle pareti e discendenti al centro. Se invece l'aria e` piu` calda le cellule sono a soffitto ed hanno circolazione opposta. Sopra uno specchio d'acqua, se l'aria e` piu` fredda dell'acqua si hanno cellule convettive ascendenti al centro e discendenti ai bordi. Se l'aria e` piu` calda si ha stratificazione.

In base alla teoria cinetica, il numero di Prandtl, rapporto fra i coefficienti di diffusione della quantita` di moto (u/d) e del calore (K/d C<sub>p</sub>), dovrebbe essere pari al rapporto fra i calori specifici a pressione e volume costanti. In pratica, per i gas reali, e` abbastanza costante a parita` di numero di atomi nella molecola. Per i gas monoatomici vale 0.67, per i gas biatomici 0.70, e per quelli triatomici 0.89. Per l'aria vale Pr=0.71.

Un coefficiente globale e gli esponenti delle relazioni empiriche, che legano questi numeri, sono poi determinati sperimentalmente. Per la convezione forzata con moto turbolento (in un condotto a pareti liscie) si ha

Per i condotti naturali il coefficiente globale dovrebbe essere superiore. Se il fluido non cede calore l'esponente di N_Pr e` 0.4. In particolare per l'acqua (se non cede calore), e per l'aria [788]

In caso di moto laminare, per l'aria, N_Nu=3.66.

Per la convezione naturale, in assenza di accelerazioni e per pareti verticali, si ha N_Nu = 0.555 N_Ra^0.25. Per l'aria (su pareti alte Z) si puo` semplificare

Mettendo assieme l'equazione della variazione di temperatura con quella del flusso di calore, si ottiene una equazione di diffusione (per la temperatura, detta anche legge di Fourier), dove abbiamo inserito anche un termine q che rappresenta la produzione di calore. La soluzione di questa equazione non e` difficile. Per esempio nel caso stazionario (la temperatura non varia nel tempo) senza sorgenti di calore (q=0), per una parete si ha che la temperatura varia linearmente,

Valori tipici di un massiccio carsico (per 1 Km² di superficie) (v. Sez. 10.6 ):

• volume delle cavita`: 10<sup>5</sup> m<sup>3</sup>
• dislivello: 1000 m
• lunghezza delle gallerie: 10<sup>5</sup> m
• dimensione media delle gallerie: 1 m
• superficie delle gallerie: 10<sup>5</sup> m<sup>2</sup>
• superficie delle fratture: 10<sup>7</sup> m<sup>2</sup>
• flusso d'aria: 5 m<sup>3</sup>/s
• tempo di rinnovamento: alcune ore (circa 6)
• precipitazioni: 1000 mm/anno (pari a 10<sup>6</sup> m<sup>3</sup>/anno)
• risorgenze: 20 l/s
• apporto d'acqua di infiltrazione: 0.019 m<sup>3</sup>/s (coefficiente d`infiltrazione 0.6)
• apporto d'acqua di condensazione superficiale: 0.002 m³/s
• apporto d'acqua di condensazione interna: 0.000002 m³/s
• volume acquifero (per una riserva di 4 mesi) 2 10⁵ m³
• volume di roccia erosa 50 m³/anno (200 mgr/l disciolti (v. Sez. 10.5 )
• velocita` di speleogenesi 5 10^-5 m/anno

La roccia e` un pessimo conduttore di calore. Le variazioni di temperatura si trasmettono all'interno della roccia molto attenuate in ampiezza e ritardate di fase. Percio` la temperatura della roccia in profondita` e` essenzialmente stabile e costante, e pari al valor medio annuale delle temperature esterne degli ultimi millenni.

Prendiamo un sistema di riferimento in cui la roccia occupa la regione con coordinate x positive. L'equazione che modella la diffusione del calore nella roccia e` detta equazione del calore (o di Fourier), dove K e` la conducibilita` termica, C e` la capacita` termica e d e` la densita`. Questa formula deriva dalla formula della conducibilita` termica e dalla relazione della capacita` termica, che lega la variazione di temperatura con il flusso netto di calore.

Se la temperatura esterna alla roccia viene innalzata improvvisamente da T_o a T₁ si ha diffusione di calore all'interno della roccia. Il campo di temperatura risulta dipendere dal rapporto fra la distanza x e la radice quadrata del tempo t: y=x/(4 a t)^1/2 (dove a e` la diffusivita` termica della roccia), La distanza di penetrazione cresce come la radice quadrata del tempo

Il flusso di calore risulta (b e` l'effusivita` termica della roccia) D_tQ = K D_xT(0) = b (T₁ - T_o) (πt)_-1/2 e il calore trasmesso alla roccia in un intervallo di tempo t, ottenuto integrando il flusso di calore, e` Q=2 b (T₁ - T_o) (t/π)_1/2.

la soluzione della equazione di Fourier per una data temperatura esterna (nel punto x=0) oscillante, T_est(t) = T_o + A sin(w t), risulta dove L² = 2 K / w C d. Il profilo di temperatura all'interno della roccia risulta attenuato, ed oscilla con un ritardo di fase. L'attenuazione e il ritardo della fase variano con la radice quadrata della frequenza di oscillazione della temperatura esterna. Il ritardo di fase e` legato al rapporto dell'ampiezza delle oscillazioni da a=-log(R) (R e` il rapporto fra l'ampiezza esterna e quella interna).

Se si considera che lo scambio di calore fra aria e roccia avviene per convezione (tipicamente con coefficiente H = 10 Kcal/m² °C ora), la condizione al contorno sulla superficie aria-roccia e` 1/C D<sub>t</sub>T = H (T<sub>aria</sub> cos( wt ) - T ) + K D<sub>x</sub>T. Questo comporta un coefficiente davanti all'esponenziale, e uno sfasamento [Desio (1959)]. La figura seguente mostra come uno sbalzo improvviso di temperatura esterna penetra nella roccia al variare del tempo; per semplicita` si e` assunto che al tempo t₀ la tempertaura esterna salga instantaneamente a T₀, e al tempo t₁ essa ritorni a 0.

La diffusivita` termica, a, determina la profondita` della roccia connessa allo scambio di calore, L=(a_t t)^1/2. Tipicamente la distanza di penetrazione dell'onda termica vale (in metri) L=0.015 t[ore]^1/2, dove t denota il periodo dell'onda. Utilizzando i valori riportati nelle tabelle precedenti si trova che per variazioni giornaliere (w=0.26 h^-1, e assumendo una escursione di 10 °C: A=5) L vale circa 0.2, mentre un valore effettivo e` intorno a 0.3. Infatti l'intensita` e` ridotta a 1 °C circa gia` a 60 cm, e a 0.1 °C a 1 m. Per quelle variazioni annuali w e` 365 volte piu` piccolo, (e l'escursione e` maggiore A=15) e il calcolo di L (3.6) e` in miglior accordo coi dati sperimentali: le variazioni risultano ridotte a 1 °C intorno a 12 m.

La roccia influenza i fenomeni termici (a breve scala temporale) della cavita` solo per un piccolo strato "superficiale" (quello in contatto con i fluidi aria e acqua). La capacita` termica effettiva della roccia e` quindi La capacita` per unita` di superficie vale circa 1.6 KJ/°K (t[s])^1/2.

Un massiccio carsico e` attraversato da fluidi (aria e acqua), che trasportano energia al suo interno, percio` la temteratura della roccia, non e` solamente governata da un processo diffusivo. Un secondo modello e` quello "filtrativo" [906] . In questo modello si considera la roccia come un capacitore termico, e i fluidi che l'attraversano come responsabili per l'apporto di energia. Una ipotesi molto forte e` quella della "immediata" distribuzione dell'energia all'interno della roccia. Si assume che la temperatura del flusso entrante (e quindi l'energia entrante) vari sinusoidalmente. Questo descrive oscillazioni giornaliere o annuali.

Matematicamente il sistema e` simile a un circuito RC cui viene applicata una tensione alternata, La soluzione dipende dal parametro Q = C w / F, La temperatura nel massiccio ha una ampiezza di oscillazioni ridotta rispetto alla temperatura esterna, ed oscilla con un ritardo. Il ritardo di fase e` legato alla riduzione in ampiezza delle oscillazioni, R=T_A/T_max, da a = tan((R²-1)^1/2).

Un altro modello e` quello "a scambiatore". Questo modello prevede che i fluidi attraversino il massiccio e scambiano calore con la roccia localmente. La variazione di temperatura del fluido in un dato punto sono dovute allo scambio con la roccia, al flusso del fluido, ed a eventuali apporti energetici (eg, conversione di energia potenziale in energia termica). La variazione di temperatura della roccia dipende solo dallo scambio termico con il fluido, Trascurando il termine di generazione di calore (v S) ed assumento una soluzione oscillante, si ottiene dove n=g/(bw) (e analoga per n_f), e v'=v/w.

Per v tendente ad infinito, questo modello si riduce al modello "filtrativo". In generale esso ha anche una componente di scambio di calore, tuttavia non "diffusivo"; lo smorzamento e il ritardo di fase variano come w² per basse frequenze. Il ritardo di fase varia in funzione di R quasi come nel modello diffusivo: a = a₁ - a₂ log(R).

In un pozzo verticale, in assenza di modi convettivi, la temperatura dell'aria segue la legge di Newton [788] , dove T_p e` la temperatura delle pareti (supposta uniforme). Se T<sub>e</sub> e` quella esterna, il profilo di temperatura e` esponenziale decrescente, T(x) = T<sub>p</sub> + (T<sub>e</sub> - T<sub>p</sub>) exp( - k x ). Il coefficiente k dipende dalla conducibilita` termica dell'aria, C, e dalla sezione S del pozzo: k = ( a / S c )^1/2, dove a e` il coefficiente di scambio termico fra aria e pareti.

Il profilo di temperatura di un pozzo aperto all'esterno, in assenza di moti d'aria, dipende dalla temperatura delle pareti T_p e da quella esterna T_e (legge di Newton), dove k=(a/KS)^1/2, S e` la sezione del pozzo, e K la conduttivita` termica dell'aria. a e` un coefficiente di scambio termico aria-pareti [788] . Questa relazione puo` essere generalizzata al caso in cui le pareti non hanno temperatura uniforme.

Quando l'aria e` in movimento la relazione diventa (unita` MKS) dove a_t e` la diffusivita` termica dell'aria, v la velocita`. A=0.692 e B=18.2.

Se si tengono in conto anche gli scambi di vapore, cioe` la variazione della massa q di vapore nell'aria, si hanno le relazioni dove y=x/x<sub>o</sub> e x<sub>o</sub>=(d<sub>vap</sub> R C<sup>p</sup> v)/(2K) e` la lunghezza caratteristica della variazione di temperatura, R e` il raggio del pozzo.

