La classificazione dei fenomeni carsici basata sul numero delle componenti conivolte nel processo carsico distingue fenomeni di carsismo (a tre componenti), ipocarsismo (con meno di tre componenti) e ipercarsismo (piu` di tre). Infatti il caso piu` comune delle grotte nel calcare coinvolge tre componenti: carbonato di calcio, anidride carbonica ed acqua.

Esempi di processi ipocarsici (con meno di tre componenti) sono:

• grotte in quarzite e in tufo (bradicarsismo) (due componenti)
• grotte in gesso e in salgemma (tachicarsismo) (due componenti)
• grotte nel ghiaccio (un componente)
• grotte di scorrimento lavico (un componente)
• bolle di gas nella lava (zero componenti)
• grotte di origine tettonica e da erosione (zero componenti)

Quando invece sono coinvolti piu` di tre componenti si parla di ipercarsismo [864] [865] [866] . Questi fenomeni sono comunemente ascrivibili ad ambienti idrotermali ma possono avere rilevanza anche in situazioni "normali".

In genere i processi ipercarsici coinvolgono altri sali oltre alla CaCO₃, che intervengono nella chimica del processo carsico. Questi sali possono avere uno ione in comune con la sostanza carsificata, oppure intervengono solo indirettamente influenzando la forza ionica della soluzione.

In generale l'aggiunta di un sale con uno ione in comune con il soluto in soluzione diminuisce la solubilita di questo. Tuttavia cio` non e` sempre vero: l'aggiunta di carbonato di magnesio aumenta la solubilita` della calcite (effetto Picknett). Questa e` la ragione dei grandi vuoti al contatto fra calcare e dolomia.

La solubilita` della CaCO<sub>3</sub> cresce al crescere della salinita` (forza ionica). Ad elevata salinita` (-7, come nel mare) la solubilita` di CaCO₃ supera 210 ppm, indipendentemente dalla concentrazione della CO₂ nell'atmosfera. A basse salinita` (0, come nell'acqua piovana) la solubilita` dipende invece dalla CO₂ ed e` dell'ordine di 100 ppm. Valori tipici dei sali disciolti:

• 200 - 500 mg/l nei calcari;
• 2500 - 3000 mg/l nei gessi;
• 360 gl/l per il sale.

La diminuzione della solubilita della sostanza gia` presente, ne provoca la precipitazione. Pertanto si possono avere sia fenomeni di accentuata corrosione che fenomeni di deposizione, di concrezionamento e mineralizzazione.

L'ipercarsismo termale e` dovuto alla miscelazione di acque calde in risalita con acque fredde di origine meteorica.

Il carsismo dipende essenzialmente dalla dissoluzione della roccia (sovente calcare, percio` principalmente carbonato di calcio, CaCO<sub>3</sub>) da parte delle acque. L'acqua pura scioglie poco il carbonato di calcio (16 mg/l). Pero` l'acqua in contatto con l'atmosfera contiene disciolta una piccola quantita` di CO<sub>2</sub> che e` sufficiente ad aumentare la solubilita` del carbonato ci calcio (70 mg/l a 0°C, e 50 mg/l a 15°C). Nel suolo, sotto una copertura vegetale o sotto la neve, l'acqua si arricchisce ancor piu` di anidride carbonica, e puo` disciogliere anche alcune centinaia di mg/l di carbonato di calcio. La tabella sotto riporta lacuni valori tipici delle concentrazioni di CaCO₃ disciolta in acqua [867] [868] [869] [710] .

Nelle regioni fredde il gelo inibisce la corrosione carsica superficiale per parecchi mesi l'anno. Pero` sotto la neve si formano sacche d'aria ricche di anidride carbonica che rende l'acqua di fusione piu` aggressiva. In clima temperato la corrosione e` frenata dall'aumento della temperatura, ma e` favorita dalla presenza di vegetazione. Nelle regioni calde e secche invece la corrosione superficiale e` ostacolata dalla alta temperatura e dalla scarsita` di copertura vegetale. In queste regioni pero` la corrosione profonda e` possibile poiche` le acque di condensazione sono molto piu` fredde sotto terra che in superficie. Infine nelle regioni calde tropicali la corrosione e` intensa tanto in superficie quanto in profondita`, a causa principalmente della vegetazione.

La quantita` di anidride carbonica disciolta in acqua e` proporzionale alla pressione parziale di essa nell'atmosfera (legge di Henry) che esprime l'attivita` della CO<sub>2</sub> nella fase liquida in funzione della pressione parziale della stessa nella fase gassosa, dove il coefficiente K<sub>H</sub> e` la costante di Henry per la CO₂. Questa costante varia da gas a gas, e in genere cresce con decrescere della temperatura. La molalita` m rappresenta il numero di moli di CO<sub>2</sub> disciolte per massa di acqua, m = n/( n<sub>a</sub> M<sub>a</sub> ), dove M denota la massa molare. Il coefficiente di attivita` g_i tende all'unita` per soluzioni molto diluite. Spesso si usa la costante di Henry effettiva, H = K_H/g_H, percui questa relazione si scrive m_CO2 = H p_CO2.

Altre quantita` utilizzate sono la molarita`, la frazione molare, e la frazione di massa. La molarita` e` il numero di moli per volume di acqua, dove d e` la densita` del liquido. La molarita` viene anche denotata c<sub>i</sub>. Essa e` utile nel calcolo di reazioni chimiche ma la molalita` e` piu` utile in calcoli di termodinamica. La frazione molare varia fra 0 ed 1, Infine la frazione di massa e`

La frazione di anidride carbonica disciolta puo` essere espressa in litri per litro d'acqua o in milligrammi (il rapporto fra questi due vale 1.964 gr/l =44/22.4), secondo la tabella sotto riportata che contiene i coefficienti di solubilita` alla pressione di una atmosfera. Quando la pressione parziale della CO₂ e` inferiore, la quantita` disciolta in acqua e` ottenuta moltiplicando questi coefficienti per la sua pressione parziale (per esempio in aria questa vale circa 0.0003 atm).

La percentuale di anidride carbonica nelle cavita` e` superiore. Il tasso di CO₂ nel sottosuolo e nel reticolo di fratture vale tra 2 e 6 % . Nella zona delle gallerie aerate scende a 0.1 - 2 % . Nella zona profonda di dissoluzione ha valori generalmente compresi fra 0.2 e 4 % .

Nel caso di dissoluzione di acidi deboli HY bisogna tener conto anche della dissociazione in soluzione in ioni H⁺ e Y^- per cui si ha la costante d'equilibrio La quantita` totale di gas disciolto e` maggiore che se non ci fosse dissociazione, avendo usato la costante di Henry effettiva. Per gli acidi forti HX la dissociazione e` praticamente completa, la "costante di Henry" vale K'_a = K_H K_a = a_H+ a_X- / p_HX. In tal caso la costante di Henry effettiva diviene

La soluzione di anidride carbonica in acqua provoca la formazione di ioni carbonato e bicarbonato in soluzione. CO₃^2- con H⁺ secondo le reazioni schematizzate in figura, le cui costanti di equilibrio sono riportate nella tebella sotto.

