Molto e` stato e viene fatto per definire le metodologie di topografia ipogea in un contesto tradizionale. Questi lavori sono giustamente orientati alla presa dei dati (in modo da garantire l'oggetivita` di un approccio scientifico), e alle convenzioni grafiche nella resa dei rilievi (per facilitare lo scambio delle informazioni).

L'Unione Speleologica Internazionale ha cercato di arrivare alla definizione di standard per l'interscambio dei dati e delle informazioni a livello internazionale. Purtroppo (o perfortuna) manca quella forte spinta commerciale che sostiene i tentativi di standardizzazione in molti altri campi; percio` queste iniziative procedono lentamente e con una impostazione semi-amatoriale.

E` in fase di definizione uno standard per l'interscambio dei dati di rilievo basato su XML, http://www.karto.ethz.ch/neumann/caving/cavexml/ , denominato CaveXML.

I conti necessari per stendere un rilievo sono abbastanza semplici e facilmente codificabili in un programma, [377] [378] [379] [380] [381] [382] [383] .

Quello che segue e` un tentativo di elenco, non esaustivo, delle problematiche che possono essere affrontate in un programma di rilievo [384] , oltre le necessarie operazioni di computazione dei dati della poligonale. In realta` si tratta di questioni che vanno oltre la semplice presa ed elaborazione dei dati, ma concernono spesso la gestione e integrazione di collezioni di rilievi (una intera grotta, o una area carsica). In effetti stiamo andando verso sistemi informativi speleologici (CIS, Cave Information System) analoghi ai GIS [385] .

• condizioni generali di rilievo (contesto)
  1. compensazione della declinazione magnetica
  2. flessibilita` nelle unita` di misura
  3. standard di accuratezza (scala BC o altro)
  4. flessibilita` di ordinamento preferenziale dei dati
  5. selezione dei campi di input
  6. gestione delle informazioni accessorie (data, grotta, rilevatori, etc.)
  7. uso di namespace per i nomi, per esempio Area:Grotta:Rilievo:Caposaldo
  8. sistema di versioning
• formato dei dati:
  1. flessibilita` nei nomi dei capisaldi
  2. impostazione separatore delle cifre decimali ('.' e/o ',')
  3. distanza, differenziale o totale
  4. distanze, in metri o piedi (e suttomultipli)
  5. direzioni, in gradi sessagesimali o centesimali
  6. direzione definibile rispetto al nord magnetico o alla tratta precedente
  7. inclinazione, in gradi o percentuale o come dislivello
  8. possibilita` di specificare indipendentemente il verso della direzione e dell'inclinazione
  9. gestione della controbattuta e di tratte accessorie che non concorrono nelle valutazioni dello sviluppo
  10. gestione della accuratezza dei dati
  11. posizione dei capisaldi rispetto alla cavita`
  12. misure d'ingombro: sopra, sotto, destra, sinistra. Devono essere riferiti ad un caposaldo. Per una misura orizzontale usare le coppie dimensione/direzione (es. 2.30/65N). Per una inclinata occorre dare anche l'inclinazione.
  13. assegnazione di informazioni accessorie ad una battuta, e/o a un caposaldo (es. corrente d'aria, speleotemi, ancoraggio, etc.)
  14. gestione di note aggiuntive (commenti)
• controlli di consistenza
  1. compensazione per prese doppie dei dati
  2. compensazione negli anelli chiusi
• metodi di immissione dei dati:
  1. interattivamente (attraverso finestre grafiche)
  2. da file precedentemente scritto (da un altro programma)
  3. da database
  4. da immagine scannerizzata (con lettura automatica)
  5. possibilta` di inserire commenti
  6. possibilita` di modificare (correggere) interattivamente le informazioni
  7. possibilita` di includere altri rilievi e di collegarli
  8. possibilita` di introdurre superfici (orografia esterna) con georereferziazione dei dati del rilievo
  9. inserimento di simbologia ed altre indicazioni
  10. supporto per internazionalizzazione (multilingua)
• interattivita` dell'elaborazione:
  1. visualizzazione pianta-sezione
  2. visualizzazione 3D
  3. indicazione della scala e del Nord
  4. gestione della orientazione destra/sinistra nelle tratte per la sezione longitudinale: o con richiesta nei dati di input, o con con possibilita` di modifica interattiva
  5. navigabilita` nella visualizzazione
  6. possibilita` di selezione di porzioni di rilievo, per elaborazioni limitate
  7. possibilita` di zoom
  8. possibilita` di pan/tilt per la visualizzazione 3D, con movimento uniforme
  9. possibilita` di spostare tratte e gruppi di tratte di rilievo, per migliorare la presentazione in caso di rami sovrapposti (solo nella pianta-sezione). Questi spostamenti devono essere codificati anche nei dati in output al fine di riprodurli successivamente nelle rese.
  10. visualizzazione di griglie metriche
  11. visualizzazione della orografia esterna (3D) e di informazioni geologiche.
• gestione degli errori di rilievo:
  1. errori di accuratezza nella presa dei dati, sia dovuti alla precisione degli strumenti, sia all'effettiva condizione operativa
  2. detezione di errori macroscopici nei dati: sbagliata lettura o trascrittura dei dati
• gestione di diramazioni, rami sovrapposti e cicli chiusi:
  1. possono essere ignorati
  2. possibilita` di intervento manuale per i rami sovrapposti
  3. compensazione degli errori secondo una o piu` delle svariate tecniche topografiche
  4. possibilita` di intervento manuale nella chiusura di anelli
• metodi di resa della elaborazione:
  1. salvataggio dei valori numerici, sia i dati che i risultati, (e delle note) su file
  2. gestione della storia di un rilievo (CVS)
  3. salvataggio su database
  4. presentazione su monitor di pianta e sezione
  5. visualizzazione 3-D (con possibilita` di cambiare il punto di vista)
  6. salvataggio dell'elaborato in formato grafico (svg, shp, dxf, ...)
  7. salvataggio dell'elaborato (grafico e numerico comprensivo di note) in formato stampabile (bitmap, gif, png)
  8. salvataggio dell'elaborato in formato idoneo ad essere usato da altri (PDF)
• analisi dei dati, statistiche, e risultati:
  1. quotatura automatica dei punti terminali
  2. sviluppo complessivo,
  3. spostamenti, in quota, e nelle direzioni cardinali
  4. statistica delle direzioni delle gallerie, diagrammi a rosa (2D e 3D)
  5. ...
• integrazione con altri sistemi informativi [386] :
  1. importazione di dati GIS
  2. riproduzione delle curve altimetriche della superficie esterna
  3. evidenziazione di strutture geologiche (faglie, litologia, ...)
  4. ...