A parte una piccola zona iniziale in cui la temperatura sale (in estate) e scende (in inverno), rispetto a quella esterna, la temperatura segue un profilo esponenziale decrescente verso il valore limite tipoco della cavita`. L'andamento nella zona iniziale e` dovuto al riequilibrio delle condizioni di umidita` nell'aria entrante.

Tenendo conto degli scambi convettivi, cioe` del trasferimento di calore dovuto al movimenti dell'aria (advezione), l'equazione di Fuorier contiene anche un termine di trasporto (il prodotto della velocita` per il gradiente della temperatura), Abbiamo anche aggiunto un termine q di sorgenti di calore, a destra, per esempio dovute ad effetti dissipativi (attrito).

Quando l'aria e` in moto turbolento, il trasferimento di calore fra l'aria e la roccia e` regolato dal flusso conduttivo, che si ha nello strato limite laminare a contatto con la parete. Questo ha uno spessore dell'ordine u/v. Percio` il fenomeno della turbolenza aumenta iltrasferimento di calore di un fattore Dv/u (D e` il diametro della galleria), cioe` di un fattore proporzionale al numero di Reynolds. In realta` l'incremento cresce come Re^0.8 [420] .

La composizione dell'aria secca consiste di azoto N₂ 78.1% ossigeno O₂ 20.9% anidride carbonica CO₂ 0.03% argon Ar 0.9% e altri gas [796] . L'apporto di un componente influenza tutte le percentuali. Per esempio, mettendo il fornelletto sotto il telo termico la fiammella bruciando produce CO₂ e consuma ossigeno; ne risulta che l'atmosfera sotto al telo termico ha una elevata percentuale di anidride carbonica (per es. 5% ) ed una ridotta di ossigeno.

La pressione parziale della CO₂ nell'atmosfera esterna vale P(CO₂) = 0.0003 P, dove P e` la pressione totale, e decresce quindi leggermente con la quota (secondo la legge di Dalton varrebbe 0.00025 atm a 2000 m, in effetti vale un poco meno, probabilmente poiche` l'anidride carbonica e` piu` densa dell'aria e tende a scendere in basso).

L'atmosfera del suolo vegetale risulta ricca di CO₂ a causa della decomposizione organica. Questa anidride carbonica si forma dunque a spese di O₂; percio` la somma delle percentuali di CO<sub>2</sub> ed O<sub>2</sub> resta pressoche` costante intorno al 21% (variazioni sono dovute ai fenomeni che coinvolgono consumo e produzione di azoto). La decomposizione organica diminuisce con l'altitudine, percio` anche la percentuale di CO₂ nel terreno.

L'atmosfera del suolo e quella esterna sono in contatto e si instaura uno scambio CO₂ <-->O₂ fra le due. Nel suolo P(CO₂) = 0.02 - 0.04 P. Solo una piccola parte di questa CO₂ passa in soluzione nell'acqua di percolazione ed entra nella cavita`: circa 0.0020 atm. Questa e` comunque sufficiente a saturare l'acqua di CO₂ rispetto alla atmosfera della grotta, ed innesca la chimica del concrezionamento.

Se la temperatura dell'aria fosse costante (atmosfera isoterma) la pressione avrebbe un andamento decrescente esponenzialmente con la quota z, P(z) = P(0) exp( -g d z / R T). Questa e` la situazione della parte estremamente alta dell'atmosfera, la stratosfera fra 10 e 50 km. Nella parte bassa dell'atmosfera la temperatura invece cambia e le variazioni dell'aria sono piu` simili a trasformazioni adiabatiche (cioe` senza scambio di calore).

Le trasformazioni adiabatiche permettono di descrivere le variazioni dell'aria, svincolate dagli scambi con fattori esterni (acqua e pareti). Per i gas vale la legge di Laplace dove k=C_p / C_v e` il rapporto fra i calori specifici a pressione e volume costanti (che vale 1.4 per l'aria). Utilizzando la legge dei gas questa formula diviene T^k P^1-k = costante. La pressione varia con la quota, D_ZP = - g d, quindi la variazione di temperatura risulta Dunque la temperatura decresce linearmente con la quota con un gradiente termico altimetrico Esprimendo k in funzione del gradiente termico G, si ha k = [1 + G R /(g M)]^-1.

Riassumendo abbiamo

Queste formule valgono anche per k diverso dal rapporto fra i calori specifici. In questo caso si parla di trasformazioni politropiche. Sono trasformazioni in cui il calore scambiato e` proporzionale alla differenza di temperatura, Q=c (T₂-T₁), e k=(c_p-c)/(c_v-c) viene chiamato esponente politropico. La tabella sopra riporta alcuni valori del gradiente termico altimetrico per differenti k corrispondenti a differenti condizioni dell'aria. Sono inclusi per confronto anche i gradienti idrico e geotermico.

In prima approssimazione il gradiente di pressione risulta D_zP = - M_a g / R T_o, percio` indipendente dall'esponente politropico. L'energia per innalzare una massa d'aria di una quota z risulta Quando l'aria scende, le forze che la spingono compiono un lavoro di compressione cha va in energia interna dell'aria. Quando sale e` l'aria che compie un lavoro e perde energia.

Per l'aria umida si assume che la temperatura (in °C) varia all'incirca come il logaritmo della pressione. Risulta che

L'atmosfera e` raramente composta solo da aria, ma contiene anche una piccola percentuale di vapor d'acqua che ne condiziona pero` molto il comportamento. Si parla di aria umida. Una tale atmosfera puo` essere considerata come una miscela di due "gas": aria e vapor acqueo. Anche se il primo e` a sua volta una miscela, tuttavia esso e` composto da gas con comportamento abbastanza simile (alle temperature e pressioni ordinarie) e che si differenzia decisamente da quello del vapore d'acqua. Pertanto la descrizione come una miscela a due componenti e` adeguata per lo studio del clima ipogeo.

L'umidita` assoluta si esprime in due modi,

1. come concentrazione cioe` grammi di vapore per m<sup>3</sup>(aria), o meglio come "titolo", che e` il rapporto fra la massa di vapore e quella dell'aria secca, x_v = m_v / m_a. Rispetto alla frazione di massa, x_v = w_v/(1-w_v).
2. con la pressione parziale (tensione di vapore) del vapor d'acqua nell'aria, misurata in mm(Hg) o in millibar (ricordiamo che 1 atm = 760 mm(Hg) = 1013 mbar). La pressione parziale coincide con la frazione molare di vapore, a_v = P_v/P = N_v/N.

Il titolo e` legato al rapporto fra le pressioni parziali di vapore e aria secca, x = 0.622 P<sub>v</sub> / ( P - P<sub>v</sub> ). Il coefficiente 0.622 e` il rapporto fra il peso molecolare del vapor acqueo, 18, e quello effettivo dell'aria, 28.9. L'umidita` assoluta massima dipende dalla temperatura; un'aria piu` calda puo` contenere piu` vapor acqueo. L'umidita` relativa e` il rapporto umidita` assoluta e umidita` assoluta massima (cioe` quella di saturazione) a quella temperatura. Quando l'umidita` assoluta ha il valore massimo si ha una umidita` relativa del 100

In grotta la pressione di vapore e` solitamente una frazione della pressione totale. Percio` il titolo di vapore vale circa il 62 % della pressione parziale di vapore relativa.

L'umidita` relativa viene misurata con uno psicometro. Essenzialmente si tratta di due termometri di cui uno col bulbo asciutto e l'altro col bulbo bagnato, investiti da una corrente d'aria di circa 3-4 m/s. Il termometro a bulbo bagnato segna una temperatura inferiore poiche` la corrente d'aria viene raffreddata dalla evaporazione (isoentalpica). Il punto di tale termometro si trova sulla curva di saturazione. Misurando anche la temperatura del termometro a bulbo asciutto si risale al valore dell'umidita` relativa, poiche` i due punti stanno su una curva isoentalpica, dove P e` la pressione (in mbar) e P<sub>sat</sub> e` la tensione di vapore (in mbar) ottenuta dalla tabella sotto o dal diagramma a lato. Psicometri a bulbo hanno una accuratezza del 1% , ma non sono semplici da portare in grotta. Strumenti elettronici per la misurazione dell'umidita` di basano sulla variazione della capacita` di un condensatore, dovuta alla umidita` dell'aria (psicometri capacitivi), e raggiungono una accuratezza del 2% . In ogni caso entrambi i tipi di psicometro risultano inaccurati quando l'umidita` relativa e` superiore al 98-99% [503] .

La temperatura di rugiada e` quella a cui l'aria raffreddata a pressione costante, diviene satura (ed inizia a condensare).

La pressione di saturazione e` concava verso l'alto. Percio` quando si ha mescolamento di due correnti d'aria, pressoche` sature, a diversa temperatura l'aria risultante risulta sovrassatura e quindi si ha condenzazione. Questo puo` avvenire all'incrocio di due gallerie dove confluiscono due sistemi con temperature differenti (condensazione per miscelazione). Il punto di miscelazione e` dato dalla conservazione del titolo di vapore e dell'entalpia,

Esistono formule empiriche per esprimere la quantita` di vapore di saturazione (T espressa in gradi assoluti),

Piu` semplicemente (fra -2 e 27°C) si puo` usare (T in gradi centigradi),

Una formula approssimata per la pressione di vapore discende dalla equazione di Clausius-Clapeyron, dove Q'_evap e` il calore di evaporazione di una molecola. Al denominatore compare la differenza di volume nel passaggio dallo stato liquido a quello di vapore. Trascurando il volume allo stato liquido (rispetto a quello di vapore) e usando la legge dei gas perfetti, si ha (usando Q_evap, il calore di evaporazione molare)

La formula di Golod e` una approssimazione di questa: P<sub>sat</sub>(T) = P<sub>o</sub> e<sup>Q/R</sup> (1/T<sub>o</sub> - 1/T), dove P<sub>o</sub> e T<sub>o</sub> sono la pressione e la temperatura [in °K] del punto triplo, e Q e` il calore di evaporazione.

Il titolo di saturazione dipende dalla temperatura, tramite la pressione di vapore di saturazione P_v,sat, percio` quindi il titolo di saturazione decresce con la temperatura. E` quello che succede quando aria calda ed umida va contro alle montagne e viene innalzata: si raffredda, diventa soprassatura e quindi si ha condensazione e precipitazioni. Fra -10 e 20°C possiamo approssimare il titolo di vapore di saturazione x_sat=5+0.4 T[°C] (gr/m³).