La maggior parte della CO₂ in soluzione rimane come molecola lineare O-C-O idrata. Una parte forma il complesso CO₃^2- + 2 H⁺. Questi due sono sovente raggruppati introducendo la concentrazione effettiva della CO₂ disciolta, come somma di quella libera in soluzione e quella legata, Il valore di 1/K_o e` piccolo, circa 0.003, pertanto solo lo 0.3% della CO<sub>2</sub> in soluzione e` dovuta all'acido carbonico.

Le costanti di equilibrio delle reazioni sono espresse in termini delle attivita`, a<sub>x</sub>, dei reagenti. Queste sono legate alle concentrazioni, [x], tramite i coefficienti di attivita` g_x = a_x / [x], i quali dipendono dalla forza ionica della soluzione, secondo la legge di Debye-Huckel (ed estensioni empiriche a concentrazioni oltre 0.01 mol Kg^-1 che tentano di tener in conto interazioni fra gli ioni in soluzione), log(g_x) = - A I^1/2 Z_x² / ( 1 + B I^1/2 r_x ), dove r_x e` il raggio ionico effettivo del reagente ( che vale 9 per [H⁺], 4.5 per [CO₃^2-], 4 per [HCO₃^-], e 3 per [OH^-] ). I coefficienti A e B valgono A=0.4883 + 8.074 10^-4 T[°C] e B=0.3241 + 1.6 10^-4 T[°C].

L'equilibrio di queste reazioni e` governato dal pH della soluzione oltre che dalla pressione della CO<sub>2</sub> nell'atmosfera. La figura a lato riporta le frazioni molari di H<sub>2</sub>CO<sub>3</sub><sup>*</sup>, HCO<sub>3</sub><sup>-</sup> e CO<sub>3</sub><sup>2-</sup> rispetto alla concentrazione totale di atomi di carbonio. Da notare che per pH inferiori a 8.3 (come e` generalmente il caso per le acque carsiche che sono solitamente leggermente basiche avendo pH compreso fra 7 e 8-8.5), la frazione di [ CO₃^2- ] e` trascurabile.

La cinetica di questo equilibrio e` dominata dalla reazione H<sub>2</sub>O + CO<sub>2</sub> ->H<sub>2</sub>CO<sub>3</sub>, che e` abbastanza lenta. Tipicamente ci vogliono 50 s per arrivare al 50% dell'equilibrio e 100 s per il 99

In soluzione acquosa il carbonato di calcio e` ionizzato CaCO₃ ->Ca²⁺ + CO₃^2- e la CO₃^2- si combina con H⁺ per formare HCO₃^-. Si tratta di tre reazioni scrivibili globalmente

Il prodotto (solubilita`) delle concentrazioni dei due ioni all'equilibrio e` K_c = [Ca²⁺]_eq [CO₃^2-]_eq e dipende solo dalla temperatura. I valori di K_c sono molto piccoli e decrescono leggermente con la temperatura. La saturazione rispetto al calcio e` il rapporto rispetto a K_c delle effettive concentrazioni

Gli ioni Ca²⁺ in soluzione reagiscono con HCO₃^- e con CO₃^2-. Queste due reazioni hanno costanti d'equilibrio molto piccole e possono essere trascurate nelle condizioni dei carsi naturali.

La dissoluzione del carbonato di calcio aumenta [CO₃^2-] e diminuisce [H⁺] e [H₂CO₃^*], cioe` essa consuma anidride carbonica (una molecola di CO<sub>2</sub> per ogni molecola di CaCO<sub>3</sub>). L'evoluzione di queste concentrazioni dipende dal rapporto fra i volumi di atmosfera e liquido, X = V<sub>g</sub> / V<sub>aq</sub>. Quando l'acqua scorre nelle fessure senza atmosfera o nella zona allaganta (sistema chiuso) X=0. Quando scorre nelle gallerie il sistema e` aperto e X e` molto grande.

L'equilibrio chimico e` governato dalle leggi di massa (tabella sotto), dalla condizione di neutralita` elettrica, (che essenzialmente si riduce a 2 [Ca²⁺] = [HCO₃^-], e quindi la forza ionica e` circa I = 3 [Ca<sup>2+</sup>] ), dalla condizione di conservazione degli atomi di carbonio, Da notare che [CO<sub>3</sub><sup>2-</sup>]<sub>i</sub> e` trascurabile, e [H⁺]_i = [HCO₃^-]_i quindi per la legge di massa, Queste equazioni messe assieme permettono di ottenere una relazione fra [Ca²⁺] e [H⁺], dopodiche` le concentrazioni delle altre specie ioniche possono essere ricavate. Queste relazioni descrivono l'andamento chimico della soluzione al variare della concentrazione di ioni calcio disciolti.

La cinetica delle reazioni chimiche e` dominata dalla reazione piu` lenta, percio` e` il passaggio in soluzione del carbonato di calcio che determina la velocita` d'insieme di questo sistema di equazioni chimiche. Il tasso di dissoluzione "teorico" alla superficie e` dato dalla somma delle attivita` moltiplicate per le costanti cinetiche delle reazioni dirette meno quella inversa (equazione di Plummer, Wigley, Parkhurst) Questa equazione pero` da' valori troppo grandi, di un ordine di grandezza, perche` non tiene conto della diffusione degli ioni nell'acqua e del ruolo della CO₂.

Il tasso di dissoluzione alla superficie e` proporzionale ad una funzione della differenza fra la concentrazione degli ioni alla superficie, [x]<sub>s</sub>, e quella di equilibrio: F<sub>s</sub> = a<sub>s</sub> f( [x]<sub>eq</sub> - [x]<sub>s</sub> ). Questo deve essere pari alla diffusione nel liquido, F<sub>d</sub> = (D/h) ( [x]<sub>s</sub> - [x]<sub>l</sub> ), dove D e` il coefficiente di diffusione (tipicamente 10^-5 cm²/s), h e` lo spessore dello strato limite, e [x]<sub>l</sub> e la concentrazione nel liquido. La cinetica e` dominata dalla diffusione quando r_s e` grande, e dalla dissoluzione alla superficie quando e` piccolo.

Nel processo pero` interviene anche la conversione di CO<sub>2</sub> in H<sup>+</sup> e HCO<sub>3</sub><sup>-</sup>, il cui tasso e` f_CO2 A/V, dove A e` l'area della superficie e V e` il volume del liquido. Questo deve egualiare F_s. Quando il volume V e` molto piccolo questa e` la reazione determinante la cinetica.

In condizioni chiuse con flusso laminare (fessure e microfratture) il tipo di cinetica dipende dall'ampiezza H della fessura. Per H<2 10^-5m la cinetica e` dominata dalla conversione di CO<sub>2</sub> e la dissoluzione cresce linearmente con H. Per valori di H superiori cresce piu` lentamente ed la cinetica e` governata ssia dalla conversione di CO<sub>2</sub> che dalla diffusione. Per H >1 mm il tasso di dissoluzione resta costante e quando H supera 5 cm predomina solo la diffusione. Se il flusso e` turbolento (strato limite inferiore a 10^-4 cm) la diffusione e` determinata dai vortici: in pretica il coefficiente di diffusione e` 10⁴ volte piu` grande. La dissoluzione e` controllata dalla conversione di CO₂. Per H >1 mm il tasso di dissoluzione diventa costante e la cinetica e` controllata dalla reazione alla superficie.