In internet sono disponibili parecchi programmi per l'elaborazione e la resa dei dati di rilievo [387] . La tabella che segue e` un elenco di programmi con i nomi degli autori e i link internet. Si riportano anche l'anno dell'ultima versione verificata (potrebbero esserci versioni piu` recenti), il tipo di distribuzione e il sistema operativo su cui e` utilizzabile.

Gli ultimi due, Tunnel e Therion, sono programmi per il disegno dei rilievi. Sono inclusi in questo elenco poiche` oltre a permettere di fare il disegno con il PC, fanno anche l'elaborazione dei dati delle poligonali.

Ricordo anche CaveScript (http://www.speleonics.com.au/cavescript/), un programma per la conversione dei dati dei rilievi in formato XML, e Rosetta Stal (http://www.resurgentsoftware.com/rosettastal.htm OpenSource) un insieme di programmi per la conversione dei dati tra i formati dei vari programmi di elaborazione.

Alcuni di questi programmi sono distribuiti OpenSource, altri sono freeware, altri shareware, altri, infine, richiedono l'acquisto di una licenza (ma permettono di scaricare una versione dimostrativa). Quasi tutti questi programmi sono disponibili per Windows; quelli OpenSource sono disponibili anche per Linux a MacOS. Considerazione ed uso di qualsiasi programma che non sia OpenSource (o almeno distribuito in formato sorgente) e` deprecata.

Il livello di documentazione dei programmi e` vario: manuali, help (associato al programma), tutorial, FAQ, mailing list, esempi, wiki, e articoli. I diversi programmi si differenziano anche riguardo alle caratteristiche di interfaccia utente e di elaborazione dati. Ma soprattutto la maggior varieta` e` nel formato dei dati, che limita l'interoperabilita` fra i diversi programmi.

Il passo successivo e` la creazione di programmi che permettano di stendere i rilievi, completi di poligonale, disegni e simboli, a partire dagli schizzi di grotta e dagli elaborati della poligonale [388] . I programmi di editing di immagini possono essere utilizzati a tale scopo. Sovrapponendo gli schizzi acquisiti con scanner alla poligonale si puo` tracciare il disegno ed aggiungere i simboli creati con gli strumenti che il programma mette a disposizione [389] . Meglio ancora se si usa un programma di grafica vettoriale: i desegni non sono bitmap ma immagini vettorializate.

Il problema principale nella creazione di rilievi al computer e` quello di mantenere la connessione logica fra gli elementi del disegno (contorno della grotta, simboli, scritte, etc.) e le posizioni spaziali dei punti misurati (la poligonale) in modo da poter aggiornare automaticamente il disegno, quando intervengono correzioni dovute alle chiusura di anelli.

Un secondo problema e` l'organizzazione del rilievo nel caso di grotte complesse, sia per la pianta (per esempio una cavita` suborizzontale a molti livelli sovrapponentesi), che per la sezione longitudinale, in cui gli anelli una volta espansi "non si chiudono piu`".

