La genesi delle grotte e` un processo divergente in cui un sistema di fratture in sviluppo supera tre soglie: quella cinetica, quella del moto in regime di turbolenza, e quella del trasporto di sedimenti clastici. La dimensione tipica per cui si superano queste soglie e` di circa un centimetro [677] .

La dissoluzione della roccia dipende da due fattori, il flusso di acqua e la cinetica chimica [869] [734] . Inizialmente, quando la cavita` non e` sviluppata, l'acqua ha tempo sufficiente perche` la soluzione di CaCO₃ sia in equilibrio, e la dissoluzione non dipende dalla cinetica chimica. La concentrazione di saturazione dipende dai minerali presenti, dalla CO₂ disciolta, dalla temperatura, dal tipo di sistema (chiuso o aperto), e dalla presenza di altri soluti.

La principale differenza fra i diversi percorsi (nelle microfratture) dell'acqua e` quindi la quantita` di flusso. La maggior parte della dissoluzione lungo una microfrattura ha luogo nella parte iniziale; quando la saturazione arriva al 60-90% la dissoluzione rallenta di parecchi ordini di grandezza. Questo permette che si formano microfratture abbastanza lunghe. La dimensione iniziale di una microfrattura speleogenetica e` di circa 0.01 mm (dipende dalla pressione idraulica, dalla chimica, e dalla lunghezza).

Orizzonti di incezione sono i contatti e i giunti di strato, che risultano favorevoli alla formazione di cavita`. La presenza di pirite o solfati favorisce la dissoluzione iniziale.

Il punto di svolta si ha quando la fessura diviene larga abbastanza da permettere un flusso d'acqua senza che questi si saturi. Da questo momento la fessura cresce di circa 0.001-0.01 cm/anno. Il tempo perche` cio` accada e` detto tempo di "breakthruogh", dove w e` l'ampiezza della fessura, P il gradiente idraulico (H/L), e L la lunghezza della fessura. La dipendenza del tempo di breakthrough dalla temperatura e` complessa.

Quando si ha raggiunto il "breakthrough", la dissoluzione dipende dalla natura dell'acqua, dove K=0.015 e n=1.7 circa se la concentrazione relativa c/c_s <0.7, mentre valgono K=0.24 e n=4 se e` maggiore.

L'acqua raccolta su rocce insolubili ha una P_CO2 0.001-0.005 atm (nell'aria P_CO2=0.00036), che produce una concentrazione relativa di CaCO₃=0.1-0.5. Il tempo per fare un condotto di due o tre metri di diametro risulta di soli 1000 anni. Se invece P_CO2=0.01-0.05 (acqua infiltrata attraverso il suolo) si ha CaCO₃=0.75-0.95 e la crescita risulta rallentata, 0.02 cm/anno. Il tempo per un condotto di due metri e` di 10000 anni.

Cavita` possono formarsi solo in corrispondenza di percorsi il cui flusso cresce col tempo, o perche` cresce la conduttivita` idraulica oppure perche` cresce l'area di raccolta. Una cavita` che si sviluppa per gradi richiede meno tempo di un singolo condotto. Questo perche` il tempo di breakthrough dipende dalla lunghezza come L^1/4. Al breakthrough il flusso diviene turbolento (e` quindi dissolve un poco di piu`) e riesce a trasportare sedimenti: si ha quindi anche abrasione della roccia, ma pure ricopertura con sedimenti.

Il piu` semplice modello di una frattura [898] e` quello di un condotto a sezione rettangolare (o ellittica) di apertura a, larghezza b, e lunghezza L. Fra le due estremita` si assume ci sia una differenza di carico idraulico h. L'evoluzione della frattura e` governata dalle leggi dei fluidi e dalla chimica della dissoluzione.

La portata e` Q = h/R, dove l'espressione della resistenza idraulica R varia e seconda che il flusso sia laminare (Hagen-Poiseuille, R = 12 u/(d g) L/(a<sup>3</sup> b M) ) oppure turbolento (Darcy-Weissbach R = |h| ( (L/h) f/(2 g A<sup>2</sup> D ) )<sup>1/2</sup>. Vedi Sez 7.f. In queste formule u e` la viscosita` dinamica dell'acqua, d la densita`, M e` un fattore geometrico che varia da 0.6-1 a/b (sezione rettangolare) a 0.3-0.6 a/b (sezione ellittica). g e` l'accelerazione di gravita` 981 cm/s<sup>2</sup>. A e` l'area della sezione A=ab, D e` il diametro idraulico D=2ab/(a+b), ed f e` il coefficiente di attrito (equazione di Colebrook-White) r e` la rugosita` e Re e` il numero di Reynolds Re = a v d / u = Q d /(u b) dove v e` la velocita` del flusso.