In generale il tasso di dissoluzione risulta proporzionale alla differenza fra la concentrazione e quella di equilibrio, dove il coefficiente a dipende da temperatura, pressione parziale di CO₂, rapporto V/A, spessore dello strato limite, e tipo di flusso. La figura a lato mostra il coefficiente a al variare di V/A per flusso laminare e turbolento (T = 10°C, P_CO2 = 0.05 atm). La concentrazione di ioni calcio varia nel tempo d[x]/dt = (A/V) F([x]). Poiche' F([x]) e' lineare [x] cresce esponenzialmente verso il valore di equilibrio (la costante di tempo e' dell'ordine di 100 s).

Queste formule sono in buon accordo coi dati sperimentali per concentrazioni abbbastanza lontane da [x]_eq. Per valori prossimi alla concentrazione di equilibrio l'andamento di F([x]) non e' piu' lineare (come secondo l'equazione PWP) ma ha un andamento del tipo dove [x]_o rappresenta una soglia di transizione. I valori degli esponenti n e n' e dei coefficienti k e k' dipendono dalla roccia. In genere n' >n. La discrepanza dalla legge lineare (PWP, che comunque vale per la calcite sintetica ultrapura) e' dovuta alla presenza di impurita' che vengono adsorbite sulla superficie ed inibiscono la dissoluzione degli ioni calcio. Si puo' scrivere dove T([x]) e' l'isoterma di Fowker Frumkin (l'entalpia di adsorbimento cresce lineramente col grado di adsorbimento).

In conclusione [870] per flussi turbolenti e grandi (V/A >1 mm) la cinetica e' dominata dalle reazioni alla superficie e vale la legge PWP. Per flussi laminari in fessure inferiori al mm e per i veli sulle pareti la cinetica e' lineare e dominata della reazione H₂O + CO₂ = H₂CO₃. Per flussi laminari piu' grandi interviene anche la diffusione. Vicino all'equilibrio le reazioni superficiali diventano predominanti (a causa della inibizione).

Nella tabella sopra riportata i logaritmi sono in base 10.

Il coefficiente di 1/T e` legato all'entalpia di reazione, H<sub>R</sub>, secondo l'equazione di van t'Hoff (R e` la costante dei gas, pari a 0.082 l atm/M °K), d log(K) / dT = (H / R) T^-2.

Il coefficiente 2.144 e` ( 44 / 22.4 ) * (273+25)/273.

La variazione delle concentrazioni [H⁺] e [CO₃^2-] al variare della concentrazione di Ca²⁺ in soluzione sono mostrate in figura, per differenti valori di X, cioe` condizioni del sistema, da aperto (X molto grande) a chiuso (X = 0). La saturatione di calcio in soluzione varia in modo simile alla concentrazione [CO₃^2-]. [H₂CO₃^*] decresce linearmente con [Ca²⁺] con un coefficiente proporzionale a 1/X.

Nei sistemi carsici in cui l'acqua scorre in superficie prima di infiltrarsi nella roccia, la dissoluzione del calcio avviene in due modi: prima in condizioni aperte (lungo una linea quasi orizzontale nel diagramma [H₂CO₃^*] - [Ca²⁺] ) poi in condizioni chiuse (lungo una linea molto inclinata). Il risultato e` equivalente ad una dissoluzione in condizioni chiuse con una maggiore pressione parziale iniziale di CO₂. Questo spiega le alte concentrazioni di calcio (2 mM/l) in acque carsiche alimentate da un sistema diffuso.

Dalle equazioni del bilancio di massa e quella del bilancio della carica (semplificata 2 [Ca²⁺] = [HCO₃^-] ) si ottiene la formula di Caro per la concentrazione di equilibrio degli ioni H⁺ e calcio in soluzione in funzione della pressione parziale della CO₂:

Nei sistemi aperti P_CO2 e` fissata e queste relazioni permettono di ottenere la concentrazione d'equilibrio di Ca<sup>2+</sup>. Nei sistemi chiusi e` fissata la P_CO2 iniziale e quella finale si esprime tramite essa e la concentrazione di calcio, P_CO2 = P_CO2ⁱ - [Ca²⁺] / ( f K_H [1 + 1/K_o] ). Si ottiene cosi` una equazione cubica per la concentrazione degli ioni calcio. Queste curve hanno una concavita` rivolta principalmente verso il basso (cio` rende conto della corrosione per miscelazione, effetto Bogli [v. sotto]).

L'influenza di ioni estranei sull'equilibrio della calcite ha differenti aspetti.

• Se il sale ha ioni che non rientrano nell'equilibrio della calcite (per esempio Nacl), esso influenza solo la forza ionica della soluzione, e quindi la solubilita` del calcio. Questo effetto e` solitamente piccolo;
• Se il sale aggiunge uno ione comune, Ca²⁺ oppure CO₃^2- si ha diminuzione della solubilita` della calcite (anche se nel caso dello ione Ca<sup>2+</sup> la quantita` totale di calcio in soluzione aumenta);
• In presenza di ioni CaSO₄ la concentrazione di Ca²⁺ e` ridotta e la solubilita` della calcite cresce (di circa 3% per 10^-3 M/l di solfato).

Nella CO₂ in soluzione (determinata dalla pressione di CO₂ nell'atmosfera sovrastante), si distinguono la porzione libera (in soluzione sotto forma di acido carbonico) e quella legata, combinata con i sali in soluzione perche` andata a disciogliere il carbonato di calcio: la quantita` di carbonati disciolti e` proporzionale alla quantita` di CO₂ combinata, in proporzione 2.273, pari al rapporto dei pesi molecolari, 100 e 44 rispettivamente: a 22 mgr/l di CO₂ disciolta corrispondono 50 mgr/l di CaCO₃ in soluzione. All'equilibrio la soluzione non e` aggressiva. Si ha una ben determinata quantita` di CO₂ libera e una di CO₂ associata ai carbonati, e quindi un pH della soluzione ben preciso. Dunque all'equilibrio c'e` una relazione che lega temperatura, pH, e concentrazione di CaCO₃^- (v. tabella sotto e figura a lato).

Se si discioglie una ulteriore quantita` di CO<sub>2</sub> la soluzione diviene aggressiva: questo corrisponde ad un punto sotto la curva di equilibrio, punto B' in figura. La differenza B' - A rappresenta la CO<sub>2</sub> aggressiva. Il pH della soluzione e` inferiore a quello di equilibrio. La soluzione si riporta allora all'equilibrio, aumentando sia la CO₂ libera (e quindi il pH) che quella combinata, portandosi cioe` al punto B.

Per pH superiori al pH di equilibrio la soluzione e` satura di carbonati e si ha deposizione.

La misurazione del pH dell'acqua e della temperatura e` un indicatore della aggressivita` dell'acqua. Dalla misura della conducibilta` elettrica si risale alla concentrazione di sali disciolti, che e` principalmente la CaCO₃ disciolta (tabella sotto riportata, oppure abaco di Roques [871] , in figura e` riportata la curva per T=15°C). Unitamente alla misura della pressione parziale della CO<sub>2</sub> nell'atmosfera (cioe` alla sua percentuale) questo permette di valutare se gli equilibri delle reazioni chimiche sono spostati a sinistra oppure a destra e quindi se l'acqua e` aggressiva (corrode la roccia) oppure se tende a depositare i sali in essa disciolti. Se la [CO<sub>2</sub>] in soluzione (ottenuta dalla P(CO<sub>2</sub>) con la legge di Henry) e` inferiore al valore riportato si ha deposizione di carbonato di calcio. Se il valore e` superiore si ha corrosione della roccia.