Dalle formule sopra esposte si vede che, poiche` la pressione di vapore di saturazione e` piccola rispetto alla pressione, il titolo di saturazione decresce col crescere della pressione.

La densita' dell'aria (secca), ovvero il volume di una massa d'aria (a pressione costante), dipende dalla temperatura secondo la legge dei gas perfetti, dove V_o e' il volume a 0°C, T e' la temperatura espressa in gradi centigradi, e a e' detto coefficiente di dilatazione, e per l'aria (come per i gas) vale 1/273 = 0.00376.

Per l'acqua il volume specifico, tra 0 e 20°C, si puo' esprimere V = V_o( 1 + 0.0000075 (T-4)² ).

La densita` dell'aria e` la media (pesata in base alle frazioni molari) dei suoi costituenti. Essa varia con la pressione D_Pd=1.253 10^-3 Kg/m^-3 Pa, con la temperatura D_Td=0.00451 Kg/m^-3 C, con la quota (poiche` la pressione varia con la quota), con l'umidita` (relativa) D_Ud=-0.0042 Kg/m^-3, e con la frazione molare di CO₂ (supponendo che questa cresca a scapito dell'ossigeno) D_CO2d=0.519 Kg/m^-3 [420] .

La densita` dell'aria umida dipende dall'umidita` relativa, U_r, dove M_a=0.0289 Kg/mol, e il coefficiente 0.375 e` il rapporto (28.8-18)/28.8. Si potrebbe introdurre una temperatura virtuale in modo da scrivere questa formula come la legge dei gas, d R T<sub>V</sub> = M<sub>a</sub> P. La temperatura virtuale e` la temperatura dell'aria secca alla quale la densita` eguaglia quella dell'aria umida.

Una seconda formula per esprimere la densita` dell'aria umida (in Kg/m<sup>3</sup>) e` dove P la pressione (in mbar), T la temperatura (in °K), e P_sat la tensione di vapore a 0°C.

L'aria secca e` piu` pesante di quella umida. Quindi si possono avere, in grossi condotti, fenomeni di decantazione in cui l'aria secca scende verso il basso e quella umida sale in alto. Le zone principalmente interessate dagli scambi termici sono quella alta (aria calda e umida) e quella bassa (aria secca e piu` ricca di CO₂).

L'entalpia rappresenta il contenuto energetico di un gas quando la pressione non varia. Per l'aria secca H = c_p T (a meno di una costante: si assume che H=0 per l'aria secca a 0 °C e per l'acqua allo stato liquido). L'aria umida ha maggior entalpia di quella secca, poiche` "contiene" anche l'energia del vapore (entalpia di evaporazione, o calore latente di evaporazione), oltre al fatto che il vapore d'acqua ha capacita` termica superiore a quello dell'aria, L'entalpia cresce con la temperatura (T in gradi centigradi); approssimativamente, H = exp( 2.4 + 0.07 T - 0.00023 T²). Il vapor acqueo e` poco rilevante per quanto riguarda i trasferimenti di massa, ma e` molto importante per quelli di energia.

Quando l'aria entra in estate dall'esterno in grotta passa dalla temperatura esterna a quella interna scambiando calore con la grotta. La sua umidita` assoluta resta costante fino a che non raggiunge il punto di saturazione, dopodiche` il vapore comincia a condensare. Questa condensazione rappresenta un ulteriore trasferimento di calore dall'aria alla grotta. Per la stima del calore scambiato occorre valutare la differenza di entalpia dell'aria (e dell'acqua presente come vapore e in sospensione) tra l'esterno e l'interno.

L'entalpia dell'aria umida e` data dalla formula (questa e` entalpia specifica, cioe` per unita` di massa di aria secca) dove C_p sono i calori specifici a pressione costante, C_p,a = 0.24 cal/gr °C e C_p,v = 0.45 cal/gr °C. Il termine 595 rappresenta il calore di evaporazione dell'acqua, a 0 °C.

Nella formula dell'entalpia sono stati trascurati:

• un termine di energia cinetica dell'aria (1+x)/2 v²;
• la capacita` termica delle goccie d'acqua, C (D/d) T (dove D e` la massa di acqua sospesa, come goccioline, nell'aria, C la capacita` termica dell'acqua);
• l'energia superficiale di queste goccie, 3 D/(d' R) T<sub>S</sub> (dove d' e` la densita` dell'acqua, R e T_S sono il raggio e la tensione superficiale delle goccie).

All'interno della grotta l'aria si trova in genere in un ambiente tale da mantenerla satura di vapore, e una variazione di temperatura comporta una variazione della quantita` di vapore che puo` essere presente nell'aria. Dalla formula dell'entalpia si ottiene la capacita` termica effettiva dell'aria satura Per temperature intorno a 0°C risulta un valore di circa 0.48 cal/gr °K.

Il gradiente termico dell'aria umida dipende dalla temperatura e dalla quota (cioe` dalla pressione). Salendo l'aria si raffredda e il vapore condensa liberando calore. Quindi in generale il gradiente termico dell'aria umida e` inferiore a quello dell'aria secca. Un metro cubo d'aria che scende di 100 m trasforma l'energia potenziale E = M g Z = 1250 J. Dal bilancio energetico, E = C^eff(T₂-T₁), risulta che l'aria umida ha un gradiente termico (adiabatico umido) di - 5.5 °C/Km circa. Questo valore corrisponde ad un gas con esponente politropico k=1.18.

La quantita` massima (di saturazione) di vapore cresce con la temperatura con andamento non-lineare, e la variazione di temperatura con la quota e` [508] dove L e` il calore latente di condensazione, e w e` il rapporto fra la massa di vapore e quella d'aria (cioe` la percentuale in massa del vapore).

La seguente tabella riporta i gradienti termici dell'aria umida in dipendenza di quota e temperatura. I valori del gradiente adiabatico umido sono compresi fra -4 e -6 C/Km per la maggior parte delle grotte. Approssimativamente, D_zT = -4.26 - 0.113 T + 0.227 z [T in C, z in Km].

Il gradiente termico dell'atmosfera esterna e` molto variabile. Nelle giornate assolate e secche puo` arrivare a -10°C/Km; nelle giornate piovose e` vicino a quello dell'aria umida. La seguente tabella riporta i valori per l'Italia settentrionale e meridionale.

Il valore dell'atmosfera standard e` -6.5 °C/Km. Esso dipende, oltre che dalle condizioni atmosferiche, dalla latitudine e dal periodo dell'anno. Questo valore corrisponde ad un esponente k=1.235.

Una massa d'aria secca se forzata a salire o scendere (per esempio quando va contro un rilievo) si muove in su e giu` in condizione adiabatiche poiche` i tempi di scambio del calore sono superiori a quello del movimento. Pertanto si hanno condizioni di stabilita` (o instabilita`) atmosferica a seconda che il gradiente reale e` inferiore (o superiore) al gradiente termico adiabatico della massa d'aria in movimento. Le condizioni di stabilita` sono tipiche delle belle giornate invernali, quelle di instabilita` sono tipiche delle giornate estive. Il gradiente adiabatico e` dunque il limite di demarcazione fra stabilita` ed instabilita`. Se l'aria in movimento e` umida, il suo gradiente resta approssimativamente quello adiabatico secco finche` non si ha saturazione di vapore. Dopodiche` diventa il gradiente umido. Per cui, anche se inizialmente l'aria e` stabile, essa puo` divenire instabile se forzata in salita fino alla condensazione. Un esempio di questo fenomeno e` dato dai temporali in montagna.

Il raffreddamento dell'aria umida satura, porta a condensazione di vapore acqueo e formazione di nebbia (acqua in sospensione). La condizione di stabilita` e` allora determinata sia dal gradiente di temperatura che da quello di concentrazione d'acqua.

Un gradiente di concentrazione a di anidride carbonica modifica il valore del limite di stabilita`, cioe` del gradiente adiabatico [420] ,

La velocita` del suono e` la velocita` di propagazione delle variazioni di pressione. In aria, essa dipende dal grado di umidita` (q pari al rapporto fra massa di vapore a massa d'aria): dove k_a e k_v sono i coefficienti adiabatici di aria e vapore (1.4 e 1.33, rispettivamente), m_a e m_v le masse molari di aria e vapore (28.9 e 18, rispettivamente) e R_a e` la costante dei gas divisa per la massa molare dell'aria.

Quindi che differisce dal risultato ottenuto trascurando il vapore acqueo di circa 1La velocita` del suono (a temperatura ambiente) vale circa 380 m/s.

L'acqua ha anche un ruolo di equilibratore di atmosfere. Infatti i gas di una atmosfera a contatto con un bacino d'acqua si sciolgono in parte in essa secondo la legge di Henry dove P e` la pressione parziale del gas nell'atmosfera sovrastante, C e` la concentrazione del gas in soluzione, e L e` un coefficiente (che varia con la temperatura, e il gas).

Pertanto se un bacino d'acqua collega due ambienti con atmosfere di differente composizione, i gas diffondono attraverso l'acqua tra i due ambienti fino a che non hanno la stessa composizione. In pratica questa diffusione avviene molto lentamente. Per esempio la diffusivita` della CO<sub>2</sub> in acqua e` circa 10^-9 m²/s, mentre quella nell'aria e` dell'ordine 10<sup>-5</sup> m<sup>2</sup>/s. Percio` e` la prima che condiziona la cinetica della degassazione (e quindi la velocita` del concrezionamento).

La massa di CO₂ disciolta in acqua e quella contenuta nell'aria sono circa eguali se considerate per unita` di volume (cioe` per m³). La massa di CO₂ in aria e` proporzionale alla sua frazione molare, cioe` alla pressione parziale, m_CO2 = 1.58 m_aria P_CO2. Il coefficiente e` il rapporto fra i psi molecolari. La massa in acqua e` V L P_CO2. Il rapporto fra le due e` vicino a uno.

Il trasporto di soluti attraverso un mezzo permeabile e` rilevante per l'analisi di situazioni di inquinamento e per tracciamenti. Il problema e` ancor piu` complesso se i soluti sono reattivi. L'equazione di trasporto e` [907] dove C e` la concentrazione, v la velocita`, d la densita` del mezzo poroso, n la porosita` (effettiva, cioe` il rapporto fra il volume dei vuoti connessi che consente il moto e il volume totale), e S e` la massa del soluto adsorbita. D e` il coefficiente di dispersione, legato alla dispersivita` a e al coefficiente di diffusione D',

La soluzione per un condotto a tubo, con condizioni al contorno, C(x=0, t)=C₀, C(x,0)=0 (e C che si annulla all'infinito) e` (Ogata 1970), Il profilo della concentrazione presenta un fronte in avanzamento, con una forma a "S" dovuta alla diffusione, e accentuata dalla dispersione. Se domina la diffusione o la dispersione dipende dal numero di Peclet vd/D' (dove d e` la dimensione delle particelle). Se esso e` basso domina la diffusione (D/D' e` minore o uguale a 1) se e` alto domina la dispersione (D/D' compreso fra 10 e 100).