La velocita` di dissoluzione e` descritta da una legge lineare (n=1) per concentrazioni c inferiori ad una soglia c_s, e da una equazione non lineare al di sopra (n compreso fra 3 e 6, in genere 4) Per il calcare k₁ e` controllato dalle reazioni chimiche alla superficie, dalla conversione di CO<sub>2</sub> e dal trasporto di massa. In condizioni laminari il parametro principale e` il rapporto fra il volume e l'area superficiale V/A. Tipici valori di k/sub{1} sono 4 10^-11 [mol/cm^-2s]. Al crescere della apertura (sopra 0.1 cm) il parametro determinante diviene il trasporto di massa, e si usa dove D e` la costante di diffusione degli ioni Ca²⁺ (e vale 10^-5 cm²/s per l'acqua).

Se il flusso e` turbolento la soluzione viene mescolata dai vortici. La parte mescolata e` separata dalla superficie dallo strato limite diffusivo (DBL) di spessore e dipendente dalle condizioni idrodinamiche. Il trasporto di massa dipende dalla diffusione molecolare attraverso questo strato, e=a/Sh, dove Sh e` il numero di Sherwood, Sc e` il numero di Schmidt, Sc=u/(d D), che per l'acqua vale circa 1000.

All'inizio, quando il flusso e` laminare, la soluzione e` quasi in equilibrio dopo una breve distanza dall'ingresso. Dopo la velocita` di dissoluzione diminuisce di parecchi ordini di grandezza. La concentrazione di soglia varia fra 0.7 e 0.9 c<sub>eq</sub>. Valori tipici di k<sub>n</sub> sono 4 10<sup>-8</sup>. Se il flusso e` laminare la velocita` di dissoluzione puo` essere limitata dalla velodita di diffusione

La dissoluzione del gesso segue leggi simili, dove pero` Per il gesso n=4.5, k_n=3 10^-3, c_s=0.95 c_eq, e c_eq=15.4 10^-6 [mol cm^-3].

L'allargamento della frattura e` descritto dalla legge del bilancio di massa dove P e` il perimetro della frattura. La soluzione di questa equazione e` esponenziale, dove la disoluzione e` lineare, e polinomiale, nella parte non-lineare dove y_n= Q c_eq (1 - c_s/c_eq)^1-n / (P k_n (n-1) ). La formula nella regione lineare (n=1) ha l'esponenziale exp(-x/y₁) invece del polinomio (con y₁=Q c_eq/( P k₁ ) ).

Questo cambiamento da esponenziale a polinomiale e` quello che permette la dissoluzione della frattura anche a grandi distanze dal punto di ingresso, cosicche` si ha allargamento anche dell'uscita e quindi aumento del flusso. Questo meccanismo di feedback positivo porta al breakthrough, cioe` al momento in cui il flusso aumenta velocemente di parecchi ordini di grandezza, e la concentrazione in uscita e` quasi uguale a quella in ingresso. Dopo la frattura continua a crescere uniformemente. Assumendo che la velocita` di dissoluzione sia costante lungo tutta la lunghezza della frattura, Il coefficiente g tien conto della conversione da mol(/cm<sup>-2</sup> s) a cm/anno: vale 1.17 10<sup>9</sup> per il calcare, 1.72 10<sup>9</sup> per il gesso. Con qualche approssimazione questa equazione si integra dove t<sub>B</sub> e` il tempo di breakthrough, (2g)^-1 (n-1)/(2n+1) a(0)/F(0).

Il diagramma di Palmer rappresenta la relazione fra il raggio della frattura (microcanale) e la dissoluzione, in dipendenza dal flusso [899] .

Il limite superiore e` determinato dalla cinetica della reazione di dissoluzione all'interfaccia solido/liquido, e vale 0.01-0.1 cm/anno.

Questo diagramma non va bene per le evaporiti, la cui dissoluzione e` dominata dal flusso idrico.

La velocita` di dissoluzione della calcite e` misurata in mol/cm²s = 1.17 10⁹ cm/anno [676] [687] . Il flusso e la dissoluzione sono accoppiati. Il flusso in una frattura di larghezza a, ampiezza w e lunghezza L, in regime laminare e` Q=H/R dove H e` la pressione idraulica ed R= (12n/dg) (L/a³wM) la resistenza (legge di Hagen-Poiseville, M e` un fattore geometrico: se a e` comparabile con w, M=0.3, se a e` molto maggiore di w, M=1). In regime turbolento (numero di Reynold Re=avdn>2000) il flusso e` (legge di Darcy-Weisbach) Q=a(2gdh/fL)^1/2.