Nell'impiego dell'abaco di Roques bisogna tener presente i suoi limiti:

• riporta le concentrazioni, mentre gli equilibri chimici dipendono dalle attivita`, percio` l'abaco va bene per acque con debole forza ionica (contenuto di sali);
• si riferisce al solo sistema H₂O - CaCO₃ - CO₂;
• non tiene conto degli altri ioni (in particolare Mg).

Il sistema di equazioni chimiche puo` essere impostato numericamente e risolto col calcolatore (Fritz, 1981, "Etude thermodynamique et modelisation des reactions hydrothermales e diagenetiques", Mem. 65 Sc. Geol. Univ. Strasbourg).

Il pH e` definito come l'antilogaritmo della concentrazione di ioni H<sup>+</sup>: pH = - log( [H<sup>+</sup>] ). La soluzione e` acida quando il pH e` inferiore a 7; e` basica quando e` superiore a 7. L'acqua del mare ha pH = 8.3 (cioe` e` basica); i danni alla vita animale iniziano quando il pH scende sotto a 6.5 [872] .

L'alcalinita` e` la capacita` di reagire con ioni H<sup>+</sup>. Essa e` un indicatore del contenuto di carbonati e bicarbonati (e alcali). Conoscendo il pH e la alcalinita` si puo` ottenere la concentrazione di CO₂ disciolta.

L'indice di saturazione della calcite e` il rapporto fra le attivita` degli ioni calcio e carbonato e la costante di equilibrio, E` inferiore ad uno se la soluzione e` sottosatura, e l'acqua ha capacita` di dissolvere la roccia. Se e` maggiore di uno e` sovrassatura, e l'acqua tende a depositare calcite. Alternativamente si usa il logaritmo di questa espressione per cui si raffronta con 0. Il calcolo di questo indice dipende dalla misura del pH e un errore in questa comporta un pari errore in log(S) [873] .

Ricapitolando: la solubilita` della CO₂ diminuisce con la temperatura, mentre quella dalla CaCO₃ aumenta.

L'aggressivita` dell'acqua cioe` la capacita` di sciogliere il calcare (calcite e dolomite) dipende dalla concentrazione di CO<sub>2</sub>. L'acqua di origine meteorica che passa nel terreno puo` arricchirsi di CO₂ e diventare aggressiva. Questo succede se l'acqua attraversa terreni ricchi di acidi organici e in condizioni relativamente fredde, percio` gli ambienti piu` favorevoli allo sviluppo del carsismo sono quelli coperte di vegetazione e con clima temperato.

Pero` l'acqua di infiltrazione satura di CO<sub>2</sub> diventa ben presto satura di carbonato, quindi il suo effetto corrosivo e` pressoche` limitato alla zona superficiale. La concentrazione della CaCO₃ disciolta nell'acqua in un sistema carsico cresce andando dalle zone di assorbimento fino alle risorgenze. Essa varia a seconda del regime idrico che ha regolato il trasferimento dell'acqua e delle condizioni di scambio con la roccia: fessure e vaschette con flussi lenti hanno acque molto sature, condotti con flussi veloci portano acque con minor saturazione.

La corrosione dei massicci nelle zone profonde ha luogo poiche` le acque delle piene arrivano in profondita` in condizioni sottosature a causa del veloce trasferimento all'interno del sistema.

La miscelazione di acque sature puo` produrre acqua sottosatura, e quindi rinnovarne l'aggresivita` (questo e` chiamato effetto Bogli [874] , anche se in effetti e` stato proposto da Laptev trent'anni prima) [875] [876] . Questo effetto, certamente importante per acque marine, e` comunque debole per le acque dolci. La corrosione per miscela si realizza in assenza di atmosfera, altrimenti la CO₂ si riequilibra con quella dell'aria. Quindi questo meccanismo si applica a zone allagate e/o sature (reticolo saturo). Le morfologie associate alla corrosione per miscelazione sono slarghi dopo una confluenza e cupole alimentate da canali di piccole dimensioni.

Quando l'acqua diviene sovrassatura si ha precipitazione di carbonato di calcio. All'interno della grotta questo da` luogo agli svariati fenomeni di concrezionamento. Quando la precipitazione avviene alle risorgenze si generano tufi e travertini.

La condensazione di vapor acqueo sulle pareti produce acqua priva di sali disciolti, e quindi aggressiva, cioe` in grado di corrodere la roccia. Gli effetti sono evidenti quando c'e` una elevata differenza di temperatura, ma anche quando l'acqua di condensazione e` particolarmente aggressiva per per la presenza di acidi forti, oppure quando la quantita` di acqua e` elevata come per l'aria in ingresso d'estate [877] . La corrosione di condensazione ha uogo anche in sistemi ipocarsici (lava e ghiaccio) ove e` importante anche per l'influenza sulla genesi di formazioni. Le tipiche morfologie attribuibili a questo fenomeno sono duomi, cupole emisferiche, scallops.

Consideriamo [878] una parete di roccia coperta da un velo d'acqua, in equilibrio termico con essa (temperatura T_r), e il cui spessore e` costante se il flusso lungo la parete viene rimpiazzato dalla condensazione. Si ha condensazione quando la pressione vapore nel fluido P<sub>r</sub> e` inferiore a quella nell'aria P_a.

Vicino alla parete l'aria ha uno strato limite di spessore s in cui le molecole d'acqua diffondono (D coefficiente di diffusione molecolare dell'acqua in aria 2.5 10^-5 m²/s). Il flusso di vapore attraverso lo strato limite e` descritto dalla legge di Fick F_w = D/s (C_a - C_r), dove C sono le concentrazioni di vapore in aria e sulla roccia. In termini delle pressioni di vapore, F_w = (D/s)(M/RT_a)(P_a - P_r).

Il flusso di energia per conduzione dovuto alla differenza di temperatura fra aria e roccia, DT=T_a - T_r, e` F<sub>c</sub> = K<sub>a</sub> DT/s', dove s' e` lo spessore dello strato limite per la conduzione di calore, e K_a e` la conduttivita` termica dell'aria (0.026 W/m K). Il flusso di energia associato alla condensazione di vapore e` dato dal prodotto di F<sub>w</sub> per il calore latente di condensazione (2450 J/g), e risulta circa 0.044 DT/s. Il flusso totale di calore e` la somma di questi due contributi In generale s'=s (Pr/Sc)^1/3, dove Pr e Sc sono i numeri di Prandtl per la convezione, e di Schmidt per la diffusione. Per l'aria entrambi sono 1 e s'=s.

La quantita` di acqua condensante risulta Q = 1.8 10^-5[g/m K] DT/s.