Anche se programmi che esportano i dati in formati SVG (grafica vettoriale) possono essere utilizzati per produrre i disegni dei rilievi [390] . Il formato SVG si presta come mezzo di scambio fra programmi di grafica vettoriale (per il disegno) e programmi di elaborazione dati (per la restituzione della poligonale). Questo processo di interazione viene denominato "SVG roundtrip": Walls oltre ad esportare i dati in formato SVG, e` in grado di importare disegni SVG, comprensivi di poligonale, e aggiornare sia la poligonale che gli elementi vettoriali del disegno sulla base di nuovi dati [391] . Quindi permette di correggere automaticamente anche i disegni.

Attualmente ci sono due programmi scritti espressamente per il disegno dei rilievi di grotte: tunnel e therion . Il primo usa la sintassi dei dati di rilievo di survex, il secondo usa una sintassi molto simile, anche se leggermente diversa. Tunnel, e` piu` semplice, ma, al momento permette di disegnare solo la pianta della grotta. Therion e` decisamente piu` complesso ma anche completo: permette di disegnare anche le sezioni longitudinali, e produce output in formato pdf (oltre ad altri formati).

Il prossimo passo sara` la stesura dei rilievi direttamente in grotta su un palmare (o un tablet), in modo da avere subito un riscontro sul posto di eventuali errori. Questo avrebbe anche il vantaggio di fornire immediatamente l'informazione dell'andamento della grotta, mentre si e` ancora dentro, con la possibilita` di indirizzare l'esplorazione nei punti piu` significativi.

I dati saranno presi da un dispositivo elettronico che integra un distanziometro laser con una bussola ed un ecclimetro (come per esempio Kombi [392] ), e trasferiti direttamente ad un palmare dove vengono memorizzati ed elaborati, mostrando l'andamento della cavita` [393] . Il progetto Auriga e` il primo in tale direzione.

L'elaborazione del rilievo, risultante in una poligonale, oppure in una mappa della cavita` completa di informazioni accessorie, e` gia` utile per comprendere l'andamento della cavita` ed indirizzare le esplorazioni. Diventa ancor piu` utile quando integrato con una cartografia in modo da fornire la visualizzazione della grotta riferita alla orografia superficiale e alle strutture idrogeologiche, oltre che integrata con i dati delle altre grotte e fenomeni carsici (doline, etc.).

La visualizzazione in 3D di orografia (con curve di livello oppure la tessitura di una ortofoto), andamento delle grotte, e posizioni dei fenomeni carsici rappresenta il maggior ausilio dei programmi di rilievo alla comprensione del fenomeno carsico, in quanto presenta il fenomeno nella sua tridimensionalita`.

Quindi affinche` i risultati della elaborazione dei rilievi diventino piu` fruibili e` necessario collegarli alla cartografia e alla orografia (modelli digitali del terreno).

Due programmi specificatamente scritti per questo sono Karto e KartoMNT [394] [395] [396] [397] . Il primo serve a posizionare punti significativi su una carta. I punti devono essere specificati (georeferenziati) nel sistama di riferimento della carta, ed e` possibile associare ad ogni punto un commento (nome) e uno tra diversi tipi (speelologici: grotta, abisso, dolina, inghiottitoio, etc.; geografici o geometrici). Il programma gestisce l'insieme delle carte e dei punti sopra esse posizionate.

KartoMNT serve per sviluppare modelli digitali del terreno a partire da una carta topografica, con isoipse e punti quotati. La definizione (manuale) delle isoipse e dai punti e` facilitata da una interfaccia grafica. Alla fine calcola il DTM (come griglia di valori di quota) e permette di salvarlo. Esegue anche il ricampionamento e la fusione di DTM. Infine c'e` la possibilita` di visualizzare in 3D il DTM con sovraimpressa una tessitura (eg, una ortofoto) e salvare immagini o sequenze di immagini della visualizzazione.

Per analisi piu` complesse occorre utilizzare un programma di GIS vero e proprio. In quest'area grass, http://grass.itc.it/ , e` il programma di riferimento.

Puo' succedere di aver fatto un rilievo, e di non aver gli strumenti per stenderlo graficamente (la carta millimetrata, il goniometro, la squadretta, etc.), eppure di voler saper quanta si e` scesi oppure quanto ci si e` spostati in pianta. Con un po' d'esperienza si riesce a fare una stima grossolana dell'andamento della grotta solo guardando le misurazioni. Se pero' si vuole una valutazione piu` precisa, occorre fare qualche conto numerico. Questi conti non sono difficili: traducono numericamente le operazioni che vangono effettuate graficamente durante la stesura del rilievo, e sono alla base di tutti i programmi per la stesura automatica dei rilievi. Si basano su semplici formule di trigonometria piana (spiegate piu` sotto). Questa sezione include, come riferimento, una tabella dei valori delle funzioni trigonometriche.