Un modello discreto per descrivere il processo e` quello a sequenza di camere di miscelazione. Il flusso e` Q, e la concentrazione nelle varie camere e` C<sub>n</sub>. Le equazioni sono (tranne che per la prima camera, per cui manca il secondo termine a destra). La soluzione di questo sistema e`

Consideriamo la fisica di uno strato d'acqua di spessore Y depositato su una parete inclinata di un angolo t. La componente lungo la parete delle forza di gravita`, per metro quadro, e` d g sin(t) (Y-y), mentre l'attrito viscoso e` u dv/dz. Eguagliando queste due forze si ottiene il profilo di velocita` (stazionario) per cui la portata (flusso di massa), per metro di larghezza, e` (d<sup>2</sup> g sin(t) / 3 u) Y<sup>3</sup>, e la velocita` media v_M= d g sin(t) / (3 u) Y².

Considerando l'apporto d'acqua che condensa in un microvelo, si ha Q_evap dF_M/dz = (K/Y) DT, per cui il flusso risulta proporzionale alla potenza 3/4 dell'altezza, e lo spessore alla potenza 1/4 dell'altezza,

Dimensioni tipiche di un microvelo d'acqua sono 10 micron, per cui v=0.1 mm/s e F_M=10^-6 Kg/s (cioe` 0.1 litri/die). Questo corrisponde ad un flusso di calore, Q = Q_evap F_M, pari a circa 60 Kcal/die per metro quadro che fluiscono alla roccia portate dall'acqua che condensa sul velo.

Altri aspetti non considerati:

• tensione superficiale: limita il formarsi di un film troppo sottile. La superficie del velo richiede energia di formazione;
• interazione acqua-parete: all'interno del velo il calore diffonde verso la parete per conduzione;
• rugosita` della parete: da una parte interrompono il film, dall'altra riducendone lo spessore rendono lo scambio di calore piu` efficiente.

Il velo d'acqua che puo` scorrere lungo le pareti di un pozzo e` responsabile per l'allargamento del pozzo. Se lo spessore del velo e` dell'ordine di un millimetro, la velocita` media e` di circa 1 m/s. Il flusso e` in condizioni laminari (il numero di Reynolds e` circa 1000) e supercritico (il numero di Froude e` circa 5), cioe` la forza di inerzia e` superiore alla forza di gravita`, percio` si tratta di flusso rapido. Questo tende a ridurre le asperita` della parete. Infatti in presenza di una asperita` la velocita` diminuisce e il flusso diviene subcritico. La dissipazione di energia causata dalla transizione idrodinamica tende a rimuovere l'asperita`.

Il risultato e` la formazione di pozzi con pareti perfettamente verticali. Questi si originano all'incrocio di fratture o lungo fratture. Inizialmente la dissoluzione e` comparabile con quella del condotto orizzontale, ma poi la velocita` cresce rapidamente per il gradiente verticale. Valori tipici di dissoluzione sono 10 mMol cm^-2 s^-1, pari a circa 0.1 cm/anno. In queste condizioni un pozzo di 10 m di diametro impiega circa 4000 anni per svilupparsi.

La temperatura nel sottosuolo cresce linearmente (gradiente geotermico a causa del flusso di calore proveniente dal centro della terra. L'interno della terra emette un debole flusso di calore, Q_g = 59 KW/Km² = 14 Kcal/Km² s, dovuto alla compressione gravitazionale che ha portato alla formazione del pianeta. Risolvendo l'equazione della conducibilita` termica otteniamo che la temperatura cresce con la profondita` con un gradiente di circa 30°C/Km. Questo e` il motivo per cui le miniere in genere sono calde.

In un massiccio carsico, l'acqua penetra in profondita` e va ad intercettare il flusso geotermico (Q'=40-140 mW/m<sup>2</sup>) prima che questi arrivi alla superficie. Questo flusso non influenza la temperatura della zona non-satura se non come condizione al contorno di flusso di calore costante alla superficie inferiore [908] . Con una piovosita` media annua di 1000 mm, si ha che questa acqua si riscalda di 0.45°C. L'effetto di questo riscaldamento sul gradiente termico dell'acqua fra ingresso e risorgenti, e` tanto piu` rilevante quanto minore e` il dislivello. La roccia carsica e` molto meno affetta dal flusso geotermico e la temperatura delle grotte e` invece influenzata dai flussi (d'acqua e d'aria) che le attraversano [909] [910] .

Il flusso geotermico porta, in condizioni stazionarie, ad un gradiente geotermico D_zT = Q'/K = 24°C/Km, dove K e` la conducibilita` termica della roccia (2.5 W/m°K per il calcare). L'energia termica immagazzinata in uno spessore Z di roccia sotto una area A vale dove C e` la capacita` termica della roccia, e d la densita`.

Il tempo affinche` questa energia fluisca nel volume di roccia risulta t = Z<sup>2</sup>/(2 a), dove a=K/(C d) = 1.2 10<sup>-6</sup> m<sup>2</sup>/s e` la diffusivita` termica della roccia. Anche le variazioni di temperatura al "contorno" si propagano all'interno della roccia con un tempo dello stesso ordine, cioe` 0.01 Z² [y/m²].

Se l'acqua entra nel sistema alla quota H la temperatura della cavita` alla profondita` D e` T<sub>med</sub>(H-D) - (G<sub>std</sub> - G<sub>gr</sub>) D = T<sub>med</sub>(H) + G<sub>gr</sub> D, dove T<sub>med</sub> e` la temperatura media esterna nell'arco dell'anno, e G sono i gradienti termici dell'atmosfera standard, e della grotta. Il flusso di calore estratto dall'acqua, dipende dall'infiltrazione P (frazione della precipitazione), e, se tutto il flusso geotermico va a riscaldare l'acqua, la variazione di temperatura e` DT_geo = Q' / ( P C_a ) = 500/P [°C] (con P in mm/anno).

Se pero` il flusso geotermico e` intercettato da un acquifero con struttura a condotti (anziche` a "serbatoio"), il campo di tempartura e` distorto: un condotto agisce come una "lente" che attrae il flusso termico [911] . Il flusso termico che un condotto a temperatura T₁ sottrae a quello che raggiungerebbe la superficie, a temperatura T₀, e` uguale al flusso che se avrebbe fra un condotto a tempertura Q'Z/K - (T<sub>1</sub>-T<sub>0</sub>) e la superficie (a T=0). Se T<sub>1</sub>-T<sub>0</sub>=Q'Z/K il condotto e` "trasparente" al flusso geotermico. Se T₁=T₀ l'effetto del condotto e` massimo.

Il flusso intercettato vale Q_i = Q'SZ - KS(T₁-T₀), dove S e` un fattore di forma che riassume la geometria del condotto (per una sfera S=4πR/(1-R/2Z), per un cilindro orizzontale S=2πL/acosh(Z/L), per condotti "lineari" approssimativamente S=L). Il fattore di forma risulta circa 10, percio` si ha sempre una amplificazione del flusso intercettato (effetto lente).

L'acqua (oppure l'aria) nei condotti assume un comportamento intermedio fra i due estremi. Se il flusso e` veloce da portar via tutta l'energia geotermica, il condotto resta a temperatura T<sub>0</sub>. Se invece il fluido e` quasi stazionario si riscalda e il condotto diviene termicamente trasparente. La temperatura del condotto T₁ e` legata al flusso d'acqua F. Assumendo che tutto il calore vada a scaldare l'acqua, il flusso termico intercettato e` Il flusso critico e` quello necessario per sottrarre il massimo flusso geotermico nell'ipotesi che la temperatura del condotto sia massimale, Per l'acqua il flusso critico vale 5.5 10^-4 S [Kg/s]. Per l'aria vale 2.3 10^-4 S [Kg/s].

W_m = Q' S Z e` il massimo flusso geotermico intercettabile. La temperatura massima del condotto e` T_m=T₀+Q'Z/K. Il flusso termico intercettato e` una frazione di quello massimale, dove q e` il rapporto fra il flusso d'acqua e quello critico, q = F / F_c = T_m-T₁)/(T₁-T₀). Poiche` T<sub>m</sub> dipende dalla profondita` Z queste relazioni legano la temperatura dell'acqua in uscita, la profondita` e la portata, In realta` l'acqua viene riscaldata mentre percorre il condotto. La modellizzazione di tale riscaldamento e` complicata, ma, in generale, porta ad una piccola riduzione del fattore di amplificazione (1+q).

Infine e` presumibile che il flusso geotermico, innalzando la temperatura dell'acqua nei condotti freatici (anche se di poco, 0.2 - 3 °C) abbia delle conseguenze speleogenetiche, poiche` varia l'equilibrio delle reazioni chimiche di dissoluzione della roccia.

Supponiamo di avere un massiccio carsico in cui penetra un flusso F d'acqua, con l'acquifero alla base del massiccio che intercetta quasi completamente il flusso di calore geotermico. Quindi ci sara` una differenza di temperatura di 0.45°C fra l'acqua che esce dalle risorgenze e quella che arriva ai sifoni. L'equazione degli scambi di calore (in condizioni stazionarie) e` dove Q'_g e` il flusso geotermico residuo. Il primo termine e` l'energia potenziale gravitazionale dell'acqua che scende nel massiccio. A destra ci sono le capacita` termiche di acqua e roccia. Pertanto il gradiente termico risulta cioe` ci sono due correzioni rispetto al gradiente termico idrico:

• il flusso geotermico residuo va ad aumentare il contributo energetico;
• la capacita` termica della roccia, dato che questa deve portarsi alla temperatura dell'acqua.

Questa analisi va bene per il reticolo delle fratture in cui l'acqua scorre lentamente e in contatto (anche termico) con la roccia. L'acqua libera dovrebbe avere un gradiente inferiore percio` risultare piu` fredda della roccia.

Le rocce calcaree risultano molto fessurate, tanto che si parla di "reticolo delle fratture", e l'acqua tende a riempire questo reticolo. Questo costituisce il principale deposito di acqua degli acquiferi carsici. Questa analisi va bene per il reticolo delle fratture le cui condizioni termiche sono dominate dalla presenza dell'acqua che scorre lentamente e in contatto (anche termico) con la roccia.