La dissoluzione risulta (Plummer) 10^-4 mMol/cm³ in assenza di CO₂, mentre in presenza di CO₂ la concentrazione di equilibrio e` C<sub>eq</sub>=10.75( 1 - 0.139 T) P<sub>CO2</sub><sup>1/3</sup> [mMol/cm<sup>3</sup>] in un sistema aperto. Se il sistema e` chiuso la concentrazione di CO₂ diminuisce con la soluzione di Ca²⁺, e l'equilibrio viene raggiunto con una concentrazione di dissoluzione inferiore.

La dissoluzione e` controllata da

• velocita` di dissoluzione F<sub>s</sub>=K<sub>3</sub> - K<sub>4</sub>(Ca<sup>2+</sup>)<sub>s</sub> (HCO<sub>3</sub><sup>-</sup>)<sub>s</sub> (il primo termine e` la costante di dissoluzione, il secondo e` la reazione inversa alla superficie);
• trasporto di ioni (diffusione);
• presenza di CO₂.

La variazione di CO₂ disciolta nel volume e` uguale al flusso di dissoluzione, dove V e` il volume ed A l'area superficiale. Per una frattura aperta V/A=d e` la semiapertura. Per le microfratture il fattore limitante e` la concentrazioe di CO₂. Quando d>1 cm la diffusione diventa il fattore limitante.

Quando la concentrazione di Ca²⁺ arriva quasi all'equilibrio si ha inibizione della dissoluzione e il fenomeno diviene non-lineare. In tal caso la dissoluzione e` il fattore limitante.

In regime di flusso turbolento c'e` uno strato limite, di spessore e, attraverso cui diffonde la Ca<sup>2+</sup>. e=a/Sh dove Sh e` il numero di Sherwood, (f/8)(Re-1000)Sc/[1+12.7(f/8)^1/2(Sc^2/3-1)], ed Sc=n/(dD) (numero di Schmidt) vale circa 1000 per l'acqua. La concentrazione di equilibrio risulta 10^-4 mMol/cm³ in zone di carso denudato, e 2 10^-3 mMol/cm³ in zone vegetative.

La denudazione carsica, cioe` l'altezza dello strato superficiale di roccia erosa/disciolta dall'acqua, ha un valore variabile da 15 a 40 mm/1000 anni per il carbonato di calcio, [709] [685] [825] [900] (da 20 a 70 mm/1000 anni secondo [686] , 25-100 nelle nostre regioni, 15 nelle zone desertiche, e fino a 400 in quelle equatoriali [420] ), e cresce al crescere della quota. La dissoluzione del gesso e` molto maggiore, in media da 0.2 a 1 mm/anno [901] .

La denudazione e` un processo chimico di soluzione della roccia superficiale. Lo spessore di roccia dissolta e` dh = 10^-3 K_c q/A, dove il coefficiente di denudazione vale K_c v = 0.007 - 0.014 m/anno (v e` la previpitazione meno l'evapotraspirazione). K<sub>c</sub> e` legato alla chimica della dissoluzione del carbonato di calcio (Dreybrodt), K_c = 40 10³ [Ca²⁺]_eq / d, dove 40 e` il peso molare del calcio, e d la densita` della calcite, 2700 Kg/m³. La concentrazione d'equilibrio dello ione calcio e` data da (P<sub>CO2</sub> K<sub>1</sub> K<sub>c</sub> K<sub>H</sub> / 4 K<sub>2</sub> g<sub>Ca</sub> g<sub>HCO3</sub><sup>2</sup> )<sup>1/3</sup>. Il coefficiente di denudazione dipende quindi dalla pressione parziale dell'anidride carbonica, P<sub>CO2</sub>, che e` variabile da 10^-3.5 a 10^-2.5 atm, e della temperatura.

I parametri che influenzano l'erosione fluviale sono la precipitazione annua (p dell'ordine di 400 mm/anno), il coefficiente di diffusione, K_d = 0.2 m²/anno, che descrive l'influenza del gradiente altimetrico sul trasporto del materiale, K_d D²h = (dh/dt)_diffusione, e il coefficiente di erosione (che vale circa K_e (p - e) = 0.01 m/anno). Il flusso di discarica e` pari a quello a-monte piu` l'apporto di precipitazione (meno l'evapotraspirazione), q = q_a-monte + (p - e) A. La quantita` di materiale eroso e` proporzionale alla pendenza dh e al flusso di discarica, Q = K_e dh q. Se Q e` superiore alla capacita` di traporto Q_t si ha deposizione di sedimenti. Se e` inferiore si ha erosione.

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