A partire dai dati di Distanza (bindella), e Inclinazione (clinometro), si possono calcolare le componenti Orizzontale e Verticale della sezione utilizando le formule:

Orizzontale = Distanza cos(Inclinazione)
Verticale  = Distanza sen(Inclinazione)

cos(- Angolo) = cos(Angolo)
sen(- Angolo) = - sen(Angolo)

Con queste formule si trovano le coordinate in sezione dei punti (caposaldi), ricorsivamente. Per esempio se abbiamo misurato

PUNTI  Bussola  Distanza  Inclinazione
1 - 2      64      13.00           +15
2 - 3      14       7.45           +30
3 - 4     121      19.60           - 5
4 - 5       -      12.20           +90

le distanze Orizzontale e Verticale fra i capisaldi in sezione sono (espresse in metri)

PUNTI   Orizzontale  Verticale
1 - 2         12.56       3.36
2 - 3          6.45       3.72
3 - 4         19.13     - 1.67
4 - 5          0.00      12.20

Attenzione al segno: nell'esempio la misurazione 3-4 ha Inclinazione negativa (percio` il caposaldo 4 si trova piu` in basso rispetto al caposaldo 3), quindi la componente Verticale e` negativa. La componente Orizzontale e` "sempre" positiva. (Perche`?). Da notare che quando l'inclinazione e' 90 gradi l'Orizzontale e` zero (nell'esempio la misurazione 4-5).

Questi numeri rappresentano la posizione, in sezione, relativa dei capisaldi, due a due. Con questi dati si puo` valutare le posizioni dei vari capisaldi relativamente ad uno di essi, per esempio il primo, numero 1: per il 2 non occorre fare nulla; per il 3 basta sommare la sua posizione relativa a 2 a quella di 2 rispetto a 1. Per il 4 si procede analogamente, stando attenti al segno! Ecco il risultato:

.       Spostamento  Spostamento
PUNTI   Orizzontale    Verticale
1 - 2         12.56         3.36
2 - 3         19.01         7.08
3 - 4         38.14         5.41
4 - 5         38.14        17.61

Quindi complessivamente siamo saliti di 17.61 metri.

La componente Orizzontale non ci dice molto; tuttalpiu` serve per valutare quanto deve essere grande il foglio di carta millimetrata su cui disegneremo poi la sezione. Per sapere quanto ci siamo spostati in pianta, dobbiamo riprodurre numericamente le operazioni che si eseguono disegnando la pianta. A tale scopo usiamo la distanze Orizzontali e la Bussola.

Nord = Orizzontale cos(Bussola)
Est = Orizzontale sen(Bussola)

cos( 90 + Angolo) = - sen(Angolo)
cos(180 + Angolo) = - cos(Angolo)
cos(270 + Angolo) = + sen(Angolo)
sen( 90 + Angolo) = + cos(Angolo)
sen(180 + Angolo) = - sen(Angolo)
sen(270 + Angolo) = - cos(Angolo)

Dunque riprendiamo il nostro esempio e calcoliamo le distanze nelle componenti Nord ed Est della pianta:

PUNTI     Nord      Est
1 - 2     5.51    11.29
2 - 3     6.26     1.56
3 - 4   - 9.85    16.40
4 - 5     0.00     0.00

Da notare che 3-4 ha una componente Nord negativa: la direzione 121-Nord indica che la galleria sta' andando verso sud-est! Ancora: 4-5 ha entrambe le componenti zero: infatti e` un pozzo, e non da` alcun spostamento in pianta.

Adesso valutiamo gli spostamenti relativamente al caposaldo 1:

.       Spostamento  Spostamento
PUNTI          Nord          Est
1 - 2          5.51        11.29
2 - 3         11.77        12.85
3 - 4          1.89        29.25
4 - 5          1.89        29.25

Finalmente possiamo dire che ci siamo spostati di poco meno di due metri verso nord, ma di quasi trenta (29,25 per l'esattezza) verso est.

Tabella dei valori delle funzioni trigonometriche.