Nella zona vadosa il contributo dell'aria puo` diventare importante. In genere acqua e roccia si trovano alla stessa temperatura, con l'aria piu` calda di decimi di grado (0.15°C) [908] . Ci sono eccezioni: se la zona vadosa non e` abbastanza profonda, il flusso d'aria non e` sufficiente a dominare l'energetica del sistema. Inoltre anche le condizini climatiche influenzano i flussi (di aria e acqua). Infine la temperatura dello strato superiore (epicarso) e` controllata dai flussi di aria ed acqua.

Le pareti della grotta e l'acqua hanno una grande capacita` termica e stabilizzano termicamente l'aria. Gli scambi di calore dell'aria con le pareti e l'acqua sono abbastanza complessi: si ha conduzione di calore nello strato limite dell'aria a contatto con le pareti, e moti convettivi nell'aria. Inoltre l'evaporazione/condensazione sulle pareti e sui bacini d'acqua contribuisce notevolmente allo scambio di calore. Dato l'elevato valore dei coefficienti di convezione, l'aria diviene ben presto in equilibrio termico con l'ambiente, percio` si raggiunge una condizione di gradiente termico comune per acqua, pareti ed aria intermedio variabile da -4 a -6 °C/Km (valore generico -5). Nella zona profonda il flusso d'aria e` ridotto poiche` i condotti sono piu` concentrati e il gradiente termico si porta verso quello dell'acqua.

Solitamente il flusso energetico globale tra esterno e grotta associato all'aria e` superiore a quello associato all'acqua, poiche` l'aria risulta avere maggiore mobilita` anche se ha una capacita` termica inferiore (circa 4000 volte) a parita` di volume.

I movimenti e le circolazioni dell'aria nella grotta sono indotti dalla sua interazione con l'ambiente esterno.

I processi che generano correnti d'aria sono, [794] :

• il riequilibrio secondo le variazioni di pressione esterna (correnti barometriche);
• la riorganizzazione dell'aria secondo la densita` (moti convettivi);
• il trascinamento da parte dell'acqua.

La circolazione convettiva e` generata dalla differenza di densita` dell'aria, fra l'interno della grotta e l'esterno, indotte dalla differenza di temperatura. Se chiudessimo un ingresso della grotta queste indurrebbero una differenza di pressione (pressione motrice) fra i due lati della porta. In pratica questa pressione spinge l'aria a scorrere nella cavita` finche` gli attriti dovuti al moto (perdite di carico) non la controbilanciano esattamente.

Se si aprisse improvvisamente la porta si instaurerebbe un transitorio durante il quale la differenza di pressione diviene nulla (poiche` si equilibra con le perdite di carico). Se la cavita` e` semplice la variazione della differenza di pressione durante il transitorio e` quadratica, e il volume della cavita` e` legato al tempo di riequilibrio, alla differenza di pressione e al flusso iniziale [420] , V = 0.5 (F_o t/d) P/(P₂-P₁).

Mentre il valore della pressione "interna" resta pressoche` costante, quella esterna varia nell'arco dell'anno, con variazioni stagionali, e nell'arco della giornata (variazioni diurne). In estate la pressione "interna" risulta superiore a quella "esterna" percio` l'aria esce dall'ingresso basso ed entra dall'ingresso alto. In inverno la circolazione avviene nel verso opposto e l'aria calda esca dall'ingresso alto. Per questo si osserva scioglimento di neve in corrispondenza degli ingressi alti. Nei periodi di inversione termica la direzione delle correnti convettive non e` ben definita e risulta variabile nell'arco della giornata.

La circolazione dell'aria, come detto, dipende dalla differenza di temperatura fra la grotta e l'ambiente esterno. In estate la temperatura esterna e` superiore e si instaura un ciclo convettivo in cui l'aria scende lungo la grotta. In inverno la temperatura esterna e` inferiore e l'aria sale lungo la grotta. In prima approssimazione l'aria segue due trasformazioni adiabatiche nel movimento all'interno ed all'esterno della grotta (questa e` solo una approssimazione, molto imprecisa). Nel passaggio attraverso gli ingressi l'aria cambia di temperatura (variazione relativa: 0.035 circa), pressione, e volume. Dato che le variazioni di pressione sono piccole (variazione relativa inferiore a 0.005), sono trasformazioni quasi-isobare. Quindi il ciclo dell'aria e` formato da due adiabatiche e due isobare.

Un m³ di aria che sale, in inverno, lungo un sistema di 1 Km, assorbe calore. Si raffredda di meno: 3.5°C anziche` 5, e rilascia vapore che condensa (circa 3.5 g). Quindi la stagione delle condensazioni ipogee e` l'inverno, mentre l'estate e` la stagione asciutta [912] .

La pressione motrice e` calcolabile come la differenza di peso delle colonne d'aria all'interno ed all'esterno della grotta. Se supponiamo di chiudere l'ingresso alto della grotta, si ha una differenza di pressione ai due lati della porta, pari alla "pressione motrice". In condizioni dinamiche, con l'aria in movimento, le cadute di pressione per perdite di carico (energia dissipata per vincere gli attriti) e per perdite cinetiche (energia trasformata in movimento dell'aria) controbilanciano la pressione motrice. Ogni colonna produce una differenza di pressione esprimibile tramite la legge "adiabatica"

Percio` la pressione motrice (approssimata) risulta dove abbiamo utilizzato l'"altezza" Z<sub>a</sub> = M<sub>a</sub> g Z / R. Piu` semplicemente la pressione motrice e` proporzionale alla differenza fra la temperatura media interna e la media delle temperature esterne ai due ingressi, alto e basso.

Il calcolo della pressione motrice dovrebbe dare lo stesso risultato sia "chiudendo" l'ingresso alto, come sopra supposto, che quello basso. Usando l'approssimazione adiabatica si ottiene un risultato leggermente diverso: P_M,basso - P_M = P_M [ 1 - (1 + G H / T_o,i)^-k/k-1 ]. La discrepanza (che in effetti e` piccola) e` dovuta ai limiti della approssimazione.

Quale modello delle cavita` aperte consideriamo una condotta di sezione uniforme A (diametro D) e lunghezza L. La pressione motrice eguaglia le perdite di carico e cinetiche dove abbiamo evidenziato il flusso di massa F<sub>M</sub>= d v A. La seconda espressione vale per il moto nei condotti in regime turbolento. Questa relazione si puo` scrivere (per moto laminare) dove R e` la resistenza della condotta, ed e` pari alla somma della resistenza di carico e della resistenza cinetica: R = R_c + R_k.

Pero` i flussi nelle grotte sono dominati dal regime turbolento (perche` e` quello che dissipa piu` energia). Per il moto in regime turbolento e per curve e restringimenti le perdite di carico risultano proporzionali al quadrato del flusso, dove R = f/(2 d) L/(D A²) per il moto turbolento e R = k / (d D⁴) per curve e restringimenti (il coefficiente k vale tra 0.5 ed uno). Da notare che la resistenza di una condotta e` tanto maggiore quanto piu` essa e` stretta, percio` sono le strettoie che costituiscono i punti in cui e` concentrata la resistenza. La resistenza in occorrenza di un allargamento repentino sono R=0.48 / (d D<sup>4</sup>). Per le curve il coefficiente k cresce al decrescere dal raggio di curvatura, poiche` le perdite di carico sono dovuta alla accelerazione centripeta P_M=d V²/R.

E` conveniente introdurre una altra grandezza, in analogia alla conduttanza nei circuiti elettrici. Questa e` il temperamento, c=R^-1/2.

Possiamo stimare il flusso d'aria nel sistema, a partire da questo risultato. Per la resistenza cinetica il coefficiente (resistenza aeraulica) vale R=0.38 Kg m (valori tipici 0.01 - 0.50). La pressione motrice vale P_M=34 Kg/m s² °K (T_est - T_int) (valori tipici 300 Pa). Percio`, con una differenza di temperatura di 5°C, il flusso risulta F<sub>M</sub>=6.6 Kg/s, cioe` 5.14 m³/s (in accordo col valore tipico; in certi casi si sono rilevati anche flussi di 15 m³/s).

In genere una cavita` non e` una condotta uniforme, ma ha restringimenti (strettoie) ed allargamenti (sale), e puo` presentare piu` vie alternative e parallele (almeno per l'aria). La somma dei flussi che arrivano ad un incrocio deve essere pari alla somma di fuelli che ne dipartono ("conservazione del flusso", ovvero "legge dei nodi"). In altri termini i flussi sono "sovrapponibili". Per esempio, in figura, il flusso totale e` la somma dei flussi nel ramo "A" e nel ramo "B"

Le somme delle pressioni motrici lungo due percorsi che collegano due punti sono uguali ("legge delle maglie"). Per esempio, in figura, la pressione totale e` la somma delle due pressioni nel tratto "1" e nel tratto "2" Queste due leggi, unitamente alla relazione fra flusso e pressione motrice, portano a sviluppare un semplice modellamento delle circolazioni dell'aria nelle cavita`:

• la resistenza di due condotte consecutive e` la somma delle loro due resistenze R<sub>1</sub> + R<sub>2</sub>;
• per due condotte parallele e` il temperamento che si somma, c = c₁ + c₂;
• due condotte parallele hanno le stesse perdite di carico (trascurando i termini di "pressione dinamica" quelli che variano come V²), percio` il rapporto dei flussi e` pari al rapporto dei temperamenti (cioe` all'inverso della radice quadrata del rapporto delle resistenze);
• la resistenza e` direttamente proporzionale alla lunghezza della condotta ma (quello che e` piu` importante) e` inversamente proporzionale alla quarta (e quinta) potenza delle sue dimensioni;

Il terzo punto e` molto importante perche` mostra come la resistenza alla circolazione d'aria sia essenzialmente concentrata nei restringimenti (strettoie). La resistenza aeraulica di una strettoia vale R= (8/π² d) D^-4.

I primi due punti sono importanti quando si fanno valutazioni di flussi e perdite di carico. Consideriamo a titolo di esempio due rami paralleli. Abbiamo le seguenti equazioni:

c Fo2	=	PM,o
c1 F12	=	c2 F22
	=	PM,1
PM,o	=	PM,o + PM,1
Fo	=	F1 + F2

E` facile (anche se abbastanza tedioso) risolvere questo sistema ed ottenere Da questa si possono trarre indicazioni su come variano i flussi (totale e in un dato ramo) al variare della resistenza di uno dei rami (esempio allargando una strettoia).