La soluzione ha un limite stazionario che viene raggiunto quando la roccia raggiunge la temperatura T - T_r,0 = A/(1+A) (T_a - T_r,0), dove A=(K/K_r) Z/s. Qui K_r e` la conducibilita` termica della roccia (1.3 W/m K per il calcare, 0.5 W/m K per il gesso), e Z e` lo spessore della roccia (che dipende dalla scala temporale del fenomeno). Questo valore stazionario viene raggiunto con un andamento esponenziale, con costante di tempo dove k e` la diffusivita` termica della roccia (5.6 10<sup>-7</sup> m<sup>2</sup>/s per il calcare, 3.6 10<sup>-7</sup> m<sup>2</sup>/s per il gesso), e b e` la prima soluzione di b=A tg(b). Poiche` T risulta inferiore a T_a, anche in condizioni stazionarie si ha sempre condensazione, Per Z abbastanza "grande" rispetto a s, il flusso di condensazione diventa indipendente da s.

Questa analisi presuppone una parete piana; per altre geometrie si ottengono risultati qualitativamente analoghi, a meno di un fattore di forma che tien conto della geometria.

Se la temperatura dell'aria e` alternata rispetto a quella della grotta (ciclo diurno, ciclo stagionale), quando l'aria e` calda e umida si ha condensazione, quando e` piu` fredda si ha evaporazione solo se l'acqua non scorre via sulla roccia. Senza evaporazione il flusso di calore roccia/aria e` solo quello dovuto alla conduzione termica (coefficiente 0.027 anziche 0.07) percio` il raffreddamento e` piu` lento del riscaldamento. Ne risulta che la temperatura della roccia varia intorno ad un valore piu` alto del valor medio della temperatura dell'aria (Figura).

Nelle variazioni stagionali, in estate entra aria calda e si ha condensazione, in inverno entra aria fredda e la condensazione si ferma. La quantita` di condensazione e` circa (per condensazioni con periodo superiore a mezza giornata) Q = ½(T_a - T_r)( 20 + t_c^1/2) [g/m²] dove t_c e` il periodo della condensazione (in secondi). Per t=100 giorni Q=1500 g/m<sup>2</sup> K, cioe` una dissoluzione di 3.5 10^-5 mm/y K (senza tener conto della pressione parziale di CO₂: bisognerebbe moltiplicare per (P_CO2/0.00035)^1/3 ). Questo e` comunque un valore molto piccolo.

Nelle variazioni giornaliere, la condensazione da' risultati piu` rilevanti (dell'ordine di 10<sup>-6</sup> mm/y) pero` e` attiva solo nelle prime parti della grotta.

La corrosione per condensazione puo` riguardare anche gli speleotemi Il calore di condensaione viene trasferito al substrato roccioso. L'equilibrio termico viene raggiunto dopo un tempo t=D/(4 b<sup>2</sup> k); D e` il diametro della concrezione, e b e` la prima radice di tg(b)/b = 2 s K<sub>r</sub>/(D K) (se D=30 cm, t=4 h). Dopo 5t la condensazione e` essenzialmente finita (equilibrio termico). Se D e` abbastanza piccolo la concrezione segue i cicli diurni dell'aria.

La quantita` di condensazione si ricava dal bilancio energetico (la condensazione corrisponde al 70 % circa del calore), Q_c M_c = 0.7 C_p M DT, quindi F = M/(πD L) = 0.17 D DT [Kg/m²}, che corrsponde ad una dissoluzione di 1.4 10^-3 D DT [mm/y].

Concrezioni di diametro piu` grosso non raggiungono l'equilibrio termico, e la loro temperatura oscilla intorno ad un valore intermedio fra in minimo e il massimo dell'aria.

Il carsismo ipogenico [688] [879] risulta da aggressivita` delle acque prodottasi in profondita` (CO₂ endogena, degassazione di magmi, H₂S)₄) ed e` legato a flussi in risalita senza influenza diretta da fattori esterni. E` caratterizzato dall'assenza delle microforme gravitative/vadose (scallops, fori, etc.) e dai tipici depositi (argille, ciotoli).

Le morfologie, dovute a gas ascendenti in ambiente freatico, sono

• canali di bolle ("bubble trails"), canali e tubi di corrosione, scavati dalle bolle di gas in risalita;
• genarale copertura di calcite che si deposita dall'acqua sovrassatura, eccetto che nei tubi di corrosione.

L'acqua di origine profonda si decomprime durante la salita, quindi la CO₂ disciolta si libera a genera le bolle di gas. Le bolle si possono fermare in anfratti del soffitto, formando una atmosfera ricca di CO₂, in cui la condensazione corrode il sofitto ("boxwork") lasciando anche sporgenze pendenti ("piede d'elefante"). L'acqua degassata risulta soprassatura e quindi deposita calcite, generando diverse morfologie,

• "folia" a soffitto: sono cornicioni invertiti, in cui si ha deposizione lungo l'orlo e corrosione nella cavita`;
• coralloidi al suolo;
• "penitenti": torri coniche di deposizione subacquea;
• copertura calcitica a crescita rapida, percio` con molti vuoti ("popcorn", saccaroidi).

Il gesso e` la forma idratata del solfato di calcio ed e` piu` stabile a temperatura e pressione normali. L'anidrite predomina ad alte pressioni e/o temperature. Percio` oltre una profondita` di circa 450 m si trova principalmente anidrite. La conversione di anidrite in gesso avviene durante l'emersione. In essa il volume molare aumenta (di 1.626) ma il volume globale diminuisce (teoricamente del 8.6in pratica di circa il 3Il processo di idratazione dipende dalla struttura della roccia, dal chimismo dell'acqua e da pressione e temperatura. Si presume che avvenga sia per dissoluzione/precipitazione che per diffusione di acqua nel reticolo cristallino.

Le caratteristiche chimico-geologiche delle rocce gessose che ne influenzano il carsismo sono [666] [880] [881] [882] [843]

• elevata solubilita` (2.53 g/l per il gesso, circa 2.0 g/l per l'anidrite; entrambe leggermente crescenti con la temperatura), un ordine di grandezza superiore a quella del calcare;
• facile erosibilita` meccanica;
• porosita` quasi nulla;
• bassa densita` di fratturazione;
• presenza di interstrati pelitici impermeabili.

Lo sviluppo del carsismo e` guidato dagli elementi strutturali (fratture, interstrati, faglie) e dalle condizioni idrodinamiche. Le grotte nel gesso vengono suddivise in quattro categorie:

1. cavita` isometriche isolate,
2. cavita` labirintiche (in 2 o 3 dimensioni),
3. cavita` di attraversamento,
4. cavita` a pozzo.

Le prima due sono legate ad acquiferi confinati (anche solo parzialmente), con apporto laterale o basale (carsismo profondo). Le altre due sono legate ad un carsismo di affioramenti il cui sviluppo e` praticamente vadoso (o epifreatico).

La reazione di dissoluzione del gesso e` Il pK di questa reazione vale 4.667 - 5.197 10<sup>-9</sup> T + 1.133 10<sup>-4</sup> T<sup>2</sup> (dove T e` in gradi centigradi). L'indice di saturazione e` il rapporto fra le attivita` degli ioni calcio e solfato e la costante di equilibrio, E` inferiore ad uno se la soluzione e` sottosatura, e maggiore di uno se e` sovrassatura (oppure si usa il logaritmo di questa espressione per cui si raffronta con 0).