 Ang  Sen    Cos    Tan         Ang  Sen    Cos    Tan
  0   0.00   1.00   0.00        45   0.71   0.71   1.00
  1   0.02   1.00   0.02        46   0.72   0.69   1.04
  2   0.03   1.00   0.03        47   0.73   0.68   1.07
  3   0.05   1.00   0.05        48   0.74   0.67   1.11
  4   0.07   1.00   0.07        49   0.75   0.66   1.15
  5   0.09   1.00   0.09        50   0.77   0.64   1.19
  6   0.10   0.99   0.11        51   0.78   0.63   1.23
  7   0.12   0.99   0.12        52   0.79   0.62   1.28
  8   0.14   0.99   0.14        53   0.80   0.60   1.33
  9   0.16   0.99   0.16        54   0.81   0.59   1.38
 10   0.17   0.98   0.18        55   0.82   0.57   1.43
 11   0.19   0.98   0.19        56   0.83   0.56   1.48
 12   0.21   0.98   0.21        57   0.84   0.54   1.54
 13   0.22   0.97   0.23        58   0.85   0.53   1.60
 14   0.24   0.97   0.25        59   0.86   0.52   1.66
 15   0.26   0.97   0.27        60   0.87   0.50   1.73
 16   0.28   0.96   0.29        61   0.87   0.48   1.80
 17   0.29   0.96   0.31        62   0.88   0.47   1.88
 18   0.31   0.95   0.32        63   0.89   0.45   1.96
 19   0.33   0.95   0.34        64   0.90   0.44   2.05
 20   0.34   0.94   0.36        65   0.91   0.42   2.14
 21   0.36   0.93   0.38        66   0.91   0.41   2.25
 22   0.37   0.93   0.40        67   0.92   0.39   2.36
 23   0.39   0.92   0.42        68   0.93   0.37   2.48
 24   0.41   0.91   0.45        69   0.93   0.36   2.61
 25   0.42   0.91   0.47        70   0.94   0.34   2.75
 26   0.44   0.90   0.49        71   0.95   0.33   2.90
 27   0.45   0.89   0.51        72   0.95   0.31   3.08
 28   0.47   0.88   0.53        73   0.96   0.29   3.27
 29   0.48   0.87   0.55        74   0.96   0.28   3.49
 30   0.50   0.87   0.58        75   0.97   0.26   3.73
 31   0.52   0.86   0.60        76   0.97   0.24   4.01
 32   0.53   0.85   0.62        77   0.97   0.22   4.33
 33   0.54   0.84   0.65        78   0.98   0.21   4.70
 34   0.56   0.83   0.67        79   0.98   0.19   5.14
 35   0.57   0.82   0.70        80   0.98   0.17   5.67
 36   0.59   0.81   0.73        81   0.99   0.16   6.31
 37   0.60   0.80   0.75        82   0.99   0.14   7.12
 38   0.62   0.79   0.78        83   0.99   0.12   8.14
 39   0.63   0.78   0.81        84   0.99   0.10   9.51
 40   0.64   0.77   0.84        85   1.00   0.09  11.43
 41   0.66   0.75   0.87        86   1.00   0.07  14.30
 42   0.67   0.74   0.90        87   1.00   0.05  19.08
 43   0.68   0.73   0.93        88   1.00   0.03  28.64
 44   0.69   0.72   0.97        89   1.00   0.02  57.29
 45   0.71   0.71   1.00        90   1.00   0.00   ---

Il problema degli anelli chiusi nella topografia ipogea e` che quando c'e` un anello si arriva allo stesso punto seguendo due percorsi differenti, e in generale le poligonali dei due percorsi portano a due punti distinti sulla carta, ma che corrispondono allo stesso punto nella realta` [398] [399] [351] [349] .

Questo e` dovuto alla presenza di errori nelle misurazioni:

• la precisione con cui sono marcati i capisaldi;
• la precisione degli strumenti di misura (un centimetro per la bindella, e un grado, o mezzo, per clinometro e bussola);
• il posizionamento degli strumenti: posizione della bindella sul caposando, distanza fra lo strumento e il caposaldo durante la lettura;
• la disposizione degli strumenti: la bindella leggermente meno tesa del dovuto, o che tocca la parete, errori nel traguardo dell'altro caposaldo.

Una valutazione degli errori delle letture con gli strumenti [400] e` E<sub>bussola</sub> = (1.2 + c/30)/deg , E<sub>clinometro</sub> = (0.5 + c/40)/deg , dove c e` l'angolo di inclinazione in valore assoluto, e E_bindella = (2 + d/200) cm, dove d e` la distanza misurata in centimetri.

Per cui le poligonali sono affette da errori. Quando non ci sono cicli questo viene solitamente ignorato (in topografia ipogea); pero` quando ci sono anelli risulta che le poligonali non si chiudono, percio` occorre distribuire l'errore per far tornare il rilievo. Nel far cio` non si imbrogliano i dati, ma si tiene in effetti conto dell'ulteriore informazione che due punti su due pezzi di poligonale differenti devono coincidere.