Se un fluuso d'aria si distribuisce fra N vie equali, la resistenza in queste e` 1/N<sup>2</sup> della resistenza di una di esse. Percio` le frane rappresentano un debole ostacolo per l'aria, anche se i pertugi attraverso cui essa passa sono piccoli (dato che sono numerosi). Questo rende conto della difficolta` a seguire una corrente d'aria in una frana.

La propagazione di una variazione di pressione esterna attraverso una cavita` avviene con un certo ritardo, che dipende dal punto della cavita` in esame. La variazione di pressione e` lagata al flusso dalla relazione D<sub>x</sub>P = R F<sub>2</sub>, ed dal bilancio di massa D<sub>x</sub>F = -(d A/P) D<sub>t</sub>P. Mettendo assieme queste due relazioni si ottiene da cui si deduce che il tempo di propagazione varia con la distanza all'interno della grotta come x<sup>3/2</sup>. Questa variazione e` intermedia fra quella di un fenomeno convettivo (variazione x) e uno diffusivo (variazione x²).

Questo risultato teorico vale per una cavita` semplice a tubo. Per un modello di cavita` piu` ragionevole, formato da sale collegate da restringimenti, si arriva ad una relazione analoga.

Il periodo di rinnovamento e` il tempo che impiega la grotta a sostituire tutta l'aria in essa contenuta. Esso e` pari al rapporto fra il volume della grotta e il flusso d'aria, Nelle cavita` ventilate varia da poco meno di un'ora ad una ventina di ore. Il tempo di rinnovamento varia con la stagione; e` piu` breve in estate che in inverno.

Le correnti barometriche sono quelle indotte da repentine variazioni di pressione. Queste sono relativamente molto piccole. Le variazioni relative di pressione valgono tipicamente 10^-5 su tempi dell'ordine del minuto, e arrivano a massimi di 10^-3 su tempi dell'ordine di un'ora. Percio` le correnti barometriche sono piu` deboli di quelle convettive, e sono percepibili solo quando queste sono assenti (o quasi). [Oppure come deboli fluttuazioni di esse].

Le variazioni della pressione esterna si riflettono all'interno, con un ritardo (caratteristico dell'impedenza del sistema carsico) ed attenuate. In generale il tempo affinche` una variazione di pressione arrivi alla distanza x varia come t = A x<sup>3/2</sup> (P<sub>2</sub>-P<sub>1</sub>)<sup>1/2</sup>, cioe` con una dipendenza dalla distanza intermedia fra un fenomeno convettivo, proporzionale a x, ed uno diffusivo, proporzionale a x² [420] .

In un modello uniforme fatto di una succesione di sale (volume V) e restringimenti (sezione A) l'equazione che descrive il transitorio per il flusso risulta dove il coefficiente vale b= P A² L² / V (L e` la distanza fra un restringimento e l'altro). L'equazione per la pressione puo` essere ricavata usando le relazione (P₂-P₁) = R F² (dove R=1/(2 d) A^-2).

La relazione fra pressione motrice, flusso e resistenza descrive la circolazione dell'aria in condizioni stazionarie (tipiche delle circolazioni convettive). Nelle situazioni non stazionarie bisogna tener conto anche di

• inerzia dell'aria: l'aria ha una massa e quindi una sua inerzia a mettersi in moto;
• variazioni della pressione interna indotte dai flussi.

Consideriamo prima il secondo punto. Vediamo come varia la pressione di un salone a causa del flusso di aria entrante. dove k e` l'esponente politropico. Se il flusso e` veloce siamo in condizioni adiabatiche, percio` k e` pari al coefficiente adiabatico (rapporto fra i calori specifici a pressione e a volume costante, che e` circa 1.4 per i gas biatomici come l'aria, e 1.33 per i gas triatomici come il vapor acqueo). Se il flusso e` lento siamo in condizioni isoterme, poiche` l'aria ha modo di portarsi in equilibrio termico con la roccia, percio` k=1. In generale possiamo scrivere dove abbiamo introdotto la capacita`

La pressione e` come la tensione in un circuito elettrico, il flusso e` come la corrente. Un flusso entrante nel salone ne aumenta la pressione proporzionalmente alla sua "capacita`" di immagazzinare aria, e questa e` il rapporto fra il volume e la pressione, se la trasformazione e` isoterma. Se invece devo tener conto dell'aumento di temperatura la capacita` viene ridotta di un fattore k.

Per tener conto anche dell'inerzia dell'aria partiamo dalla equazione di Newton che scriviamo dove abbiamo esplicitato le forze attive (pressione motrice) e quelle resistive (perdite di carico). La pressione motrice e` data da P_M = DP_est - DP_int. La caduta di pressione esterna varia nel tempo per cause esterne (arrivo di perturbazioni, variazioni giornaliere, etc.); lasciamo questa dipendenza temporale nel termine della pressione motrice. La caduta di pressione interna abbiamo appena visto che varia anche a causa dei flussi d'aria. Scriviamo questa variazione temporale a parte:

In conclusione otteniamo l'equazione della dinamica del flusso d'aria

PM(t) = L DtFM + R FM + 1/C It( FM )

R = c / (2 d A2) FM

C = k P / d V

L = L / A

Queste equazioni costituiscono la base per il modello "elettrico" della dinamica dell'aria nelle cavita`. Da notare tuttavia che la resistenza non e` indipendente dal flusso (la "corrente") ma e` proporzionale ad essa. Pertanto i fenomeni non sono lineari come nel caso "elettrico".

In pratica la differenza fra flusso di massa e flusso di volume e` molto piccola dato che la densita` varia poco. Percio` si possono scrivere queste formule in termini del flusso volumetrico che e` piu` facile da misurare (o stimare).

Quale modelli teorici consideriamo due tipi limite di cavita`: la cavita` a sfera (i saloni) e la cavita` a tubo (le gallerie) [786] . Nel primo caso l'equazione della dinamica dell'aria e` (nell'approssimazione di variazioni di pressione piccole: una decina di mbar rispetto a 1013 mbar)

Nel caso dell'arrivo di una veloce perturbazione le pressione esterna sale bruscamente da P_o a P₁. La soluzione e` allora dove

La variazione di pressione si ripercuote all'interno con un ritardo, ma la pressione interna arriva comunque ad egualiare quella esterna in un tempo finito t = b/a, che rappresenta il tempo tipico con cui la cavita` risponde a variazioni di pressione esterna. Questo tempo risulta essenzialmente determinato dalle dimensioni fisiche della cavita`, t = L (L/D)^1/2 [s].

Il secondo modello descrive come varia la temperatura di una grotta (nella zona di transizione) in dipendenza dalle variazioni stagionali della temperatura esterna. Consideriamo una cavita` con capacita` termica C, temperatura T (variabile nel tempo) e in cui c'e` un flusso d'aria F dall'esterno con temperatura T<sub>e</sub> = T<sub>o</sub>+D sin(a t). Supponiamo che il flusso sia costante, cioe` non dipenda dalla differenza di temperatura e trascuriamo le differenze dovute alle diverse quote di ingresso del flusso. La variazione di temperatura della cavita` e` data da D_tT = (F/C) ( T_e - T ). Risolvendo si trova che T varia come la temperatura esterna, ma ha un ritardo su di essa, dove il ritardo di fase vale tan(f)=CA/F.

Una altra situazione di interesse per la speleologia e` quella di oscillazioni del flusso (correnti oscillanti) non sostente da alcuna pressione esterna (cioe` soluzioni della equazione omogenea associata). Queste oscillazioni sono possibili quando la resistenza e` piccola, ed hanno un periodo pari a circa (L C)<sup>1/2</sup>, quindi (avendo posto V=L A) cioe` il periodo in secondi risulta all'incirca pari alla lunghezza della cavita` (galleria o salone) in metri. Il termine di resistenza e` dissipativo e comporta sempre uno smorzamento di queste oscillazioni. Possono essere iniziate da repentini cambiamenti della pressione esterna. Percio` sono osservabili solo in condizioni di assenza di altre correnti cioe` nella zona a quota intermedia e in ambienti ampi e facilmente accessibili all'aria. Oscillazioni della pressione esterna si comportano come una forza esterna nella equazione dinamica e quindi possono indurre queste oscillazioni quando hanno un periodo uguale o quasi al periodo proprio della cavita` (cioe` quando la cavita` va "in risonanza").

Consideriamo una grande sala di volume V, connessa con l'esterno da un condotto di area A e lunghezza L. Una variazione di pressione induce un moto di aria, entrante o uscente, D_tP = (RT/V) D_tN e la quantita` di aria entrante e` D_tN = (d/M) S v, dove d e` la densita` dell'aria, M la massa molare, e v la velocita`. L'equazione di Newton e` d D_tv = - P/L, per cui si ottiene Quindi la cavita` ha oscillazioni autosostenute con periodo

L'evaporazione e` il passaggio delle molecole d'acqua dalla fase liquida a quella gassosa. Essa ha luogo all'interfaccia aria-acqua. E` poi necessaria la diffusione delle molecole di vapore nell'aria: e` in riequilibrio della concentrazione di vapore, con flusso F = -d<sub>a</sub> a D<sub>x</sub>x<sub>v</sub>, dove a e` il coefficiente di diffusione. La concentrazione di vapore soddisfa dunque un'equazione di diffusione (legge di Fick; d_a e` la densita` dell'aria, Q rappresenta una sorgente di vapore, per esempio dovuta ad acqua nebulizzata),

I fenomeni di condensazione ed evaporazione sono descrivibili in termini del diagramma dell'aria umida. Se dell'aria non satura viene raffreddata, la sua temperatura diminuisce, ed aumenta l'umidita` relativa. Quando diviene satura il vapore inizia a condensare (curva ABC). Se dell'aria non satura passa sopra uno specchio d'acqua, si ha evaporazione di acqua. L'evaporazione assorbe calore e raffredda l'aria (curva AD). Il calore latente di evaporazione dell'acqua vale circa C = 2.6 10⁶ J/Kg

L'evaporazione superficiale e' data approssimativamente dalla relazione di Dalton, dove T_vs e' la tensione di vapore saturo, T e' la tensione di vapore nell'aria, P la pressione, S la superficie, ed a e' un coefficiente che varia fra 400 (aria calma) e 650 (vento).

Il passaggio dell'acqua da liquido a vapore e` una reazione chimica che raggiunge l'equilibrio quando l'umidita` assoluta e` massima. Per la stima dell'evaporazione sulla superficie di contatto acqua/aria si puo` usare la formula empirica di Lugeon, dove tutte le tensioni di vapore e le pressioni sono espresse in pascal, e V e` la velocita` dell'aria.

La velocita` di evaporazione dipende da

• area delle superfici bagnate;
• umidita` relativa dell'aria (cioe quanto l'equilibrio e` spostato verso sinistra);
• flussi d'aria che allontanano le molecole evaporate;
• temperatura (e pressione) dell'ambiente.