La solubilta` varia con la pressione sulla roccia: 1/S dS/dP vale circa 400 Pa<sup>-1</sup> per l'anidrite e 40 Pa<sup>-1</sup> per il gesso. Il gesso presenta differente solubilita` a seconda delle dimensioni dei cristalli, con un massimo per 0.2-0.5 mm (per l'anidrite il massimo e` a circa 2.8 mm). La presenza di ioni estranei aumenta la solubilita`, per l'aumento della forza ionica della soluzione. La presenza di uno ione comune diminuisce la solubilita` di entrambi (come nel caso di CaCo₃).

La cinetica del carsismo del gesso e` dominata dalla diffusione, per il gesso e` del primo ordine (n e` circa uno), per l'anidrite del secondo ordine (n circa due). Il coefficiente k dipende dalle condizione dello strato limite (tipo di flusso, velocita` del flusso), proprieta` del minerale, rugosita` superficiale, presenza di altri ioni, temperatura.

Il gesso CaSO₄.2H₂O e il carbonato di calcio CaCO₃ formano un sistema chimico con lo ione calcio Ca⁺⁺ in comune [883] . Questo sistema comprende anche la dissoluzione della CO₂ presente nella fase gassosa e l'idrolisi dell'acido carbonico.

Questo sistema chimico ci permette di capire fenomeni di dissoluzione e concrezionamento delle rocce gessose. Per esempio, la diffusione di CO₂ (spostamento della terza reazione verso destra) comporta un aumento di ione carbonato e quindi uno spostamento della seconda reazione verso sinistra, cioe` una deposizione di carbonato di calcio. Quindi la diminuzione di ione calcio in soluzione favorisce la dissociazione del solfato, cioe` la dissoluzione del gesso. In altre parole la diffusione di anidride carbonica rende la soluzione aggressiva nei confronti del gesso (effetto Piknett).

L'analisi del sistema chimico fornisce curve di equilibrio in funzione del pH della soluzione e della concentrazione della CO₂ disciolta [884] . La curva varia a seconda della temperatura, in figura e` riportata quella per 10°C. La precipitazione di un qualsiasi sale rende la soluzione sottosatura rispetto all'altro. La precipitazione del gesso innalza il pH, quella della calcite lo abbassa.

E` possibile riscontrare concrezioni calcitiche in grotte di gesso, come pure concrezioni gessose in rocce calcaree. La presenza di carbonati nelle rocce gessose e` dovuta a coperture, intercalazioni, riepimenti, e anche all'azione della CO₂ stessa. La presenza di solfati in rocce calcaree e` dovuto a fenomeni indiretti: ossidazione di solfuri da parte di batteri, solubilizzazione di gesso o anidrite.

Il sale (halite) ha una solubilita` molto alta, 360 gr/l [885] . La costante di equilibrio della dissoluzione di NaCl e` K=(Na⁺)(Cl^-) = 101.51 (a 0°C, ma varia poco con la temperatura) [886] . La cinetica e` percio` controllata dalla diffusione. Nelle pozze di acqua ferma si arriva all'equilibrio in alcune ore. Nei veli sulle pareti in flusso laminare ci voogliono alcuni minuti. I torrenti turbolenti restano sottosaturi per parecchie centinaia di metri.

Il maggior peso dell'acqua salata, rispetto a quella pura, provoca fenomeni di stratificazione nell'acquifero.

Essenzialmente il carsismo nelle quarziti [887] [888] [889] [890] e` dominato dalla tettonica (fessurazioni, legate a fenomeni distensivi), con forme a canion e reticoli di gallerie ad angolo retto. La roccia e` trasformata dalla dissoluzione chimica in sabbia poco cementata, facilmente asportabile dall'acqua. Sono presenti microforme carsiche epigee: vaschette, canalicoli, docce e scanellature.

La solubilita` del quarzo e` troppo bassa (6 ppm a 25°C) e praticamente indipendente dall'acidita`, per pH inferiori a 8. Altre forme della silice SiO<sub>2</sub> hanno solubilita` maggiori (calcedonio 17 ppm, cristobalite 27 ppm, silice amorfa 115 ppm).

La dissoluzione del quarzo e` un processo di idratazione, la prima reazione avviene in soluzione neutra, la seconda in soluzione alcalina. La costante di equilibrio della prima reazione vale K = (H<sub>4</sub>SiO<sub>4</sub>) = 1.1 10<sup>-4</sup> (a 25°C). L'acido silicico si deidrata parzialmente formando polimeri e si dissocia liberando ioni H<sup>+</sup>. La concentrazione di equilibrio e` circa 10 mgr/l. La cinetica e` controllata dalla rottura dei legami chimici e dalla idratazione dei silicati ed e` molto lenta, a temperatura ambiente (10^-17 M cm²/s; puo` aumentare con la presenza di cationi e composti organici).

La dissoluzione nella quarzite e` limitata alle superfici di separazione fra i cristalli, e procede fino a che la rocce diventa sabbia. L'acqua meteorica penetra tra giunti e superfici interstrato, dissolvendo la quarzite ai lati. I maggiori condotti comunque si formano per erosione meccanica, distaccamento dei grani uno ad uno, da parte dell'acqua. Incominciano alle emergenza e procedono a ritroso nel massiccio. Percio` le gallerie sono vadose.

Dalla prcipitazione si hanno concrezioni di opale. Questa ha luogo solo dove la oluzione diventa sovrassatura, quindi dove canalicoli raggiungono cavita` sotterranee aerate, e il substrato resta stabile.

Il ghiaccio e` una formazione sedimentaria. Il carsismo del ghiaccio piu` che un fenomeno chimico e` un fenomeno fisico, tuttavia lo incodo in questa sezione sui meccanismi di carsismo. [664] [891] , [892] , [893] , [894] , [895] , [635] , [896] ...

Le cavita` glaciali sono di diversi tipi: I ghiacciai alpini sono "caldi" (temperati): la temperatura e` al punto di fusione dell'acqua. Nei ghiacciai "freddi" (polari) le uniche cavita` sono quelle di frattura, mentre in quelli caldi si hanno anche cavita` generate dall'acqua:

• cavita` subglaciali, al contatto fra ghiaccio e roccia;
• condotti endoglaciali, cioe` interni alla massa di ghiaccio;
• crepacci, cavita` di distensione meccanica, che si formano principalmente presso la zona terminale del ghiacciaio. Estesi lateralmente e profondi al piu` alcune decine di metri.
• mulinelli glaciali: pozzi di assorbimento.

Il ghiaccio naturale presente sulla terra e` nello stato esagonale (detto "Ih"). La linea di equilibrio fra acqua a ghiaccio Ih ha pendenza negativa, cioe` il liquido (acqua) e` piu` densa del solido (ghiaccio). La struttura atomica del ghiaccio e` esagonale, con ogni atomo di ossigeno legato da quattro legami idrogeno agli atomi vicini posti ai vertici di un tetraedro. Molte delle proprieta` fisiche del ghiaccio sono dovute alle particolarita` del legami idrogeno. Anomalie della struttura sono i difetti dei legami, dislocazioni cristalline, e difetti superficiali (presenza di grani).

Il ghiaccio e` trasparente alla luce visibile. E` doppio rifrangente, uniassiale, e otticamente positivo ma con birifrangenza molto piccola. Ha una banda di assorbimento infrarossa larga.