Il metodo dei minimi quadrati e` una procedura sofisticata e rigorosa per compensare gli errori in anelli non affetti da sviste. Esso permette di trovare la posizione statisticamente piu` significativa quando ci sono piu` percorsi che portano allo stesso punto e consiste nel scegliere il valore che minimizza l'errore quadratico medio delle misure. Prima di passare ad esaminarlo nei dettagli notiamo che esso e` sovente superfluo viste le accuratezze che solitamente si ottengono nei rilievi di grotta. Tra parentesi certi errori sistematici sono irrilevanti alla non-chiusura di anelli poiche` ne modificano solo la disposizione spaziale; per esempio un errore sistematico sulle direzioni ruota l'anello, mentre uno sulle distanze lo espande o rimpicciolisce. Per l'inclinazione un errore sistematico produce in genere una non-chiusura.

Il metodo dei minimi quadrati e` molto semplificato nel rilievo ipogeo, poiche` in genere tali rilievi contengono solo traversamenti e non triangolazioni ne` trilaterizzazioni. Percio` la matrice che esprime la geometria e` molto semplificata e contiene, in genere, solo due elementi non nulli per ogni riga, e precisamente con valori +1 e -1.

Una distribuzione degli errori, simile alla compensazione nella chiusura dei cicli, si ha quando per piu` di un caposaldo del rilievo sono note le coordinate GPS (per esempio una cavita` con piu` ingressi), e si vuole localizzare la grotta sulla carta. In tal caso bisogna tener conto dell'errore nelle tratte di rilievo e di quello dei dati GPS [401] . Anche in questo caso si puo` utilizzare il metodo dei minimi quadrati per distribuire l'errore. Se X_i sono le posizioni (da trovare) dei capisaldi e x_i sono quelle date dal GPS, mentre l_ij e` la lunghezza del rilievo fra i capisaldi, l'errore quadratico e` dove la prima somma e` sui capisaldi, e la seconda sui rilievi che li congiungono. w_i e v_ij sono dei pesi, che dovrebbero essere proporzionali all'inverso delle incertezze delle misure.

La media pesata e` una procedura per stabilire che valore assegnare ad una certa quantita` avendo a disposizione piu` misurazioni di essa, ognuna con un certo grado di precisione [402] . Nel caso di un anello chiuso, che coordinate assegnare al punto finale avendo due poligonali che lo raggiungono.

La covarianza e` l'espressione numerica del grado di precisione quando la quantita` e` un vettore X. Nel caso ad una componente (un solo numero) la covarianza si riduce alla varianza, che e` pari al quadrato della deviazione standard. Il peso associato ad una misura e` l'inverso della covarianza:

Date n misure di X, X₁, ..., X_n, con covarianze C₁, ..., C_n, e pesi W_k espressi come sopra, il valore di X che minimizza l'errore quadratico medio, risulta la media ponderata:

Un traversamento (senza giunzioni) si comporta come una singola misura con covarianza (supponendo le misure indipendenti)

La soluzione del problema dei minimi quadrati e` dunque una media pesata.

Si tratta di distribuire una certa quantita` D in n gruppi, ognuno con una capacita` m_k Questo serve per distribuire l'errore fra le varie tratte che compongono un ramo di poligonale. La soluzione e` simile alla media pesata: il gruppo k riceva una parte

I dati sono misurati con coordinate distanza D, azimuth A, e inclinazione I. Quando sono resi sulla carta si trasformano in coordinate ortogonali (est X, nord Y, e quota Z)

Questa trasformazione non e` lineare. Invece il metodo di aggiornamento dei minimi quadrati presuppone un probelma lineare. Questo significa che se i dati non sono vicini al problema originale la soluzione puo` essere molto diversa dalla posizione reale.

Conoscendo gli errori su D, A ed I si possono valutare quelli di X, Y e Z. Le covarianze nei due sistemi di coordinate misure sono legate dallo Jacobiano, J = d(X,Y,Z) / d(D,A,I) della trasformazione: Lo Jacobiano risulta (questa espressione presuppone gli angoli espressi in radianti)

cos(I) sin(A)	D cos(I) cos(A)	- D sin(I) sin(A)
cos(I) cos(A)	- D cos(I) sin(A)	- D sin(I) cos(A)
sin(I)	0	D cos(I)

Tuuto cio` e` importante perche` quando calcolo la covarianza di un pezzo di poligonale posso sommare le covarianze delle singole tratte se queste sono espresse in un sistema ortogonale.