L'evaporazione sui bacini d'acqua (laghi naturali, corsi d'acqua, etc.) e` data approssimativamente dalla formula dove T e` la temperatura media dell'aria in gradi centigradi.

La condensazione richiede

• aria soprassatura, cosa che succede quando aria satura si raffredda;
• presenza di punti di condensazione su cui si possono formare le goccioline d'acqua.

Questi ultimi possono essere: roccia, polveri, superfici di acque, ferme o correnti, il velo d'acqua sulle pareti, altre goccie sospese nell'aria (nebbia).

Ci sono parecchie formule empiriche per stimare l'apporto idrico dovuto alla condensazione. Ricordo la formula di Dublyansky, discussa nella Sez. 10.6 . Per la condensazione all'interno della cavita` c'e` la formula di Mucke-Volker-Wadenitz, dove V e` la velocita` dell'aria, x_lim e` l'umidita` di saturazione nello strato limite, e x e` quella nell'aria (in gr per Kgr).

Il calore associato alla condensazione e` Q<sub>cond</sub> = d C<sub>evap</sub> V, dove d e` la densita` del liquido, C_evap il calore specifico di evaporazione, e V il volume del condensato.

Il bilancio dell'aria che attraversa una galleria coinvolge il bilancio di massa (tanta aria entra quanta ne esce), del vapore (la differenza fra le quantita` assolute di vapore dell'aria uscente ed entrante e` la massa di acqua evaporata) ed energia (entalpia), dove L e` il calore latente di evaporazione, e c_v il calore specifico a pressione costante del vapore.

Il passaggio dell'aria nelle strettoie e` una espansione Joule-Thompson. C'e` una cadita di pressione nel restringimento proporzionale a v² (effetto Bernoulli), che produce DP = 10 Pa. Equivalente ad un innalzamento di 1 m di quota. Percio` T decresce e si ha sovrassaturazione e quindi condensazione.

Una altra causa di condensazione e` la miscelazione di arie di diverse condizioni di temperatura (e quindi con pressioni di saturazione diverse). Dato che la relazione fra la pressione di saturazione e la temperatura e` concava (equazione di Clapeyron), la miscela risulta sovrassatura, Questa e` una piccola percentuale del titolo di vapore, pero` corrisponde a qualche milligrammo per m³.

La frantumazione dell'acqua porta a formazione di goccioline (aerosol) che rendono l'aria sovrassatura, poiche` hanno una piu` bassa tensione di vapore (equazione di Kelvin): a causa della curvatura le molecole possono sfuggire piu` facilmente dalla gocciolina. Goccioline formatesi per impatto dell'acqua sulla roccia hanno dimensioni dell'ordine di 10 um. Goccioline piu` grosse (frazioni di mm) hanno moto turbolento, le cui oscillazioni tende a spezzare la gocciolina.

L'equazione di Kelvin giustifica anche la tendenza della condensa a formarsi si superfici concave (cioe con raggio di curvatura negativo), come nelle microfessure. La condensazione per iniziare necessita di un nucleo di aggregazione (polveri), poiche` microgoccie troppo piccole sono instabili ed evaporano. L'ambiente di grotta e` particolarmente povero di polveri; infatti se ci fossero, sarebbero gia` diventate centri di aggregazione e precipitate al suolo, assieme alla goccia. Percio` l'aria di grotta riesce ad essere sovrassatura e la condensazione avviene sulle pareti.

Una bolla d'aria satura che sale e` soggetta a variazioni di temperatura, pressione, densita` e quindi anche di umidita`. Se le condizioni di salita sono isoterme la pressione di vapore di saturazione e` costante, ma la pressione dell'aria decresce, percio` l'umidita` relativa decresce e l'aria diviene piu` secca. Se l'aria sale in condizioni adiabatiche la pressione di vapore di saturazione decresce (poiche` T decresce) piu` rapidamente della pressione e quindi l'umidita` relativa aumenta.

Dalla formula della variazione del titolo di saturazione con la temperatura risulta che il gradiente di temperatura a condensazione nulla si ha per k=1.033, per cui G_c.n. = -1.09 °C/Km. Ne risulta che l'aria che sale nella grotta con un gradiente termico di circa -3.5 °C/Km si trova sempre in condizioni di soprassaturazione e percio` tende a condensare.

Anche quando l'aria entra in una strettoia si ha condensazione. La sua pressione cala, percio` si trova come se fosse piu` in alto, quindi anche in questo caso tende a condensare.

Quando l'aria esterna, non satura di umidita`, con entalpia (contenuto calorico) H<sub>e</sub> entra in grotta, dove l'aria ha entalpia H<sub>i</sub>, essa subisce una variazione di temperatura per evaporazione o condensazione, DT = (H<sub>i</sub>-H<sub>e</sub>)/(d C<sub>p</sub>), dove d e` la densita` dell'aria. Se T<sub>e</sub>-DT e` minore di T_i si ha sovrassaturazione e quindi condensazione. Se T_e-DT e` inferiore di 0°C, si ha formazione di ghiaccio [788] .

Se per esempio aria esterna a 20 °C con umidita` del 40% (P<sub>vap</sub>=9.6 mbar) entra in grotta a 5 °C (dove la tensione di vapore di saturazione vale P<sub>sat</sub> = 8.8 mbar) il calore che l'aria cede all'ambiente della grotta L'ultimo termine e` l'entalpia dell'acqua condensata. Nell'esempio risultano circa 3.9 cal/gr, pari a circa 3.2 Kcal/m³.

La quantita` di acqua che condensa risulta (il coefficiente e` il prodotto 0.622x44.6x28.9) cioe` circa 0.4 gr/m<sup>3</sup>. La grotta funziona come un impianto di condizionamento: con un flusso di 5 m<sup>3</sup>/s (che e` una bella corrente) sono circa 170 litro al giorno. Questa quantita` e` minima rispetto all'afflusso estivo d'acqua per condensazione diffusa sulla superficie di un'area carsica, che puo` arrivare a 1 l/s per una superficie di 1 Km<sup>2</sup> (oltre 86000 l/Km<sup>2</sup> al giorno). Per confronto l'apporto di acqua diretto e` 19 l/s su un Km².

Il flusso di calore e` invece considerevole: 16 Kcal/s = 73 KJ/s.

La quantita` di condensazione/evaporazione, in un dato intervallo di tempo t, legata ai movimenti dell'aria e` proporzionale al volume V della cavita`, alla differenza fra le quantita` di vapore all'esterno e all'interno, e al tempo di rinnovamento, T_R:

Per una goccia d'acqua la differenza fra pressione interna ed esterna e` data dalla relazione di Laplace, P<sub>int</sub> - P = 2 T<sub>S</sub> / R, dove T<sub>S</sub> e` la tensione superficiale dell'interfaccia acqua-aria (75 10^-3 N/m) e R e` il raggio (di curvatura) della goccia. La pressione di vapore sulla superficie cresce quindi al decrescere del raggio. Percio` goccie troppo piccole risultano instabili e per avere condensazione occorre che ci siano particelle in sospensione (centri di condensazione), oppure superfici (pareti).

Una goccia d'acqua tende a cadere per la forza di gravita`. La caduta e` ridotta dal "galleggiamento" nell'aria, e dall'attrito dell'aria (viscosita` u). La forza agente sulla goccia e` F=(m-m_a)g - 6 πu R v, dove si e` usata la legge di Stokes per l'attrito, valida per basse velocita`. Per alte velocita` bisogna usare la legge di Rayleigh ½d v<sup>2</sup> S C, dove d e` la densita` (dell'aria), S e` l'area effettiva, e C e` un coefficiente di attrito, che dipende dalla forma dell'oggetto in moto. L'equazione del moto ha quindi la forma v' = A - B v<sup>2</sup>, ed e` facilmente integrabile; la soluzione e` La velocita` limite e` v<sub>o</sub> = (2mp/dSC)<sup>1/2</sup> e, per goccie d'acqua in aria vale circa v<sub>o</sub>=4 R<sup>1/2</sup> [m/s], dove il raggio e` misurato in mm. La curva della velocita` (e del tempo) in funzione della distanza percorsa e` mostrata nella figura sotto, per una goccia di raggio 2 mm.

Una goccie in caduta in aria, e` stabile solo se e` abbastanza piccola. Quando il diametro e` mano di 0.1 mm, le forze elettrostatiche interne ne mantengono la forma sferica. Quando e` circa 0.5 mm cominciano a mostrarsi segni di deformazione (schiacciamento verticale). A 1.4 mm la base inizia a diventare piatta; a 2 mm si forma una concavita`. Quando il diametro supera 5 mm la forza dell'aria causa la frammentazione della goccia [913] .

Supponendo che la goccia si frammenti in N goccioline di egual dimensione (raggio r) che si dipartono a raggiera, si puo` stimare la velocita` radiale di queste in base alle leggi di conservazione. Per la massa abbiamo N r³ = R³. Per la quantita` di moto, la velocita` verticale, v_z, delle goccioline e` uguale a quella della goccia. Per l'energia (trascurando la spinta dell'aria, deformazioni e moti interni), 2/3 N d r<sup>3</sup>(v<sub>r</sub><sup>2</sup> + v<sub>z</sub><sup>2</sup>) + t<sub>s</sub> r<sup>2</sup> = 2/3 R<sup>3</sup> v<sub>z</sub><sup>2</sup> + t<sub>s</sub> R<sup>2</sup>. Per cui v<sub>r</sub> = (1.5 t<sub>s</sub>/(d R) [1-n<sup>-2/3</sup>] )<sup>1/2</sup> = 33.2 (1-N<sup>-2/3</sup>)<sup>1/2</sup> R<sup>-1/2</sup> [cm/s], dove il raggio e` in mm. Il coefficiente numerico varia fra 20 e 30 circa, percio` la velocita` radiale varia fra 13 e 22 cm/s.

C'e` una relazione fra il raggio R di una goccia d'acqua e la velocita` di caduta in aria (per basse velocita`). Questa si ottiene egualiando la forza peso alla forza di attrito, 6 πr u V<sub>L</sub> = 4/3 πr<sup>3</sup> d g, dove u e` la viscosita` dell'aria e d la densita` dell'acqua. La velocita` cresce con il quadrato del raggio per esempio V<sub>L</sub>=1 mm/s per R=2.8 micron, ma vale 10 cm/s per R=28 micron. Percio` goccie troppo grosse cadono al suolo e la dimensione tipica delle goccioline sospese e` un micron.