Il comportamento meccanico del ghiaccio e` quello di un mezzo rigido per valori dello sforzo di taglio bassi (quindi fratturabile), poi diventa viscoso ed infine plastico. Quando lo sforzo supera un determinato valore (circa 100 kPa) il ghiaccio si deforma come se fosse creta. Sotto la propria spinta idrostatica il ghiaccio e` gia` plastico alla profondita` di una decina di metri. La velocita` di scorrimento e` legata all'intensita` dello sforzo s, legge di Glen [897] dove T e` la temperatura (in gradi assoluti), k la costante di Boltzmann, Q l'energia di attivazione. Per sforzi fra 100 e 250 kPa A=5 10^-15 s^-1 kPa^-3, Q = 139 kJ/mol e n=3. Per sforzi inferiori a 100 kPa n=2. Approssimativamente possiamo utilizzare du/dt = A sⁿ dove s e` espresso in kPa. L'esponente n dipende dalla temperatura, e in genere varia fra 1.9 e 4.5. Anche A in questa approssimazione dipende dalla temperatura. Quando lo sforzo supera 400 kPa la velocita di scorrimento aumenta sempre piu` velocemente e le precedenti formule non sono piu` valide.

Un sistema endoglaciale presenta della zone come un sistema carsico nella roccia: zona di assorbimento superficiale (in cui l'acqua entra nel ghiacciaio), zona di trasferimento verticale e zona di "falda" (con condotti orizzontali e grossi condotti di riemergenza). L'acqua di fusione scorre superficialmente sul ghiacciaio lungo rivoli e rigagnoli. Quando penetra nel ghiacciaio scende generalmente lungo pozzi verticali (mulinelli), separati da brevi meandri, e impostati lungo discontinuita` meccaniche (fratture). Le fratture della zona superiore (di trasferimento verticale) si propagano all'interno della massa del ghiacciaio fino alla profondita` limite a cui il ghiaccio diviene plastico e quindi si deforma in modo da chiudere eventuali fratture. In linea di principio la pressione dell'acqua potrebbe tener aperta una frattura anche oltre questa profondita` limite, tuttavia i mulinelli possono raggiungere il substrato roccioso solo se il ghiacciaio non e` spesso (meno di 50 m).

I mulinelli si formano in zone dove si ha fusione e scorrimento superficiale ed in corrispondenza di discontinuita` meccaniche. Possono arrivare a oltre 10 m di diametro, ma in genere sono di pochi metri e scendopo per decine di metri. Quindi in zone non crepacciate. Apparentemente i mulinelli hanno un ciclo legato al ciclo di accumulo e ablazione del ghiacciaio. Si generano sempre nello stesso posto, e poi migrano a valle trasportati dallo scorrimento del ghiacciaio fino a che non ricevono piu` acqua e collassano. Il periodo di crescita e` in genere di uno o due anni, dopodiche` inizia la senescenza e nal giro di pochi anni si chiudono (sono stati osservati anche mulinelli di 20 anni). L'anno successivo si forma un nuovo proto-mulinello nella posizione originaria che poi si sviluppa in un mulinello. Il processo di formazione non e` chiaro; probabilmente determinato dallo stato degli sforzi di distenzione all'interno del ghiaccio e dalla conformazione superficiale (apporto idrico).

La morfologia dei mulinelli e` di due tipi

• pozzo a sezione ellittica con ruscellamento diffuso lungo le pareti, che risultano liscie o con scanalature verticali;
• pozzo a cascata, con andamento a gradini, con terrazzi, marmitte; hanno forme complesse con meandri e forre.

Il limite di profondita` dei pozzi glaciali sembra essere attorno al centinaio di metri (50-80 m, ma in alcuni casi si sono raggiunti fino a -200 m), profondita` a cui il ghiaccio ha ormai comportamento plastico e la pressione del ghiaccio sovrastante e` tale da rendere i passaggi troppo stretti (se non e` controbilanciata dalla pressione dell'acqua, nel qual caso la galleria e` allagata) [894] . Il fondo dei pozzi e` solitamente pieno d'acqua (laghi endoglaciali oppure il livello della zona satura).

Il livello della falda freatica (70-150 m) e` soggetto a variazioni (anche veloci) in funzione della alimentazione e della deformazione plastica del reticolo di gallerie sommerse. Nella stagione calda il reticolo delle gallerie allagate si trova ad una profondita` di 100-150 m. D'inverno, quando cessa l'apporto idrico le gallerie collassano sotto la spinta del ghiaccio a profondita` superiori a 50-60 m.

La zona di scorrimento endoglaciale e` situata al limite fragile-plastico del ghiaccio. L'acqua scorre in condotti sub-orizzontali, organizzati in disposizioni dendritica che confluiscono via via in condotti di dimensioni crescenti. La sezione dei condotti e` circolare similmente alle gallerie freatiche carsiche. Lo spessore della zona satura dipende dall'equilibrio fra apporto idrico e portate uscenti. Il livello della zona satura oscilla nel corso dell'anno, anche di parecchie decine di metri.

I ghiacciai temperati hanno una zona di scorrimento subglaciale tra il ghiacciaio e il substrato roccioso. Normalmente l'acquifero subglaciale e` indipendente da quello endoglaciale, eccetto ove le fratture della zona superiore si possono propagare fino al substrato, solitamente in prossimita`della fronte del ghiacciaio dove lo spessore e` ridotto e la fratturazione e` piu` intensa. La acque subglaciali vengono a giorno in corrispondenza della fronte stessa, formando torrenti che scorrono in condotti subglaciali (cavita` di contatto, dette porte del ghiacciaio). Questi sono sovente piu` d'uno. Nelle cavita` di contatto e` importante speleogeneticamente anche l'azione erosiva del sedimento solido trasportato dall'acqua. Tali cavita` hanno una evoluzione piu` irregolare dei mulinelli, a causa anche delle instabilita` della volta (con collassi e distacco di grandi lame di ghiaccio, "sfoliazioni"). Una particolare morfologia sono i grandi scallops sulle parete generati dalle correnti d'aria, quando ci sono piu` ingressi comunicanti.

L'attrito dell'acqua che scorre produce calore che fonde il ghiaccio. Percio` lo scorrimento tende ad allargare i condotti mentre la pressione nel ghiacciaio tende a chiuderli. I condotti maggiori si formano dunque a piccole profondita`. Inoltre i condotti sono un fenomeno stagionale: tendono a chiudersi d'inverno, quando viene meno l'apporto idrico, e migrano con lo spostamentp della massa del ghiacciaio. Questa tende ad immergersi scorrendo, quindi aumenta la pendenza dei condotti.