Da notare che lo Jacobiano diventa singolare quando l'inclinazione e` verticale (+/- 90°). Infatti in tal caso l'azimuth risulta indeterminato. Ne segue che in tal caso si hanno matrici di covarianza singolari. l'errore in Z e` pari a quello sulla distanza, mentre gli errori in X e Y restano incerti (anche se proporzionali a D e all'errore su I) poiche` A e` indefinito. Mediando sui valori dell'azimuth possimao usare la covarianza

Uno dei problemi nella trattazione automatica dei cicli [403] e` la determinazione dell'insieme dei cicli fondamentali [404] , cioe` del minimo insieme di cicli indipendenti. Questo insieme puo` essere scelto in molti modi differenti, e matematicamente equivalenti. Tuttavia, dal punto di vista del rilievo ipogeo i cicli fondamentali dovrebbero avere due carattersitiche:

• avere il minor numero di tratte,
• avere la minima sovrapposizione fra ogni due cicli

perche` questo rende piu` probabile la detezione di sviste. Inoltre quando viene rilevato un errore in un ciclo corto e` piu` facile da ritopografare in grotta. La determinazione dell'insieme ottimale di cicli fondamentali, richiede l'analisi di tutte le combinazioni, e percio` non e` fattibile (in un tempo ragionevole), se non per grotte semplici. Invece si determina un insieme subottimale, con opportune strategie di ricerca, che non richiedono troppo tempo anche per sistemi complessi.

Supponiamo di avere N cicli fondamentali, contenenti K+1 punti (capisaldi). I punti indipendenti sono K dato che uno di essi puo` essere arbitrariamente posizionato. Esiste una relazione (di Eulero) fra il numero di cicli, il numero di punti e il munero T di tratte (supponendo che ogni punto appartenga a due o a tre tratte):

L'impostazione del sistema di equazioni non e` complicata, ma solo laboriosa. Esso si riduce alla forma dove la prima somma e` estesa a tutte le tratte entranti nel punto X_j, e la seconda e` estesa alle tratte uscenti da esso. Il coefficiente M<sub>jj</sub> e` la somma dei pesi delle tratte entranti ed uscenti da X_j. Quando gli indici sono differenti il coefficiente M_ij e` pari a -W<sub>k</sub>, l'opposto del peso della tratta che collega il punto X<sub>i</sub> al punto X<sub>j</sub>, ed e` nullo se i due punti non sono direttamente collegati.

A titolo di esempio consideriamo la situazione in figura a destra. L'errore quadratico e`
Quindi il sistema diventa

 | W1+W5+W4  - W5     - W4    | | X1 |   | W1 T1 - W4 T4 - W5 T5 |
 |  - W5    W2+W5+W6  - W6    | | X2 | = | W2 T2 + W6 T6 + W5 T5 |
 |  - W4     - W6    W3+W4+W6 | | X3 |   | W3 T3 + W4 T4 - W6 T6 |

Il metodo dei minimi quadrati stima le correzioni delle singole misure in base ai loro pesi (che sono stimati o calcolati a partire dalle precisioni delle misure). Se la discrepanza di chiusura di un anello eccede la precizione delle misurazioni (cioe` l'errore statistico) allora c'e` un errore macroscopico nei dati: nella lettura degli strumenti, o nella scrittura dei valori, o nel collegare piu` rilievi. In tal caso si dovrebbe rifare il rilievo. In alternativa si puo` cercare di trovare qual e` il dato affetto da errore macroscopico e modificarlo in modo da chiudere il ciclo.

La detezione degli errori grossolani cioe` delle sviste e la loro correzione e` possibile in fase di restituzione del rilievo qualora l'errore grossolano coinvolge un tiro di un ciclo chiuso [405] [406] [407] .

Certe sviste hanno una caratteristica distintiva, che permette di riconoscerne il tipo. Per esempio un errore di direzione non ha effetti sulla chiusura del ciclo in sezione. Percio` se il ciclo non si chiude solo in pianta, si dovrebbe cercare l'errore fra le misure di direzione.

L'idea per correggere un errore grossolano consiste nel provare ad aggiustare una alla volte tutte le misure delle tratte che compongono il ciclo, per vedere se ce n'e` una il cui aggiustamento permette di chiudere il ciclo tenendo in conto l'accuratezza delle misure. Il problema e` come effettuare gli aggiustamenti e avere un criterio di qualita` degli stessi.

Per la direzione variando un angolo il punto finale del ciclo descrive un arco di circonferenza. Si prende come aggiustamento della direzione l'angolo per cui il punto finale e` piu` vicino al punto iniziale del ciclo. La loro distanza e` utilizzata come criterio di qualita` dell'aggiustamento (Figura a sinistra).

Per le distanze, variando una distanza il punto finale descrive una retta. Nuovamente si prende come aggiustamento la distanza per cui il punto finale e` piu` vicino al punto iniziale, e la loro distanza ne rappresenta la qualita`. La complicazione e` che si deve lavorare in 3 dimensioni anziche` nel piano (Figura a destra).

Per le inclinazioni la situazione e` come per le direzioni, ma anche qui occorre lavorare in 3 dimensioni.

Alla fine dopo aver provato con tutte le misure, se ne risulta una sola per il cui aggiustamento la distanza fra punto finale e punto iniziale rientra nei limiti di accuratezza del rilievo, questa e` la svista e l'aggiustamento ne rappresenta il valore corretto.