La densita` di goccie in una nebbia, con visibilita` di 100 m, e` di D = 0.01 - 0.1 gr/m<sup>3</sup>. La massa di una goccia da un micron e` circa 4 10^-12gr. Percio` ci sono 10<sup>9</sup> - 10<sup>10</sup> goccie per metro cubo. La superficie totale delle goccioline e` quindi 0.01 - 0.1 m² per metro cubo. Ogni goccia ha una energia, dovuta alla tensione superficiale del liquido, 4 πR² T_S. Percio` l'energia per metro cubo vale E=3 T_S D / r d che risulta circa 0.023 J.

La pressione di evaporazione in una goccia e` data dalla formula di Kelvin [914] (o formula di Gibbs-Thompson, se scritta in termini delle concentrazioni molari) dove M<sub>a</sub> e` la massa molare, e P_vap e` la pressione di vapore nell'atmosfera. Il coefficiente di 1/r all'esponenziale e` molto piccolo (1.13 10^-9 m), percio` la pressione di evaporazione comincia ad essere significativamente superiore alla pressione di vapore per goccie di raggio inferiore a 0.1 micron. In tal caso una goccia tende ad evaporare. Le goccie molto piccole (<0.1 micron) sono instabili e tendono ad evaporare piu` facilmente di quelle grosse, rendendo l'aria sovrassatura e favorendo la condensazione sulle goccie grosse e sulle pareti. Una conseguenza e` che le goccie hanno bisogno di centri di condensazione (polveri, protuberanze di superfici, etc.) per formarsi. Le goccie si formano anche nei pressi di una cascata per nebulizzazione dell'acqua.

Quando una nebbia e` trasportata dall'aria umida nel suo moto, in salita la pressione diminuisce, quindi decresce anche la pressione di vapore e le goccie si accrescono per condensazione di vapore d'acqua. In discesa aumenta la pressione e le goccioline evaporano. Gli aerosol hanno un ruolo nel trasporto energetico all'interno della grotta [912] . Calcoliamo l'energia immagazzinata in una nebbia nella tensione superficiale delle goccioline. Con 10<sup>10</sup> goccie per metro cubo, da un diametro medio di 1 micron, esse hanno una superficie totale di 0.1 m<sup>2</sup>. L'energie di tensione superficiale e` dunque 0.008 J (per metro cubo d'aria). 0.75 KJ nei 10⁵ m³ d'aria della cavita`. E un flusso energetico di 0.04 J/s, per i 5 m<sup>3</sup>/s del flusso d'aria (l'aria ha una velocita` media di 4 cm/s). Pero` questo flusso energetico interessa ogni punto della grotta.

La reazione di dissoluzione della roccia calcarea assorbe energia pari a 3-5 10⁶ J/Kg, CaCO₃ + CO₂ + H₂O + 0.3 MJ/mol = Ca(HCO₃)₂ Con una dissoluzione di 50 m³/anno (200 mgr/l x 20 l/s) l'energia necessaria per la dissoluzione della roccia risulta 20000 J/s = 2200 Kgp-m/s.

Questa sezione prende in esame i flussi energetici in un sistema carsico. Anche se le stime sono estremamente qualitative, esse mostrano la molteplicita` dei possibili apporti energetici. Il sistema carsico e` percorso da due fluidi (aria ed acqua) in accoppiamento termico fra di loro e con una riserva termica (roccia e acquifero). La dinamica e` regolata dai flussi di energia, e dalle capacita` termiche [915] .

La capacita` termica dell'aria in un sistema carsico (V = 10<sup>5</sup> m<sup>3</sup>, su un'area A = 1 Km<sup>2</sup>) risulta (il fattore 2.5 rende conto dell'umidita` presente nell'aria)

La capacita` termica dell'acqua che scorre nelle gallerie (10 Km di gallerie, con in media 10 litri d'acqua al metro, per un totale di 10<sup>5</sup> l: con un dislivello di 1000 m e una velocita` media di 0.1 m/s impiega 3 ore ad arrivare alla falda, se la velocita` e` 1 cm/s ci mette un giorno)

Quella dell'acqua sulle pareti (10⁵ m² di pareti, con gallerie di 1 m di diametro in media), poiche` lo spessore del velo d'acqua vale circa 10^-4 m.

La roccia agisce da riserva termica la cui capacita` dipende dalla scala dei tempi secondo lo strato "superficiale" di roccia coinvolto,

Anche l'acqua nell'acquifero (tra falda e reticolo delle fratture ci sono circa 10⁸ litri d'acqua) rappresenta una riserva termica. La sua capacita` e`

Analizziamo ora il bilancio energetico del sistema. L'energia e` portata dai flussi d'acqua e d'aria. Il flusso tipico di acqua vale (per Km<sup>2</sup>) F<sub>w</sub> = 0.02 m<sup>3</sup>/s. Il flusso d'aria e` circa 5 m³/s. L'aria e` il fluido che trasporta energia dall'ambiente esterno all'interno, principalmente in estate.

Se prendiamo un flusso F d'aria, l'apporto energetico e` D<sub>t</sub>E = F C<sub>aria</sub> DT, dove DT e` la differenza di temperatura dell'aria fra esterno ed interno. Con una DT di 10 gradi si hanno circa 15 10⁹ J/anno. Se pero` teniamo conto che la temperatura varia stagionalmente (supponiamo sinusoidale: T<sub>e</sub>=T<sub>o</sub>+D sin(a t) ) e che il flusso varia come la radice quadrata della differenza di temperatura, l'apporto energetico e` ridotto circa un decimo ( l'integrale fra 0 e πdi sin(x)^3/2 vale 1/(3 [ 2 π]^1/2) Gamma(1/4)² ).

In prima approssimazione la circolazione dell'aria segue un ciclo di Joule. Per esempio la circolazione estiva e` composta da una salita politropica (con k_e) all'esterno, una compressione quasi isobara entrando in grotta, una discesa politropica (con k_g), ed una espansione quasi-isobara all'uscita. Durante l'ascesa all'esterno l'aria riceve calore dal sole (e dall'ambiente), mentre nella discesa all'interno essa cede calore. Un contributo calorico viene anche dalla condensazione del vapore all'ingresso. Il lavoro fatto nel ciclo da una mole d'aria vale dove K=k/(k-1). Il calore assorbito dall'aria vale ("a": alto, "b": basso)

L'efficienza del ciclo e` mostrata in figura, per valori tipici degli esponenti politropici. Questa figura ignora gli scambi termici dovuti al vapore. La figura mostra che il rendimento si anulla solo quando la temperatura esterna e` vicina a quella della grotta, cioe` nei periodi di inversione. Per il resto, circa meno del 5 % del calore assorbito dall'aria, all'esterno nella circolazione estiva o all'interno nella circolazione invernale, e` trasformato in lavoro (perso con le forze dissipative durante il movimento). Quindi l'efficienza di trasferimento di calore del flusso d'aria e` circa 0.95.

Prendendo come riferimento temperature tipiche stagionali per il nord Italia a quote tra 400 e 1400 m (v. figura), il contenuto in vapore varia in estate da 7.08 gr per Kgr d'aria secca (nel caso di umidita` relativa del 60% ) per l'aria entrante all'ingresso alto, a 6.35 per l'aria uscente all'ingresso basso. In inverno si passa da 3.32 (80% umidita` relativa) in entrata all'ingresso basso, a 3.06 all'uscita dall'ingresso alto.

La prima figura mostra i cicli approssimativi delle circolazioni estiva (ciclo di destra) ed invernale (ciclo di sinistra). L'ingresso basso corrisponde alla isobara superiore. L'ingresso alto a quella inferiore. Sono indicate le energie (in Kgp-m) per un Kgr di aria che circola nel sistema. Sono indicati anche i calori scambiati e il lavoro, nelle diverse fasi dei cicli. Le freccie tratteggiate indicano evaporazione (verso l'alto) o condensazione (verso il basso).

La seconda figura mostra le posizioni dei vertici dei cicli rispetto alla cavita`.

Mentre l'aria circola verso il basso d'estate e verso l'alto d'inverno il flusso dell'acqua avviene sempre dall'alto in basso. In media entrano nel sistema 20 l/s, pero` la quantita` di acqua entrante varia stagionalmente. Approssimativamente si ha

Considerando che le precipitazioni invernali si accumulano (come neve) ed entrano nel sistema con lo scioglimento, a 0°C, e che la temperatura della pioggia risulta un paio di gradi inferiore alla temperatura media la temperatura media dell'acqua entrante risulta 4.4 °C.

L'acqua esce alla temperatura degli ingressi bassi (circa 7 °C), e acquista 2.34 °C durante la discesa, per la trasformazione dell'energia potenziale. Pertanto l'acqua risulta in equilibrio termico mediamente nell'arco dell'anno. In pratica l'acqua "calda" estiva cede calore alla roccia nella parte alta della grotta, mentre quella invernale ne assorbe calore. La terza riga della tabella riporta i valori del calore ceduto (o assorbito se negativo) nella parte alta. Mediamente durante l'anno l'acqua cede 8000 Kgp-m/s alla parte alta della grotta.

Durante la discesa l'acqua passa da 3.5 a 7 gradi per cui assorbe 10600 Kgp-m/s. Il bilancio energetico e` quindi in deficit di 2600 Kgp-m/s. Questo corrisponde a 0.28°C. L'acqua puo` entrare a temperatura differente da quella ambiente, poiche` puo` immagazzinare energia assorbita dal calore solare (laghi, ruscellamenti, ...) prima di entrare nel sottosuolo. Questo riscaldamento (stimabile dell'ordine di 0.5°C) sarebbe sufficiente a compensare il deficit termico.

Dalla circolazione dell'aria risulta che il suo bilancio energetico e` praticamente bilanciato in inverno (l'aria assorbe calore in basso e lo cede nella parte alta), mentre in estate l'aria apporta circa 1650 Kgp-m per m³. Quindi, con un flusso di 5 m³/s ne risultano 2600 Kgp-m/s.

Resta il problema di come fa l'energia localizzata nella parte alta della grotta a scendere lungo il sistema. La situazione in cui la variazione di temperatura non segue la legge adiabatica risulta in disequilibrio termodinamico. L'aria non potendo scendere lungo una adiabatica scambia calore con la roccia e l'acqua: percui si carica di calore e lo porta in basso fino a riottenere l'equilibrio termodinamico.

Mettendo assieme tutti i contributi il bilancio energetico deve risultare quasi nullo: assumendo una variazione di temperatura inferiore a 1°C in 100 anni, con una capacita` termica del sistema dell'ordine 10⁹ J/°K, il flusso netto di calore deve essere inferiore a 0.3 J/s.

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