Consideriamo un condotto orizzontale, di raggio R e lunghezza L, in cui fluisce acqua con velocita` v. La differenza di pressione fra l'inizio e la fine e` proporzionale all'altezza di carico, P₁ - P₂ = d g H, dove g e` l'accelerazione di gravita` e d la densita` dell'acqua. In regime turbolento (f e` il coefficiente di attrito, che per i condotti glaciali vale circa 0.08),

L'energia disponibile e` quella prodotta dagli attriti, percio` il flusso di energia e` dE/dt = dM/dt g H, dove dM/dt = πR<sup>2</sup> v e` il flusso di massa. D'altra parte l'acqua passando ad una pressione inferiore si scalda, quindi assorbe calore, dT = q dP, dove q = 7.8 10^-11 °/ Pa. Parte dell'energia se ne va quindi in flusso di calore assorbito dall'acqua, dQ_a/dt = dM/dt c_a q dP Pertanto il flusso netto di calore e` Esso va a sciogliere il ghiaccio, quindi il condotto si allarga con una velocita` dove l_f e` il calore di fusione del ghiaccio (80 Cal/Kg), e d<sub>g</sub> e` la densita` del ghiaccio (917 Kg/m³). Per esempio, con v=1 m/s, R=0.3 m, dR/dt = 1.6 10^-9 m/s.

Una immediata conseguenza (Shreve) e` che non si formano bypass. In condotti in parallelo le velocita` sono proporzionali a R^1/2 dato che l'altezza di carico e` la stessa (assumendo lunghezze comparabili). Quindi condotti piu` grossi tendono ad accrescersi maggiormente di condotti piccoli. Ne risulta che il drenaggio ha una struttura ad albero.

Una seconda conseguenza e` il limite della pendenza che puo` avere una condotta in salita. In tal caso l'energia disponibile e` la stessa, ma la differenza di pressione contiene anche un termine dovuto alla pendenza, P₁ - P₂ = d g ( H + L sin(a) ). Quindi l'acqua si scalda maggiormente e resta meno energia disponibile per sciogliere il ghiaccio. Si raggiunge il limite quando tutta l'energia disponibile va a scaldare l'acqua. Ne risulta una pendenza limite

I condotti possono salire solo se hanno una alta impedenza, cioe` alte perdite per attrito, e quindi molto energia dissipata e disponibile per la fusione del ghiaccio. L'allargamento del condotto porta ad una diminuzione dell'impedenza. Si ha quindi un equilibrio fra impedenza e pendenza.

Quando il condotto e` in discesa non c'e` alcuna pendenza limite.

Consideriamo un mulinello glaciale pieno d'acqua a partire da una profondita` b. La pressione tra il ghiaccio e l'acqua e` Ad elevate pressioni il ghiaccio e` plastico. Quindi quando P e` positiva il ghiaccio tende a chiudere il condotto. Il tempo di collasso e` (Nye, Hooke) dove la pressione e` in Pa. La velocita` di collasso, decresce al crescere di h fino ad annullarsi quando le pressioni idrostatiche di acqua e ghiaccio si controbilanciano.

Una conseguenza e` che piu` b e` elevato, minore e` il tempo di collasso. Per b=150 m il tempo e` dell'ordine di un mese. Quindi strutture libere dall'acqua molto profonde hanno una esistenza molto breve. Questo e` in accordo con i valori riscontrati di profondita` limite dei mulinelli glaciali.

L'acqua scendendo lungo un condotto verticale aumenta la pressione percio` si raffredda e cede calore che fonde il ghiaccio. Quindi il condotto si allarga. Viceversa l'acqua in risalita diminuisce la pressione, si scalda ed assorbe calore con riformazione del ghiaccio.

La differenza di pressione fra pavimento e soffitto di un condotto comporta lievi differenze di temperatura: il pavimento e` a pressione maggiore, percio` a minor temperatura. Quindi il calore disponibile tende ad andar piu` facilmente al pavimento che al soffitto, e il ghiaccio fonde di piu` sul pavimento che sul soffitto del condotto. Questo dunque migra verso il basso. La differenza percentuale fra i flussi di calore a pavimento ed a soffitto e` 2 R q g d / 273 = 2 10<sup>-3</sup>. Quindi la velocita` di migrazione verticale e` dell'ordine di 10^-12 m/s.

Il ghiaccio all'interno del ghiacciaio ha un comportamento plastico, percio` riprendiamo la teoria delle deformazioni plastiche (v. App. 10.h ) Per semplicita` ci limitiamo a 2 dimensioni. La condizione che definisce la plasticita` di un mezzo deformabile e` una relazione fra le componenti del tensore degli sforzi, per esempio (legge di Mises) dove h e` una costante (di plasticita`), e q_ij = s_ij - p a_ij e` il deviatore degli sforzi, cioe` il tensore degli sforzi a meno della componente di pressione idrostatica.

La velocita` di deformazione e` proporzionale al deviatore degli sforzi dove u_ij = ½( d_i u_j + d_j u_i ) e` il tensore di deformazione. L e U non sono indipendenti ma sono legati da una equazione di stato. Se l'equazione di stato afferma che U e` la costante di Lame`, la precedente relazione viene chiamata equazione di Prandtl-Reuss. Se l'equazione di stato e` 2LU=1 essa diviene du_ij = d(Lq_ij) quindi il tensore di deformazione e` proporzionale al tensore deviatore degli sforzi.

Poiche` q_ij a^ij = 0 le deformazioni preservano il volume, du_ij a^ij = 0.

L'equilibrio statico di un mezzo plastico e` determinato dalle due precedenti equazioni e dalla condizione Le incognite sono le tre componenti di s_ij, le due componenti di u_i e L (funzione ausiliaria). Il sistema deve essere integrato tenendo conto delle condizioni al contorno.

Per la dinamica di un mezzo plastico quest'ultima relazione ha anche il termine di accelerazione, e la legge di Mises riguarda solo il deviatore degli sforzi plastici (cioe` senza quello degli sforzi viscosi), dove U e` il coefficiente di viscosita` e n<sub>ij</sub> = ½(d<sub>i</sub> u<sub>j</sub> + d<sub>j</sub> u<sub>i</sub>) la velocita` di deformazione, U e` costante, ma in genere M non lo e`. Infine c'e` l'equazione dⁱ u_i = 0.

In tutto sono quattro equazioni in quattro incognite (v_i, M e p) che debbono essere integrate tenendo conto delle condizioni al contorno.

Come esempio consideriamo la soluzione stazionaria per un ghiacciaio su un pendio inclinato (con inclinazione percentuale pari a a = tan(t) ). Il ghiacciaio e` un mezzo deformabile che si estende nel semipiano y + a x>0. La velocita` normale si annulla sulla superficie y+ax=0. Supponiamo inoltre che la pressione sia data, p=p₀(y+ax), e cerchiamo una soluzione in cui le componenti della velocita` dipendono solo da y+ax e M sia costante.

Dalla equazione di continuita` risulta v'<sub>y</sub> = - a v'<sub>x</sub> Quindi le componenti della velocita` di deformazione sono L'equazione di Mises conduce a v' = cos²(t) h/M, e le componenti della velocita` sono (qui z = cos(t) y + sin(t) x )

Poiche` la velocita` normale si annulla sulla superficie (z=0), deve essere v^o_y - a v^o_x. Il ghiacciaio scorre parallelamente al pendio con velocita` che aumenta con la distanza da questo.

L'equazione della dinamica diventa una equazione omogenea per il deviatore degli sforzi, dⁱ q_ij = 0. Inoltre c'e` la relazione che lega v_ij a q_ij. Il deviatore degli sforzi risulta proporzionale a

cos2(t)	- cos(t) sin(t)
- cos(t) sin(t)	sin2(t)

che rappresenta uno sforzo normale diretto lungo il pendio: il ghiaccio scorre sotto la spinta del proprio peso.

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