Questo metodo ha dei limiti. Primo fra tutti l'errore del rilievo: se questo non e` piccolo risulta incerto dire quale sia la svista perche` ci saranno piu` punti il cui aggiustamento rientra nei limiti dell'errore di rilievo. Inoltre puo` accadere che ci siano davvero, in particolari situazioni, due aggiustamenti "equivalenti" e quindi non sia possibile stabilire quale sia l'errore grossolano. In questo caso avere piu` cicli potrebbe essere d'aiuto. Infine in caso di piu` errori grossolani in un solo ciclo la loro presenza potrebbe essere rilevata dalla impossibilita` di chiudere il ciclo con un singolo aggiustamento, pero` la correzzione risulta piu` complessa. E` un problema di segnale/rumore: il rumore e` l'errore intrinseco di rilievo, il segnale sono gli erroro grossolani visti come gli aggiustamenti necessari a chiudere il rilievo. Se il rumore e` troppo alto (errore troppo elevato) risulta difficile "sentire" il segnale, cioe` trovare l'aggiustamento o gli aggiustamenti da fare. Se il rumore e` molto basso, si puo` arrivare a corregere anche due o piu` errori grossolani.

Si dovrebbe anche tener conto di quali sono le piu` probabili cause di sviste (alcune di queste dipendono dalla lingua)

• confondere '6' con '7';
• sbagliare scala sul clinometro;
• sbagliare la lettura dei metri, in misure corte, poiche` sbiaditi sul nastro;
• sbagliare direzione, a causa del verso, per esempio 154 invece di 146;
• sbagliare segno nella inclinazione, per esempio -3 invece di +3.

La distribuzione statistica degli errori di chiusura dei cicli chiusi mostra una prima parte decrescente velocemente, seguita da una lunga coda. La coda e` dovuta agli errori grossolani e l'analisi della prima parte della curva fornisce una indicazione della accuratezza [408] . Una valutazione degli errori delle letture con gli strumenti [400] e` E_bussola = (1.2 + c/30)/deg , E_clinometro = (0.5 + c/40)/deg , dove c e` l'angolo di inclinazione in valore assoluto, e E<sub>bindella</sub> = (2 + d/200) cm, dove d e` la distanza misurata in centimetri. del rilievo (cioe` degli strumenti e del loro utilizzo) [406] .

Per ogni ciclo di N tratte e con lunghezza totale L, e con errore di chiusura (dx,dy,dz) si possono calcolare i seguenti stimatori [409]

• errore angolare orizzontale, arctan( [dx² + dy²]^1/2 / L )
• errore angolare verticale, arctan( dz / L ). Questo e` equivalente ad un errore di calibrazione del clinometro se si facessero letture in un sol verso.
• errore angolare totale, arctan( [dx<sup>2</sup> + dy<sup>2</sup> + dz<sup>2</sup>]<sup>1/2</sup> / L ). Questo e` una combinazione dei due precedenti.
• errore medio, [dx² + dy² + dz²]^1/2 / N. Questa e` una media; in pratica la tratta piu` lunga risulta circa tre volte la lunghezza media delle tratte, percio` l'errore della tratta piu` lunga e` circa tre volte questo valore.

http://www.cc.utah.edu/~nahaj/cave/survey/internal-angles_example.html

Avendo a disposizione misure in eccesso (cioe` sia dal caposaldo A al caposaldo B, che viceversa) e` possibile correggere le misure degli azimuth compensando l'anomalia magnetica locale, a meno di una costante (anomalia media globale). Se il rilievo e` fatto con letture doppie (in entrambe le direzioni) si possono utilizzare cicli chiusi per determinare errori grossolani (poiche` quando si considerano cicli le anomalie locali si cancellano) [410] .

Per esempio consideriamo un triangolo con vertici P₁, P₂, e P₃. Supponiamo che le anomalie (incognite) nei tre punti siano A₁, A₂, e A₃. Pertanto, per esempio, se da P₁ a P₂ misuriamo m₁₂ l'angolo effettivo con nord magnetico e` b₁₂ = m₁₂ + A₁.

L'angolo P₂P₃P₁ vale allora Utilizzando il fatto che b_ij-b_ji= +/- 180°si ottiene un sistema di tre equazioni in tre incognite. Pero` questa tre equazioni non sono indipendenti, essendo la loro somma una relazione che deve sussistere fra le misure.

La valutazione delle somme degli angoli interni dei triangoli permette di rilevare macroscopici errori di lettura dei dati (nell'ipotesi di avere misurazioni sufficientemente ridondanti). Vedi P.R.Wolf e C.D.Ghilani "Adjustment Computations, Statistics and Least Squares in Surveing and GIS", Wiley 1997.

E` possibile quindi trovare la differenza fra anomalie locali in due punti a partire da queste equazioni.

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